Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(P(n)\) : « \(u_n=4+8\times 3^n\) ».

• Initialisation : Pour \(n=0\), on a bien \(4+8\times 3^0=4+8\times 1 = 12 = u_0\). \(P(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n=4+8\times 3^n\).Or, \(u_{n+1}=3u_n-8\). Ainsi, \[u_{n+1}=3(4+8\times3^n)-8=3\times 4 +3\times 8 \times 3^n – 8 = 4 + 8 \times 3^{n+1}\] \(P(n+1)\) est donc vraie.
• Conclusion : \(P(0)\) est vraie. \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

1. On a

• \( u_2 = \dfrac{u_1}{\sqrt{u_1^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
• \( u_3 = \dfrac{u_2}{\sqrt{u_2^2+1}}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+1}}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

2. Il semblerait que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)

3. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) »

• Initialisation : \( \dfrac{1}{\sqrt{1}}=1=u_1\), \( \mathcal{P}(1) \) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel non nul. Supposons que \( \mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).Or, \[u_{n+1}= \dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}\]
  Ainsi,
  \[u_{n+1}= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \times \dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \times \dfrac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\dfrac{n}{n+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\]\( \mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
• Conclusion : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\)

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n =\dfrac{9-8n}{3+8n}\) ».

• Initialisation : \(\dfrac{9-8 \times 0}{3+8 \times 0}=\dfrac{9}{3}=3=u_0\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(u_n =\dfrac{9-8n}{3+8n}\). On cherche à établir que
  \[u_{n+1}=\dfrac{9-8(n+1)}{3+8(n+1)}=\dfrac{9-8n-8}{3+8n+8}=\dfrac{1-8n}{11+8n}\]
  Or, \(u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}\). Ainsi,
  \[u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{9-8n}{3+8n}-2}{2 \times \dfrac{9-8n}{3+8n} +5} = \dfrac{\dfrac{9-8n-2(3+8n)}{3+8n}}{\dfrac{2(9-8n)+5(3+8n)}{3+8n}}\]
  Ainsi,
  \[u_{n+1}=\dfrac{9-8n-2(3+8n)}{3+8n} \times \dfrac{2(9-8n)+5(3+8n)}{3+8n}=\dfrac{9-8n-2(3+8n)}{2(9-8n)+5(3+8n)}\]
  et donc
  \[u_{n+1}=\dfrac{9-8n-6-16n}{18-16n+15+40n}=\dfrac{3-24n}{33-24n}\]
  En factorisant au numérateur et au dénominateur par 3, on obtient finalement,
  \[u_{n+1}=\dfrac{3(1-8n)}{3(11-8n)}=\dfrac{1-8n}{11+8n}\]
  qui est bien le résultat voulu. \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

1. On a \(u_1=1\), \(u_2=1+3=4\), \(u3=1+3+5=9\), \(u_4=1+3+5+7=16\)

2. Il semblerait que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=n^2\).

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose donc \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=n^2\) »

• Initialisation : \( 1^2=1=u_1\), \( \mathcal{P}(1) \) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel non nul. Supposons que \( \mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(u_n=n^2\).Or,
  \[u_{n+1}= 1+3+5+7+\dots + (2n-1)+(2(n+1)-1)=u_n + (2n+1)\]
  Ainsi, puisque \(u_n=n^2\) par hypothèse de récurrence,
  \[u_{n+1}=n^2+2n+1=(n+1)^2\]\( \mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
• Conclusion : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\)

1. On a \(x=ax+b\) si et seulement si \(x-ax=b\) si et seulement si \(x(1-a)=b\) si et seulement si \(x=\dfrac{b}{1-a}\).

