Exercice 1 : Probabilités (6 points)

La première partie s’appuie sur un arbre pondéré classique lié aux abonnements d’une plateforme musicale. On y retrouve les incontournables : calcul d’intersection, formule des probabilités totales et calcul d’une probabilité conditionnelle « inversée ».

La deuxième partie introduit la loi binomiale. Après avoir énoncé ses paramètres, on calcule la probabilité d’un événement nul, puis on cherche un seuil de taille d’échantillon à l’aide des logarithmes. Rien d’insurmontable.

La dernière partie s’intéresse à une variable aléatoire de coût mensuel (détermination de la loi, calcul de l’espérance et de la variance).
L’exercice se clôture sur une autre plateforme modélisée par une variable aléatoire, où l’affirmation d’un responsable doit être validée à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Un ensemble très classique qui ressemble à tout ce qui se fait les dernières années.

Exercice 2 : Suites et équations différentielles (4 points)

La première partie étudie un modèle discret via une suite récurrente construite à partir d’une fonction homographique. Les questions s’enchaînent de façon logique : sens de variation de la fonction, démonstration par récurrence de la décroissance et du minoration de la suite, puis utilisation du théorème de la limite monotone et de l’équation de point fixe pour prouver que la population se stabilise à 2000 individus.

La partie Python demande de compléter un algorithme de seuil classique avec une boucle while ; il faudra être vigilant sur le caractère large de l’inégalité pour ne pas se tromper de rang.

La deuxième partie bascule sur un modèle continu. On résout une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants \(y’ + y = 2\). La condition initiale permet de fixer la constante pour obtenir l’expression exacte de la fonction. Le calcul de la limite en \(+\infty\) permet de confronter les deux modèles, qui prévoient tous deux une stabilisation plutôt qu’une éradication.

La encore, assez peu de surprise dans cet énoncé : on reste sur un exercice très proche des méthodes du cours.

Exercice 3 : Géométrie dans l’espace (5 points)

La partie A commence par la recherche de coordonnées de sommets par simple lecture géométrique, suivie d’un calcul de produit scalaire pour en déduire la mesure d’un angle au dixième de degré près.

La partie B se concentre sur les représentations planes et droites : vérification d’un vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique d’une droite perpendiculaire passant par l’origine, et détermination des coordonnées du projeté orthogonal pour calculer la distance d’un point à un plan.

La partie C propose de retrouver cette même distance par une autre méthode. On calcule le volume de la pyramide de deux manières différentes (en changeant de base) pour isoler la hauteur manquante. Là encore, nous avons un grand classique du bac !

Exercice 4 : Étude de fonction (5 points)

L’exercice débute par une conjecture visuelle des intervalles de convexité et de concavité à partir de la courbe fournie. L’étude analytique s’ouvre sur un calcul de limite en \(-\infty\) direct, suivi d’une factorisation par le terme de plus haut degré pour lever l’indétermination en \(+\infty\) à l’aide des croissances comparées.

Après l’étude classique des variations, l’énoncé fournit l’expression de la dérivée seconde. Les dernières questions exploitent pleinement cette dérivée seconde pour valider la conjecture initiale, établir l’équation d’une tangente, et en déduire une inégalité fonctionnelle sur l’intervalle où la fonction est concave. C’est (encore) un exercice d’application très directe du cours, sans piège ni grande difficulté conceptuelle.

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