Démonstration par récurrence : exercices corrigés

Déterminer le terme général d’une suite par récurrence

Une suite arithmético-géométrique

On considère la suite \((u_n)\) telle que \(u_0=12\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=3u_n-8\).

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=4+8\times 3^n\).

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Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(P(n)\) : « \(u_n=4+8\times 3^n\) ».

  • Initialisation : Pour \(n=0\), on a bien \(4+8\times 3^0=4+8\times 1 = 12 = u_0\). \(P(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n=4+8\times 3^n\).

    Or, \(u_{n+1}=3u_n-8\). Ainsi, \[u_{n+1}=3(4+8\times3^n)-8=3\times 4 +3\times 8 \times 3^n – 8 = 4 + 8 \times 3^{n+1}\] \(P(n+1)\) est donc vraie.

  • Conclusion : \(P(0)\) est vraie. \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Suite récurrente

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_1=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}= \dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}\]

  1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\)
  2. Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
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1. On a

  • \( u_2 = \dfrac{u_1}{\sqrt{u_1^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
  • \( u_3 = \dfrac{u_2}{\sqrt{u_2^2+1}}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+1}}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

2. Il semblerait que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)

3. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) »

  • Initialisation : \( \dfrac{1}{\sqrt{1}}=1=u_1\), \( \mathcal{P}(1) \) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel non nul. Supposons que \( \mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).Or, \[u_{n+1}= \dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}\]
    Ainsi,
    \[u_{n+1}= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \times \dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \times \dfrac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\dfrac{n}{n+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\]\( \mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
  • Conclusion : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\)

Une suite homographique

On considère la suite \(u_n\) définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}\]
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \[u_n = \dfrac{9-8n}{3+8n}\]
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Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n =\dfrac{9-8n}{3+8n}\) ».

  • Initialisation : \(\dfrac{9-8 \times 0}{3+8 \times 0}=\dfrac{9}{3}=3=u_0\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(u_n =\dfrac{9-8n}{3+8n}\). On cherche à établir que
    \[u_{n+1}=\dfrac{9-8(n+1)}{3+8(n+1)}=\dfrac{9-8n-8}{3+8n+8}=\dfrac{1-8n}{11+8n}\]
    Or, \(u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}\). Ainsi,
    \[u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{9-8n}{3+8n}-2}{2 \times \dfrac{9-8n}{3+8n} +5} = \dfrac{\dfrac{9-8n-2(3+8n)}{3+8n}}{\dfrac{2(9-8n)+5(3+8n)}{3+8n}}\]
    Ainsi,
    \[u_{n+1}=\dfrac{9-8n-2(3+8n)}{3+8n} \times \dfrac{2(9-8n)+5(3+8n)}{3+8n}=\dfrac{9-8n-2(3+8n)}{2(9-8n)+5(3+8n)}\]
    et donc
    \[u_{n+1}=\dfrac{9-8n-6-16n}{18-16n+15+40n}=\dfrac{3-24n}{33-24n}\]
    En factorisant au numérateur et au dénominateur par 3, on obtient finalement,
    \[u_{n+1}=\dfrac{3(1-8n)}{3(11-8n)}=\dfrac{1-8n}{11+8n}\]
    qui est bien le résultat voulu. \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
  • Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

La somme des nombres impairs

Soit \(n\) un entier naturel non nul et \[u_n=1+3+5+7+\dots + (2n-1)\]

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\)
  2. Conjecturer une expression simple de \(u_n\) en fonction de \(n\) puis démontrer cette conjecture par récurrence.
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1. On a \(u_1=1\), \(u_2=1+3=4\), \(u3=1+3+5=9\), \(u_4=1+3+5+7=16\)

2. Il semblerait que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=n^2\).

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose donc \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=n^2\) »

  • Initialisation : \( 1^2=1=u_1\), \( \mathcal{P}(1) \) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel non nul. Supposons que \( \mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(u_n=n^2\).Or,
    \[u_{n+1}= 1+3+5+7+\dots + (2n-1)+(2(n+1)-1)=u_n + (2n+1)\]
    Ainsi, puisque \(u_n=n^2\) par hypothèse de récurrence,
    \[u_{n+1}=n^2+2n+1=(n+1)^2\]\( \mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
  • Conclusion : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\)

