Exercice 1 : Probabilités (4 points)

La première partie s’appuie sur un arbre pondéré très classique modélisant l’approvisionnement d’un stock de tomates. On y retrouve les questions incontournables : calcul d’intersection, formule des probabilités totales et calcul d’une probabilité conditionnelle « inversée » pour infirmer ou confirmer une hypothèse.

La seconde partie bascule sur un tirage avec remise modélisé par la loi binomiale, avec le calcul d’une probabilité exacte et d’une probabilité cumulée. La subtilité réside dans la fin de l’exercice : on s’intéresse à la fréquence \(F_n\) et l’on demande de minorer une probabilité à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour valider la conformité d’un grand échantillon.

Un exercice court, rassurant au début, mais qui nécessite une solide maîtrise théorique de l’inégalité de concentration sur la dernière question.

Exercice 2 : Suites et fonctions (6 points)

La première partie pose le cadre avec l’étude des variations d’une fonction \(f\) pas forcément évidente, accompagnée de la résolution de l’équation \(f(x)=x\).

La deuxième partie enchaîne logiquement sur l’étude de la suite récurrente associée. La démarche est classique : démonstration par récurrence pour valider l’encadrement, puis utilisation du théorème de convergence monotone. L’exercice propose ensuite une méthode alternative en introduisant une suite auxiliaire qui s’avère géométrique, permettant d’expliciter le terme général pour retrouver la limite.

La dernière partie s’intéresse à la somme des termes. Elle intègre la complétion d’un script Python (une boucle for classique), puis demande d’établir un encadrement pour conclure sur des limites via le théorème des gendarmes.

C’est le gros morceau du sujet : un problème très complet, plutôt exigeant en calcul algébrique, mais dont les nombreuses étapes rendent la progression très fluide.

Exercice 3 : Géométrie dans l’espace (5 points)

L’énoncé propose d’étudier l’orthogonalité entre une droite (définie par une représentation paramétrique) et un plan.

Les candidats doivent déterminer une équation cartésienne, vérifier des appartenances de points et justifier qu’un point est le projeté orthogonal d’un autre. L’exercice se poursuit avec un calcul de produit scalaire pour prouver que deux vecteurs sont orthogonaux, ouvrant la voie au calcul du volume d’un tétraèdre.

Comme dans de nombreux sujets récents, la dernière question demande de calculer ce même volume en choisissant une base différente afin d’isoler et de déduire la distance d’un point à un plan. Un incontournable absolu du baccalauréat, sans aucune mauvaise surprise.

Exercice 4 : Étude de fonction et intégration (5 points)

Cet exercice étudie la fonction définie par \(x(\ln x)^2\). La recherche des limites nécessite une bonne maîtrise des croissances comparées, aidée par un changement de variable astucieusement suggéré pour la limite en \(0\).

L’étude des variations et l’application du théorème de la bijection (corollaire du TVI) sont très standard. La véritable difficulté technique arrive dans la dernière question : le candidat doit interpréter géométriquement une intégrale, puis enchaîner deux intégrations par parties consécutives avec une borne variable pour en déterminer l’expression exacte, avant de conclure sur une limite d’aire.

Un bel exercice d’analyse, exigeant sur la rigueur et qui valorise nettement les élèves maîtrisant leurs techniques de calcul intégral.