2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose donc \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=a^n(u_0-r)+r\) »

• Initialisation : \(a^0 \times (u_0-r)+r = u_0-r+r=u_0\). \( \mathcal{P}(0) \) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel non nul. Supposons que \( \mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(u_n=a^n(u_0-r)+r\).Or,
  \[u_{n+1}= au_n+b=a \times (a^n(u_0-r)+r) + b = a^{n+1} (u_0-r)+ar+b\]
  Or, \(r\) est solution de l’équation \(x =ax+b\). Ainsi, \(ar+b=r\). Il en vient que
  \[u_{n+1}=a^{n+1} (u_0-r)+r\]
  \( \mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\)

3.1. Pour tout entier naturel \(n\),
\[c_{n+1}=u_{n+1}-r=au_n+b-r\]
Or, \(r\) est solution de l’équation \(x=ax+b\). Ainsi,
\[c_{n+1}=au_n+b-(ar+b) =a(u_n-r)=a\times c_n\]
La suite \((c_n)\) est une suite géométrique de raison \(a\)

3.2. D’après la question précédence, la suite \((c_n)\) est une suite géométrique de raison \(a\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\),
\[c_n=c_0 \times a^n = (u_0-r) \times a^n\]
Or, pour tout entier naturel \(n\), \(c_n=u_n-r\) et donc \(u_n=c_n+r\). On en conclut que, pour tout entier naturel \(n\),
\[u_n=a^n(u_0-r)+r\]

1. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n\leqslant 10\) ».

• Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0=2\) et donc \(u_0\leqslant 10\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n\leqslant 10\). Ainsi,
  \[\dfrac{1}{5} \times u_n \leqslant \dfrac{1}{5} \times 10\]
  et
  \[\dfrac{1}{5}u_n+8 \leqslant \dfrac{1}{5} \times 10 + 8\]
  c’est-à-dire \[u_{n+1}\leqslant10\]. \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie. \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

2. Pour tout entier naturel \(n\)
\[u_{n+1}-u_n = \dfrac{u_n}{5} + 8 – u_n = -\dfrac{4u_n}{5}+8\]
Or, d’après la question précédente, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant 10\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\),
\[-\dfrac{4u_n}{5} + 8 \geqslant -\dfrac{4}{5} \times 10 + 8\]
c’est-à-dire
\[u_{n+1}-u_n \geqslant 0\]
La suite \((u_n)\) est donc croissante.

1. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(u_n > 0\) »

• Initialisation : pour \(n=0\), on a \(u_0=1\) et donc \(u_0 > 0\). \(P(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n > 0\). Or, \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{2+u_n}\). \(u_{n+1}\) est donc le quotient de deux réels strictement positifs, il est donc strictement positif lui aussi. \(P(n+1)\) est vraie.
• Conclusion : \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

2. On a montré que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\). On peut donc déterminer les variations de la quite \((u_n)\) en étudiant le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\). Or, pour tout entier naturel \(n\),

\[\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2u_n}{2+u_n} \times \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{2}{2+u_n}\]

Or, puisque \(u_n > 0\), il en vient que \( 2+u_n > 2\) et donc que \( \dfrac{2}{2+u_n} < 1\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1\), et donc \(u_{n+1} < u_n\). La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

1. Pour tout réel \(x\in[0;1]\), \(f'(x)=4-8x\)

2. On a \(f'(x) > 0\) si et seulement si \(4-8x>0\) si et seulement si \(x< \dfrac{1}{2}\). On construit donc le tableau de signes de \(f’\) et le tableau de variations de \(f\).

En particulier, on voit que pour tout réel \(x \in [0;1]\), on a \(0 \leqslant f(x) \leqslant 1\)

3. Il faut ici remarquer que pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=f(v_n)\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(0 \leqslant v_n\leqslant 1\) »

• Initialisation : pour \(n=0\), on a \(v_0=0,3\) et donc \(0 \leqslant v_n\leqslant 1\). \(P(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(0 \leqslant v_n\leqslant 1\). En utilisant les résultats de la question précédente, on a alors \(0\leqslant f(v_n) \leqslant 1\), c’est-à-dire \(0 \leqslant v_{n+1}\leqslant 1\). \(P(n+1)\) est vraie.
• Conclusion : \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

1. La fonction \(f\) est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur \([0,+\infty [\), le dénominateur ne s’annulant pas sur cet intervalle. De plus, pour tout réel positif \(x\),

\[f'(x) = \dfrac{5 \times (x+2) – 1 \times (5x+4)}{(x+2)^2} = \dfrac{5x+10-5x-4}{(x+2)^2}=\dfrac{6}{(x+2)^2}\]

Ainsi, pour tout réel positif \(x\), \(f'(x) > 0\). \(f\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\)

2. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\) ».

• Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0=1\) et \(u_1 = \dfrac{5\times 1+4}{1+2} =\dfrac{9}{3}=3\) et donc \(0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 4\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).La fonction \(f\) étant strictement croissante sur \([0;+\infty[ \), on peut l’appliquer à cette inégalité sans en changer le sens. Ainsi,
  \[f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(4)\]Or, \(f(0)=2\), qui est supérieur à 0, \(f(u_n)=u_{n+1}\), \(f(u_{n+1})=u_{n+2}\) et \(f(4)=4\). il en vient que

  \[0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4\]

  \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie. \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

1. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1\) »

• Initialisation : pour \(n=0\), on a \(a_0=\dfrac{1}{10}\), \(b_0=1\), \(a_1 =\mathrm{e}^{-b_0}=\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\) et \(b_1=\mathrm{e}^{-a_0}=\mathrm{e}^{-0,1}\).D’une part, puisque \( 10 \geqslant \mathrm{e}\), en appliquant la fonction inverse qui est décroissante sur \(\mathbb{R}^*_+\), on a que \(\dfrac{1}{10} \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}\), c’est-à-dire \(a_0 \leqslant a_1\).Par ailleurs, la fonction \(x \mapsto \mathrm{e}^{x}\) étant croissante sur \(\mathbb{R}\). On a donc que \(\mathrm{e}^{-1} \leqslant \mathrm{e}^{-0,1} \leqslant \mathrm{e}^0\), c’est-à-dire \(a_1 \leqslant b_1 \leqslant b_0\).

  Finalement, on a bien que \( 0 < a_0 \leqslant a_1 \leqslant b_1 \leqslant b_0 \leqslant 1\). \(P(0)\) est donc vraie.

• Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1\). La fonction \( x \mapsto \mathrm{e}^{-x}\) étant décroissante sur \(\mathbb{R}\), on a alors
  \[\mathrm{e}^0 > \mathrm{e}^{-a_n} \geqslant \mathrm{e}^{-a_{n+1}} \geqslant \mathrm{e}^{-b_{n+1}} \geqslant \mathrm{e}^{-b_n} \geqslant \mathrm{e}^{-1}\]Et donc, puisque \(\mathrm{e}^{-1} > 0\), on a, en lisant cette inégalité dans l’autre sens,
  \[0 < a_{n+1} \leqslant a_{n+2} \leqslant b_{n+2} \leqslant b_{n+1} \leqslant 1\]
  \(P(n+1)\) est vraie.
• Conclusion : \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

1. Pour tout réel \(x\) et tout réel non nul \(h\),

\[ \dfrac{f_1(x+h) – f_1(x)}{h}=\dfrac{x+h-x}{h} = \dfrac{h}{h}=1\]

Ainsi, \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f’_1(x)=1\).

Par ailleurs, pour tout réel \(x\) non nul,

\[\dfrac{f_2(x+h)-f_2(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=2x+h\]

Ainsi, \(f_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=2x\).

2. Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\). Alors \(uv\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((uv)’=u’v+uv’\)

3. Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on considère la proposition \( \mathcal{P}(n)\) : « la fonction \(f_n : x \mapsto x^n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(f’_n : x \mapsto nx^{n-1}\) »

• Initialisation : D’après la question 1., \(f_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=2x=2x^{2-1}\). \(\mathcal{P}(2)\) est donc vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Supposons que \( \mathcal{P}(n)\) est vraie. Pour tout réel \(x\)\[ f_{n+1}(x) = x^{n+1} = x \times x^n = f_1(x) \times f_n(x) \]Or, \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (question 1.) et \(f_n\) est également dérivable sur \(\mathbb{R}\) par hypothèse de récurrence. Ainsi, \(f_{n+1}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et\[f’_{n+1}=f’_1 \times f_n + f_1 \times f’_n\]

  Pour tout réel \(x\),

  \[ f’_{n+1}(x)= 1 \times x^n + x \times n\,x^{n-1} = x^n+n\,x^n=(n+1)x^n=(n+1) x^{n+1-1}\]
  \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

• Conclusion : \(\mathcal{P}(2)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2

Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « \(F_nF_{n+2}-F_{n+1}^2=(-1)^{n}\) »

• Initialisation : D’une part, \(u_2=u_1+u_0=1+1=2\).Pour \(n=0\), \(F_0F_2-F_1^2=1 \times 2 -1=2-1=1=(-1)^0\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. Alors, en utilisant le fait que \(F_{n+3}=F_{n+2}+F_{n+1}\), on a\[ F_{n+1}F_{n+3}-F_{n+2}^2 = F_{n+1} ( F_{n+2}+F_{n+1})-F_{n+2}^2 = F_{n+1}F_{n+2}+F_{n+1}^2-F_{n+2}^2=F_{n+2}(F_{n+1}-F_{n+2})+F_{n+1}^2\]Or, puisque \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\), il en vient que \(F_{n+1}-F_{n+2}=-F_n\). Ainsi,
  \[ F_{n+1}F_{n+3}-F_{n+2}^2 = -F_{n+2}F_n+F_{n+1}^2=-(F_{n+2}F_n-F_{n+1}^2)\]Par hypothèse de récurrence, \(F_nF_{n+2}-F_{n+1}^2=(-1)^{n}\). Finalement,
  \[ F_{n+1}F_{n+3}-F_{n+2}^2 = -(-1)^n=(-1)^{n+1}\]

  \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « Pour tout réel \(x\geqslant 0\), \(\exp(x) \geqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3!} + \dots + \dfrac{x^n}{n!}\) »

• Initialisation : Pour \(n=0\) : la fonction exponentielle étant croissante sur \(\mathbb{R}\), on a que pour tout réel \(x\geqslant 0\), \(\exp(x) \geqslant \exp(0)\), c’est-à-dire \(\exp(x)\geqslant 1\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On considère alors la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) suivante :\[f : x \mapsto \exp(x) – \left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots + \dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right)\]\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables. De plus, pour tout réel positif \(x\) :
  \[f'(x)=\exp(x)- \left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}\right)\]En effet, pour tout entier \(k\), la dérivée de \(x \mapsto \dfrac{x^k}{k!}\) est \(x\mapsto \dfrac{kx^{k-1}}{k!}\). Or, \[\dfrac{k}{k!}=\dfrac{k}{k \times (k-1) \times (k-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1}{(k-1)!}\]

  La dérivée de \(x \mapsto \dfrac{x^k}{k!}\) est donc \(x \mapsto \dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}\)

  Par hypothèse de récurrence, \(f'(x) \geqslant 0\) pour tout réel \(x\). \(f\) est donc croissante sur \(\mathbb{R}^+\). Ainsi, pour tout réel positif \(x\), on a \(f(x) \geqslant f(0)\). Puisque \( f(0)=0\), on en déduit que pour tout réel positif \(x\), \(f(x) \geqslant 0\), c’est-à-dire
  \[\exp(x) – \left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots + \dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right) \geqslant 0\]
  et donc que pour tout réel \(x\),
  \[\exp(x) \geqslant 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots + \dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\]
  \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).