Suite arithmético-géométrique : cas général

Soit \(a\) et \(b\) deux réels, avec \(a\) différent de 0 et 1. On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\),
\[u_{n+1}=a\,u_n+b\]

  1. Résoudre l’équation \(x =ax+b\), d’inconnue réelle \(x\). On note \(r\) la solution de cette équation.
  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\),
    \[u_n=a^n(u_0-r)+r\]
  3. On propose de montrer ce résultat par une autre méthode. On considère pour cela la suite \((c_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(c_n=u_n-r\).
    1. Exprimer \(c_{n+1}\) en fonction de \(c_n\) pour tout entier naturel \(n\). Quelle est la nature de la quite \((c_n)\) ?
    2. En déduire une expression de \(c_n\) puis de \(u_n\) en fonction de \(n\), pour tout entier naturel \(n\).
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1. On a \(x=ax+b\) si et seulement si \(x-ax=b\) si et seulement si \(x(1-a)=b\) si et seulement si \(x=\dfrac{b}{1-a}\).

2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose donc \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=a^n(u_0-r)+r\) »

  • Initialisation : \(a^0 \times (u_0-r)+r = u_0-r+r=u_0\). \( \mathcal{P}(0) \) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel non nul. Supposons que \( \mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(u_n=a^n(u_0-r)+r\).Or,
    \[u_{n+1}= au_n+b=a \times (a^n(u_0-r)+r) + b = a^{n+1} (u_0-r)+ar+b\]
    Or, \(r\) est solution de l’équation \(x =ax+b\). Ainsi, \(ar+b=r\). Il en vient que
    \[u_{n+1}=a^{n+1} (u_0-r)+r\]
    \( \mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
  • Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\)

3.1. Pour tout entier naturel \(n\),
\[c_{n+1}=u_{n+1}-r=au_n+b-r\]
Or, \(r\) est solution de l’équation \(x=ax+b\). Ainsi,
\[c_{n+1}=au_n+b-(ar+b) =a(u_n-r)=a\times c_n\]
La suite \((c_n)\) est une suite géométrique de raison \(a\)

3.2. D’après la question précédence, la suite \((c_n)\) est une suite géométrique de raison \(a\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\),
\[c_n=c_0 \times a^n = (u_0-r) \times a^n\]
Or, pour tout entier naturel \(n\), \(c_n=u_n-r\) et donc \(u_n=c_n+r\). On en conclut que, pour tout entier naturel \(n\),
\[u_n=a^n(u_0-r)+r\]

Majoration, Minoration, Variations

Étude d’une suite récurrente (1)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{5} + 8\).

  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant 10\).
  2. Déterminer le sens de variations de la suite \((u_n)\)
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1. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n\leqslant 10\) ».

  • Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0=2\) et donc \(u_0\leqslant 10\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n\leqslant 10\). Ainsi,
    \[\dfrac{1}{5} \times u_n \leqslant \dfrac{1}{5} \times 10\]
    et
    \[\dfrac{1}{5}u_n+8 \leqslant \dfrac{1}{5} \times 10 + 8\]
    c’est-à-dire \[u_{n+1}\leqslant10\]. \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
  • Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie. \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

2. Pour tout entier naturel \(n\)
\[u_{n+1}-u_n = \dfrac{u_n}{5} + 8 – u_n = -\dfrac{4u_n}{5}+8\]
Or, d’après la question précédente, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant 10\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\),
\[-\dfrac{4u_n}{5} + 8 \geqslant -\dfrac{4}{5} \times 10 + 8\]
c’est-à-dire
\[u_{n+1}-u_n \geqslant 0\]
La suite \((u_n)\) est donc croissante.

Étude d’une suite récurrente (2)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{2+u_n}\]

  1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\)
  2. Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante
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1. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(u_n > 0\) »

  • Initialisation : pour \(n=0\), on a \(u_0=1\) et donc \(u_0 > 0\). \(P(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n > 0\). Or, \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{2+u_n}\). \(u_{n+1}\) est donc le quotient de deux réels strictement positifs, il est donc strictement positif lui aussi. \(P(n+1)\) est vraie.
  • Conclusion : \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

2. On a montré que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\). On peut donc déterminer les variations de la quite \((u_n)\) en étudiant le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\). Or, pour tout entier naturel \(n\),

\[\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2u_n}{2+u_n} \times \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{2}{2+u_n}\]

Or, puisque \(u_n > 0\), il en vient que \( 2+u_n > 2\) et donc que \( \dfrac{2}{2+u_n} < 1\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1\), et donc \(u_{n+1} < u_n\). La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

Suite logistique

On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_0=0.3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[v_{n+1}=4v_n-4v_n^2\]

  1. Pour tout réel \(x\in[0;1]\), on pose \(f(x)=4x-4x^2\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Donner une expression de \(f'(x)\) pour tout réel \(x\in [0;1]\).
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\). En déduire les variations de \(f\) et que pour tout réel \(x \in[0;1]\), \(0\leqslant f(x) \leqslant 1\).
  3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leqslant v_n \leqslant 1\).
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1. Pour tout réel \(x\in[0;1]\), \(f'(x)=4-8x\)

2. On a \(f'(x) > 0\) si et seulement si \(4-8x>0\) si et seulement si \(x< \dfrac{1}{2}\). On construit donc le tableau de signes de \(f'\) et le tableau de variations de \(f\).

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En particulier, on voit que pour tout réel \(x \in [0;1]\), on a \(0 \leqslant f(x) \leqslant 1\)

3. Il faut ici remarquer que pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=f(v_n)\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(0 \leqslant v_n\leqslant 1\) »

  • Initialisation : pour \(n=0\), on a \(v_0=0,3\) et donc \(0 \leqslant v_n\leqslant 1\). \(P(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(0 \leqslant v_n\leqslant 1\). En utilisant les résultats de la question précédente, on a alors \(0\leqslant f(v_n) \leqslant 1\), c’est-à-dire \(0 \leqslant v_{n+1}\leqslant 1\). \(P(n+1)\) est vraie.
  • Conclusion : \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Bac 2021 : Métropole

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\),
\[u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}\]

  1. Montrer que la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\in [0;+\infty [ \) par \(f(x)=\dfrac{5x+4}{x+2}\) est strictement croissante sur \([0,+\infty [\).
  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\),
    \[ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\]
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1. La fonction \(f\) est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur \([0,+\infty [\), le dénominateur ne s’annulant pas sur cet intervalle. De plus, pour tout réel positif \(x\),

\[f'(x) = \dfrac{5 \times (x+2) – 1 \times (5x+4)}{(x+2)^2} = \dfrac{5x+10-5x-4}{(x+2)^2}=\dfrac{6}{(x+2)^2}\]

Ainsi, pour tout réel positif \(x\), \(f'(x) > 0\). \(f\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\)

2. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\) ».

  • Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0=1\) et \(u_1 = \dfrac{5\times 1+4}{1+2} =\dfrac{9}{3}=3\) et donc \(0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 4\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).

    La fonction \(f\) étant strictement croissante sur \([0;+\infty[ \), on peut l’appliquer à cette inégalité sans en changer le sens. Ainsi,
    \[f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(4)\]

    Or, \(f(0)=2\), qui est supérieur à 0, \(f(u_n)=u_{n+1}\), \(f(u_{n+1})=u_{n+2}\) et \(f(4)=4\). il en vient que

    \[0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4\]

    \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

  • Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie. \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Bac 2022 : Centres étrangers

On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par \(a_0= \dfrac{1}{10}\), \(b_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=\mathrm{e}^{-b_n}\\b_{n+1}=\mathrm{e}^{-a_n}\end{array}\right.\]

On rappelle que la fonction \(x\mapsto e^{-x}\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Montrer que pour tout entier naturel \(n\),
\[ 0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1 \]

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1. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1\) »

  • Initialisation : pour \(n=0\), on a \(a_0=\dfrac{1}{10}\), \(b_0=1\), \(a_1 =\mathrm{e}^{-b_0}=\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\) et \(b_1=\mathrm{e}^{-a_0}=\mathrm{e}^{-0,1}\).

