Suites numériques

Accueil » Cours et exercices » Première Générale » Suites numériques
Accéder aux exercices corrigés sur les généralités sur les suites

Notion de suite

Généralités

Notion de suite numérique en vidéo

Une suite numérique est une fonction définie pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\) $$u:\begin{array}{rcl} \mathbb{N}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ n& \longmapsto &u(n) \end{array}$$ On note en général \(u_n\) l’image de \(n\) par la suite \(u\), également appelé terme de rang \(n\).
La suite \(u\) est également notée \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ou \((u_n)\)

Exemple : On peut définir la suite \((u_n)\) des nombres impairs. On a alors \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_2=5\)…

Comme pour les fonctions, on peut définir une suite à l’aide d’une formule explicite.

Exemple : On considère la suite \((u_n)\) telle que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=3n+4\). On a alors :

  • \(u_0=3\times 0 + 4 = 4\)
  • \(u_1=3\times 1 + 4 = 7\)
  • \(u_2=3\times 2 + 4 = 10\)…

Suite définie par récurrence

On dit qu’une suite \((u_n)\) est définie par récurrence (d’ordre 1) lorsqu’il existe une fonction \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) telle que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=f(u_n)\). Autrement dit, tout terme de la suite se construit à partir du terme précédent.

Exemple : On définit la suite \((u_n)\) comme suit :

  • \(u_0=-2\)
  • pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=u_n^2+3\)

On a ainsi

  • \(u_1=u_0^2+3=(-2)^2+3=7\)
  • \(u_2=u_1^2+3=7^2+3=52\)
  • \(u_3=u_2^2+3=52^2+3=2707\)
Cliquer ici pour s’entraîner : Calcul de termes de suites
Tutoriel calculatrice : Suite récurrente d’ordre 1
Numworks | Texas Instruments | Casio

Représentation graphique

On se place dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\). La représentation graphique d’une suite \((u_n)\) est l’ensemble des points de coordonnées \((n:u_n)\) pour \(n\in\mathbb{N}\).

Exemple : Cet exemple utilise des notions du chapitre Trigonométrie.

On considère la suite \((u_n)\) telle que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=\cos\left( \dfrac{n\pi}{2} \right)+n\).

  • \(u_0=\cos (0)+0=1\), on place le point de coordonnées \((0;1)\).
  • \(u_1=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+1=1\), on place le point de coordonnées \((1;1)\).
  • \(u_2=\cos \left(\pi\right)+2=1\), on place le point de coordonnées \((2;1)\)…

Rendered by QuickLaTeX.com

Sens de variation d’une suite

Variations d’une suite

Soit \((u_n)\) une suite numérique et \(n_0\in\mathbb{N}\)

  • On dit que \((u_n)\) est croissante à partir du rang \(n_0\) si, pour tout \(n\geqslant n_0\), \(u_n\leqslant u_{n+1}\).
  • On dit que \((u_n)\) est décroissante à partir du rang \(n_0\) si, pour tout \(n\geqslant n_0\), \(u_n\geqslant u_{n+1}\).
  • On dit que \((u_n)\) est constante à partir du rang \(n_0\) si, pour tout \(n\geqslant n_0\), \(u_n= u_{n+1}\).

Comme pour les fonctions, il existe des strictes croissances et décroissances de suite

Exemple : Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\) par \(u_n=2n^2+5n-3\). Soit \(n\in\mathbb{N}\)

 

\begin{array}{rcl} u_{n+1}-u_n&=&2(n+1)^2+5(n+1)-3-(2n^2+5n-3)\\ &=&2(n^2+2n+1)+5n+5-3-2n^2-5n+3\\ &=&2n^2+4n+2+5-2n^2\\ &=&4n+7>0 \end{array}

Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}-u_n>0\), c’est-à-dire \(u_{n+1}>u_n\). La suite \((u_n)\) est donc strictement croissante (à partir du rang \(0\)…).

Soit \((u_n)\) une suite dont les termes sont tous strictement positifs et \(n_0\in\mathbb{N}\).

  • \((u_n)\) est croissante à partir du rang \(n_0\) si et seulement si, pour tout \(n\geqslant n_0\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1\).
  • \((u_n)\) est décroissante à partir du rang \(n_0\) si et seulement si, pour tout \(n\geqslant n_0\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant 1\).

