La probabilité manquante est \(\dfrac{3}{10}\). On a alors les tableaux suivants pour les lois de \(Y\) et \(Z\).

\(X\) suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,115. Par ailleurs, on a \(Y=65-399X\).

Les présences des passagers étant indépendantes, \(X\) suit une loi binomiale de paramètres 206 et 0,95.

D’après la calculatrice, \(\mathbb{P}(X \leqslant 200) \simeq 0,948\). Il y a donc environ 5,2% de chances que trop de passagers se présentent à l’embarquement.

On a \(\mathbb{P}(Y=6)=1-(\mathbb{P}(Y=0)+\dots + \mathbb{P}(Y=5))=0,00003\).

En vendant 206 billets, la compagnie encaisse \(206 \times 250 = 51500\) euros. Seulement, elle doit rembourser 850 euros par client ne pouvant embarquer (représenté par la variable \(Y\)). Ainsi, \(C=51500-850Y\).

On a alors \(E[C]\simeq 51429\). Si la compagnie avait vendu seulement 200 billets, son chiffre d’affaires aurait été de 50000 euros, le surbooking lui est donc avantageux.

On complète les tableaux donnant les lois de \(X\) et \(Y\) en faisant en sorte que la somme des probabilités vaille 1.

\(\quad\)
et
\(\quad\)

Le tableau résumant la loi de la variable aléatoire \(Z=2X\) est le suivant.

L’événement \(X+Y=5\) est réalisé lorsque \((X=3 \cap Y=2)\) ou \((X=4 \cap Y=1)\). Ces variables étant indépendantes, on a donc
\[\mathbb{P}(X+Y=5) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{5}{12} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{30}.\]
Le tableau résumant la loi de la variable aléatoire \(W=X+Y\) est le suivant.

Le tableau résumant la loi de la variable aléatoire \(A=3X-2Y\) est le suivant.

La loi de \(X+Y\) est la suivante.

Le cas le plus compliqué ici est \(X+Y=7\) puisqu’il y a deux cas à étudier.
\[\mathbb{P}(X+Y=7)=\mathbb{P}(X=2 \cap Y=5)+\mathbb{P}(X=3 \cap Y=4).\]
\(X\) et \(Y\) étant indépendantes, on a alors
\[\mathbb{P}(X+Y=7)=\mathbb{P}(X=2)\mathbb{P}(Y=5)+\mathbb{P}(X=3)\mathbb{P}( Y=4)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}+ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{12}.\]

La loi de \(2X+3Y\) est la suivante.

On a \(E[X]=2 \times \dfrac{1}{3} + 3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}\) et \(E[Y]=1 \times \dfrac{1}{4}+4 \times \dfrac{1}{2} + 5 \times \dfrac{1}{4}= \dfrac{7}{2}\).

Ainsi, \(E[3X+2]=3E[X]+2=10\), \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]=\dfrac{8}{3}+\dfrac{7}{2}= \dfrac{37}{6}\) et
\(E[5X-2Y]=5E[X]-2E[Y]=\dfrac{40}{3}-7=\dfrac{19}{3}\).

On a \(E(Z_1)=2E(X)+3E(Y)=2 \times 3 + 3 \times (-5)=-9\). De plus, les variables \(X\) et \(Y\) étant indépendantes, \(V(Z_1)=V(2X)+V(3Y)=4V(X)+9V(Y)=4 \times 1 + 9 \times 2 = 22\).

On a \(E(Z_2)=4E(X)-2E(Y)=4 \times 3 -2 \times (-5)=22\). De plus, les variables \(X\) et \(Y\) étant indépendantes, \( V(Z_2)=V(4X)+V(-2Y)=16V(X)+4V(Y)=16 \times 1 + 4 \times 2 = 24\).

On a \(E(Z_3)=3E(Y)-2E(X)+7=3 \times (-5) -2 \times 3 + 7 = -14\). De plus, les variables \(X\) et \(Y\) étant indépendantes, et \(7\) étant un réel, \(V(Z_3)=V(3Y)+V(-2X)+V(7)=9V(Y)+4V(X)+0=9 \times 2 + 4 \times 1 = 22\).

On a \(E[Y]=\dfrac{E[X]-E[X]}{\sigma(X)}=0\) et \(V(Y) = \dfrac{V(X)+0}{\sigma(X)^2}=\dfrac{V(X)}{V(X)}=1\). \(Y\) est centrée et réduite.

1. Le nombre de tirages est de \(8 \times 8 \times 8=512\).
2. 1. Le nombre de tirages sans répétition est de \(8 \times 7 \times 6=336\).
   2. Le nombre de tirages avec au moins une répétition est donc \(512-336=176\).
3. \(X_1\) prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8, chacune avec probabilité \(\dfrac{1}{8}\).
4. On a \(E(X_1)=\dfrac{1}{8} \times (1+2+3+4+5+6+7+8)=\dfrac{9}{2}\).
5. On a \(E(S)=E(X_1+X_2+X_3)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)=\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{27}{2}\).
6. On a \(S=24\) si et seulement si le numéro 8 a été tiré lors des trois tirages. Ainsi, \(\mathbb{P}(S=24)=\mathbb{P}((8;8;8))=\dfrac{1}{512}\).
7. 1. Les 10 tirages possibles sont \((8;8;8)\), \((8;8;7)\), \((8;7;8)\), \((7;8;8)\), \((8;7;7)\), \((7;8;7)\), \((7;7;8)\), \((8;8;6)\), \((8;6;8)\) et \((6;8;8)\).
   2. La probabilité de gagner un lot est donc de \(\dfrac{10}{512}\) soit \(\dfrac{5}{256}\).