    D’une part, puisque \( 10 \geqslant \mathrm{e}\), en appliquant la fonction inverse qui est décroissante sur \(\mathbb{R}^*_+\), on a que \(\dfrac{1}{10} \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}\), c’est-à-dire \(a_0 \leqslant a_1\).

    Par ailleurs, la fonction \(x \mapsto \mathrm{e}^{x}\) étant croissante sur \(\mathbb{R}\). On a donc que \(\mathrm{e}^{-1} \leqslant \mathrm{e}^{-0,1} \leqslant \mathrm{e}^0\), c’est-à-dire \(a_1 \leqslant b_1 \leqslant b_0\).

    Finalement, on a bien que \( 0 < a_0 \leqslant a_1 \leqslant b_1 \leqslant b_0 \leqslant 1\). \(P(0)\) est donc vraie.

  • Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1\). La fonction \( x \mapsto \mathrm{e}^{-x}\) étant décroissante sur \(\mathbb{R}\), on a alors
    \[\mathrm{e}^0 > \mathrm{e}^{-a_n} \geqslant \mathrm{e}^{-a_{n+1}} \geqslant \mathrm{e}^{-b_{n+1}} \geqslant \mathrm{e}^{-b_n} \geqslant \mathrm{e}^{-1}\]

    Et donc, puisque \(\mathrm{e}^{-1} > 0\), on a, en lisant cette inégalité dans l’autre sens,
    \[0 < a_{n+1} \leqslant a_{n+2} \leqslant b_{n+2} \leqslant b_{n+1} \leqslant 1\]
    \(P(n+1)\) est vraie.

  • Conclusion : \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Pour aller plus loin

Récurrence et dérivation

Le but de cet exercice est de démontrer un résultat connu de la classe de Première.

  1. Montrer, à l’aide du taux de variation, que les fonctions \(f_1 : x \mapsto x\) et \(f_2 : x \mapsto x^2\) sont dérivables sur \( \mathbb{R}\) et donner leur fonctions dérivées.
  2. Rappeler le théorème de dérivabilité d’un produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
  3. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)
    \[ f_n : x \mapsto x^n \]
    Montrer par récurrence que \(f_n\) est dérivable sur \( \mathbb{R}\), de dérivée
    \[ f’_n : x \mapsto nx^{n-1} \]
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1. Pour tout réel \(x\) et tout réel non nul \(h\),

\[ \dfrac{f_1(x+h) – f_1(x)}{h}=\dfrac{x+h-x}{h} = \dfrac{h}{h}=1\]

Ainsi, \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f’_1(x)=1\).

Par ailleurs, pour tout réel \(x\) non nul,

\[\dfrac{f_2(x+h)-f_2(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=2x+h\]

Ainsi, \(f_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=2x\).

2. Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\). Alors \(uv\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((uv)’=u’v+uv’\)

3. Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on considère la proposition \( \mathcal{P}(n)\) : « la fonction \(f_n : x \mapsto x^n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(f’_n : x \mapsto nx^{n-1}\) »

  • Initialisation : D’après la question 1., \(f_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=2x=2x^{2-1}\). \(\mathcal{P}(2)\) est donc vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Supposons que \( \mathcal{P}(n)\) est vraie. Pour tout réel \(x\)\[ f_{n+1}(x) = x^{n+1} = x \times x^n = f_1(x) \times f_n(x) \]

    Or, \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (question 1.) et \(f_n\) est également dérivable sur \(\mathbb{R}\) par hypothèse de récurrence. Ainsi, \(f_{n+1}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et

    \[f’_{n+1}=f’_1 \times f_n + f_1 \times f’_n\]