Exemple : Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\mathbb{N} \setminus \{0\}\) par \(u_n=\dfrac{2^n}{n}\).

  • Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n>0\)
  • Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\times \dfrac{n}{2^n}=\dfrac{2n}{n+1}\)

Or, pour tout \(n>1\), on a \(n+n>n+1\), c’est-à-dire \(2n>n+1\), soit \(\dfrac{2n}{n+1}>1\).

Ainsi, pour tout \(n>1\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1\). La suite \((u_n)\) est donc croissante à partir du rang 1.

Lien avec les fonctions

Soit \(n_0\in\mathbb{N}\) et \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et monotone sur \([n_0;+\infty[\).
La suite \((u_n)\), définie pour tout \(n\in \mathbb{N}\) par \(u_n=f(n)\), est monotone à partir du rang \(n_0\), de même monotonie que \(f\).

Supposons que la fonction \(f\) est croissante sur \([n_0;+\infty [\). Soit \(n\geqslant n_0\).

Puisque \(n\leqslant n+1\), alors, par croissance de \(f\) sur \([n_0;+\infty[\), \(f(n)\leqslant f(n+1)\), c’est-à-dire \(u_n\leqslant u_{n+1}\). La suite \((u_n)\) est donc croissante à partir du rang \(n_0\).

La démonstration est analogue si \(f\) est décroissante.

La réciproque est fausse ! La suite \(\left(\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)+n\right)\) est croissante, mais la fonction \(x\mapsto \cos \left( \dfrac{x\pi}{2}\right)+x\) n’est pas monotone

Limites de suite

En classe de Première générale, le programme se limite à une approche intuitive de la limite. Celle-ci sera davantage développée en classe de Terminale pour les chanceux qui continueront les mathématiques.

Limite finie

Soit \((u_n)\) une suite numérique.
On dit que la suite \((u_n)\) converge vers 0 si les termes de la suite « se rapprochent aussi proche que possible de 0 » lorsque \(n\) augmente.
On dit que 0 est la limite de la suite \((u_n)\) en \(+\infty\), ce que l’on note \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0\)

Exemple : On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n>0\) par \(u_n=\dfrac{1}{n}\) \(u_1=1\) , \(u_{10}=0.1\) , \(u_{100}=0.01\) , \(u_{100000}=0.00001\)…\\ La limite de la suite \((u_n)\) en \(+\infty\) semble être 0. On peut l’observer sur la représentation graphique de la suite.

Rendered by QuickLaTeX.com

Soit \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a\neq 0\). La suite \(\left(\dfrac{1}{an+b}\right)\) converge vers 0.

Soit \(L\) un réel et \((u_n)\) une suite numérique.
On dit que la suite \((u_n)\) converge vers \(L\) si les termes de la suite « se rapprochent autant que possible de \(L\) » lorsque \(n\) augmente.

Soit \(L\) un réel et \((u_n)\) une suite numérique.
Le suite \((u_n)\) converge vers \(L\) si et seulement si la suite \((u_n-L)\) converge vers 0.

Exemple : On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(u_n=\dfrac{6n-5}{3n+1}\). On représente graphiquement cette suite dans un repère orthonormé.

Rendered by QuickLaTeX.com

Il semble que la suite se rapproche de la valeur 2. Notons alors \((v_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(v_n=u_n-2\)
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[v_n=u_n-2=\dfrac{6n-5}{3n+1}-2=\dfrac{6n-5}{3n+1}-\dfrac{6n+2}{3n+1}=\dfrac{-7}{3n+1}\] Ainsi, \((v_n)\) converge vers 0, donc \((u_n)\) converge vers 2.

Limite infinie

Soit \((u_n)\) une suite numérique.
On dit que la suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si \(u_n\) devient « aussi grand que l’on veut et le reste » lorsque \(n\) augmente. On note \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty\)

Exemple : On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\) par \(u_n=n^2\).
\(u_0=0\), \(u_{10}=100\), \(u_{100}=10000\), \(u_{1000}=1000000\)… La suite semble tendre vers \(+\infty\).
Prenons en effet \(A\in\mathbb{R}+\). Alors, dès que \(n\geqslant \sqrt{A}\), on a \(u_n=n^2\geqslant A\), par croissance de la fonction Carré sur \(\mathbb{R}+\). Ainsi, \(u_n\) devient plus grand que n’importe quel nombre, à partir d’un certain rang.

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *