Automatisme : Calculer des probabilités conditionnelles via un tableau croisé d’effectifs ou d’arbres pondérés

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Probabilité conditionnelle \(P_A(B)\) : C’est la probabilité que l’événement \(B\) se réalise, sachant que \(A\) est déjà réalisé.

  • Dans un tableau : On restreint l’univers à la ligne (ou la colonne) de la condition.
    \[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\text{Effectif de } A \cap B}{\text{Effectif total de } A}\]
  • Dans un arbre pondéré : La probabilité conditionnelle \(P_A(B)\) se lit directement sur la branche du deuxième niveau reliant l’événement \(A\) à l’événement \(B\). Pour calculer la probabilité d’une intersection, on multiplie les probabilités le long du chemin :
    \[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\]
  • Règle des nœuds : La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est toujours égale à \(1\). Cela permet de déduire la probabilité d’une branche manquante :
    \[P_A(\overline{B}) = 1 – P_A(B)\]

Exemple 1 (Tableau) : Calculer \(P_A(B)\).

\(B\) \(\overline{B}\) Total
\(A\) 12 8 20
\(\overline{A}\) 15 25 40
Total 27 33 60

Méthode : Sachant \(A\), on ne regarde que la ligne \(A\). Le total est 20. Parmi eux, 12 sont dans \(B\). Donc \(P_A(B) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\).

Exemple 2 (Arbre) : Calculer \(P(A \cap B)\) puis en déduire \(P_A(\overline{B})\).

Méthodes :

  • Intersection : On multiplie les probabilités sur le chemin menant à \(A\) puis à \(B\) :
    \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\).
  • Branche manquante : La somme des branches issues du nœud \(A\) vaut 1.
    Donc \(P_A(\overline{B}) = 1 – P_A(B) = 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

À vous de jouer !

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