    Pour tout réel \(x\),

    \[ f’_{n+1}(x)= 1 \times x^n + x \times n\,x^{n-1} = x^n+n\,x^n=(n+1)x^n=(n+1) x^{n+1-1}\]
    \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

  • Conclusion : \(\mathcal{P}(2)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2

Suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est la suite \((F_n)\)définie par
\[ \left\{\begin{array}{l}F_0=1\\F_1=1\\\text{Pour tout entier naturel }n, \, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\end{array}\right.\]
Montrer que pour tout entier naturel \(n\),
\[ F_nF_{n+2}-F_{n+1}^2=(-1)^{n}\]
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Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « \(F_nF_{n+2}-F_{n+1}^2=(-1)^{n}\) »

  • Initialisation : D’une part, \(u_2=u_1+u_0=1+1=2\).Pour \(n=0\), \(F_0F_2-F_1^2=1 \times 2 -1=2-1=1=(-1)^0\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. Alors, en utilisant le fait que \(F_{n+3}=F_{n+2}+F_{n+1}\), on a\[ F_{n+1}F_{n+3}-F_{n+2}^2 = F_{n+1} ( F_{n+2}+F_{n+1})-F_{n+2}^2 = F_{n+1}F_{n+2}+F_{n+1}^2-F_{n+2}^2=F_{n+2}(F_{n+1}-F_{n+2})+F_{n+1}^2\]

    Or, puisque \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\), il en vient que \(F_{n+1}-F_{n+2}=-F_n\). Ainsi,
    \[ F_{n+1}F_{n+3}-F_{n+2}^2 = -F_{n+2}F_n+F_{n+1}^2=-(F_{n+2}F_n-F_{n+1}^2)\]

    Par hypothèse de récurrence, \(F_nF_{n+2}-F_{n+1}^2=(-1)^{n}\). Finalement,
    \[ F_{n+1}F_{n+3}-F_{n+2}^2 = -(-1)^n=(-1)^{n+1}\]

    \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

  • Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Avec l’exponentielle

Montrer que pour tout entier naturel \(n\) et pour tout réel \(x\geqslant 0\),
\[\exp(x) \geqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3!} + \dots + \dfrac{x^n}{n!}\]
où \(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1\).
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Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « Pour tout réel \(x\geqslant 0\), \(\exp(x) \geqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3!} + \dots + \dfrac{x^n}{n!}\) »

  • Initialisation : Pour \(n=0\) : la fonction exponentielle étant croissante sur \(\mathbb{R}\), on a que pour tout réel \(x\geqslant 0\), \(\exp(x) \geqslant \exp(0)\), c’est-à-dire \(\exp(x)\geqslant 1\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On considère alors la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) suivante :\[f : x \mapsto \exp(x) – \left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots + \dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right)\]

    \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables. De plus, pour tout réel positif \(x\) :
    \[f'(x)=\exp(x)- \left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}\right)\]

    En effet, pour tout entier \(k\), la dérivée de \(x \mapsto \dfrac{x^k}{k!}\) est \(x\mapsto \dfrac{kx^{k-1}}{k!}\). Or, \[\dfrac{k}{k!}=\dfrac{k}{k \times (k-1) \times (k-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1}{(k-1)!}\]

    La dérivée de \(x \mapsto \dfrac{x^k}{k!}\) est donc \(x \mapsto \dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}\)

    Par hypothèse de récurrence, \(f'(x) \geqslant 0\) pour tout réel \(x\). \(f\) est donc croissante sur \(\mathbb{R}^+\). Ainsi, pour tout réel positif \(x\), on a \(f(x) \geqslant f(0)\). Puisque \( f(0)=0\), on en déduit que pour tout réel positif \(x\), \(f(x) \geqslant 0\), c’est-à-dire
    \[\exp(x) – \left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots + \dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right) \geqslant 0\]
    et donc que pour tout réel \(x\),
    \[\exp(x) \geqslant 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots + \dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\]
    \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

  • Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

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