\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=3\) et \(p=0,5\). Le tableau résumant la loi de \(X\) est le suivant :

\(Y\) est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre \(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}\). L’espérance de \(Y\) vaut \(\dfrac{1}{4}\).

On a alors \(Z= 7Y-2\) : Si \(Y\) vaut 0, on perd deux euros. Sinon, on en remporte 5.
Ainsi, \(E(Z)=7E(Y)-2=\dfrac{7}{4}-2=-\dfrac{1}{4}\). L’espérance est négative, ce jeu est donc au désavantage du joueur.

On note \(X\) le nombre de jetons gagnants tirés. \(X\) suit une loi binomiale de paramètres 2 et \(\dfrac{1}{10}\). L’espérance de \(X\) vaut \(2 \times \dfrac{1}{10}=0,2\)

On note \(Y\) le gain algébrique d’un joueur. Si \(X\) représente le nombre de jetons gagnants tirés, le gain est de \(20 X\). La participation au jeu étant de 10 euros, le gain \(Y\) vaut \(Y=20X-10\).
On a donc \(E(X)=20 E(X)-10=20 \times 0,2 -10 = -6\). Le jeu est au désavantage du joueur.

On a \(E[X] = 2 \times \dfrac{1}{8} + 1 \times \dfrac{1}{4} + (-1) \times \dfrac{5}{8} = -\dfrac{1}{8}\) et
\[ V(X)= \dfrac{1}{2}\left(2- \left(-\dfrac{1}{8}\right)\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(1-\left(-\dfrac{1}{8}\right)\right)^2+\dfrac{5}{8}\left(-1-\left(-\dfrac{1}{8}\right)\right)^2 = \dfrac{1563}{512}\simeq 3,05\]
Par ailleurs, \(E[Y]=1 \times \dfrac{1}{2}+ 2 \times \dfrac{1}{6} + (-2) \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\) et
\[ V(Y)= \dfrac{1}{3}\left(1- \dfrac{1}{6}\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(2-\dfrac{1}{6}\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(-2-\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{89}{36}\simeq 2,47\]

La variable \(X\) correspond au jeu proposé ici. L’espérance est négative : le jeu est désavantageux pour le joueur

Pour la loi de \(Y\) : Dans une urne sont placées six boules. Une participation coûte deux euros. Deux boules sont perdantes, 3 rapportent 3 euros et 1 rapporte 4 euros.

On a \(Z=2X+3Y\) et donc \(E(Z)=2E(X)+ 3 E(Y)= -2\times \dfrac{1}{8} + 3 \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4}>0\). Le jeu est avantageux pour le joueur.

D’une part, \(V(X)=(1-p)E(X)\). Ainsi, \(p=\dfrac{1}{3}\). Par ailleurs, \(E(X)=np=6\) d’où \(n=18\).

On a \(E(X)= 10 \times 0,3=3\), \(V(X)= 10 \times 0,3 \times (1-0,3)= 2,1\) et \(\sigma(X)=\sqrt{2,1}\simeq 1,449\) puis
\(E(Y)= 8 \times 0,2 = 1,6\), \(V(Y)=8 \times 0,2 \times (1-0,2)= 1,28\) et \(\sigma(X)=\sqrt{1,28} \simeq 1,131\).

Par ailleurs, \(E(Z)=2E(X)-3E(Y)=2 \times 3 – 3 \times 1,6 = 1,2\). De plus, \(X\) et \(Y\) étant indépendantes, on a \(V(Z)=V(2X)+V(-3Y)=4V(X)+9V(Y)=19.92\) et \(\sigma(Z)=\sqrt{19.92}\simeq 4,463\)

Partie A : Étude de cas particuliers

1. 1. La loi de \(X\) est la suivante.
      

      \(k\)	0	1
      \(\mathbb{P}(X=k)\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)

      La probabilité d’avoir un tiroir vide correspond au cas où les deux objets sont rangés dans le tiroir 1 (probabilité \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)) ou dans le tiroir 2 (même probabilité), soit une probabilité total de \(\dfrac{1}{2}\). La probabilité qu’il y ait un tiroir vide s’obtient par complément à 1.

   2. \(E[X]=\dfrac{1}{2} \times 0 + \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{2}\).
2. 1. On peut effectuer \(3 \times 3 \times 3 = 27\) rangements différents.
   2. Si le tiroir 1 n’est pas utilisé, on peut effectuer \(2 \times 2 \times 2 = 8\) rangements différents.
   3. \(X_1\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{8}{27}\).
   4. On considère la variable aléatoire \(X=X_1+X_2+X_3\). \(X\) donne le nombre de tiroirs vides à l’issue de l’expérience. \(E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3] = 3 \times \dfrac{8}{27}=\dfrac{8}{9}\). Si l’on fait un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de tiroirs vide se rapprochera de \(\dfrac{8}{9}\).

Partie B : Cas général

1. Il y a \(n^n\) rangements dans les tiroirs possibles et \((n-1)^n\) rangements dans les tiroirs qui laissent le tiroir 1 vide. Ainsi, \(\mathbb{P}(Y_1=1)=\dfrac{(n-1)^n}{n^n}\). Puisque \(Y_1\) est une variable de Bernoulli, c’est également son espérance.
2. Le nombre moyen de tiroirs vides est l’espérance de \(Y=Y_1+Y_2+\ldots + Y_n\). Les \(Y_k\) ont tous pour espérance \(\dfrac{(n-1)^n}{n^n}\). Ainsi, \(E(X)=n \times \dfrac{(n-1)^n}{n^n}=\dfrac{(n-1)^n}{n^{n-1}}\).