Repère du plan
On appelle repère du plan tout triplet \((O,\vec{i},\vec{j})\) où \(O\) est un point (appelé origine du repère), \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) sont des vecteurs non colinéaires.
Si \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) ont des directions perpendiculaires, on dira que le repère est orthogonal.
Si de plus les normes ce des deux vecteurs sont 1, on dira que le repère est orthonormé.
Exemple : Ici, \(\vec{OM}=2\vec{i}+3\vec{j}\). Le point M a pour coordonnées (2;3). On note \(M(2;3)\).
Coordonnées d’un vecteur
Calcul de coordonnées
Exemple : Les coordonnées du vecteur \(\vec{u}\) sont les coordonnées du point M(3;2)
On notera les coordonnées d’un vecteur en colonnes : \(\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix}\).
Cliquer ici pour s’entraîner : Coordonnées d’un vecteur
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix}\]
Exemple : Dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\) quelconque, on place les points \(A(1;-3)\), \(B(-2;2)\) et \(C(-2;-3\). Donnons les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
-
- \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2-1\\ 2-(-3)\end{pmatrix}\) et donc \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}\)
-
- \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}x_C-x_B \\ y_C-y_B\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-2-(-2)\\ -3-2\end{pmatrix}\) et donc \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0\\ -5\end{pmatrix}\)
- \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}x_C-x_A \\ y_C-y_A\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2-1\\ -3-(-3)\end{pmatrix}\) et donc \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3 \\ 0\end{pmatrix}\)
Cliquer ici pour s’entraîner : coordonnées d’un vecteur
Soit \(k\) un réel, \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de coordonnées \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}\) dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\) quelconque. Alors :
- \(\vec{u}=\vec{v}\) si et seulement si \(x=x’\) et \(y=y’\).
- Le vecteur \(k\vec{u}\) a pour coordonnées \(k\vec{u}\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}\).
- Le vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\) a pour coordonnées \(\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}x+x’\\y+y’\end{pmatrix}\).
Exemple : Dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\), on considère les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\). Montrer que \(2\vec{u}=\vec{v}+\vec{w}\).
- On détermine les coordonnées de \(2\vec{u}\) : \(2\vec{u}\begin{pmatrix}2 \times 1\\2 \times 2\end{pmatrix}\) soit \(2\vec{u}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\).
- Les coordonnées de \(\vec{v}+\vec{w}\) sont \(\begin{pmatrix}-1+3\\2+2\end{pmatrix}\)\, soit \(\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\), qui sont les mêmes coordonnées que celles de \(2\vec{u}\).
- On a donc bien \(2\vec{u}=\vec{v}+\vec{w}\)
Critère de colinéarité
Si l’un des deux vecteurs est nul, alors l’équivalence est directe. On supposera donc que ni \(\vec{u}\), ni \(\vec{v}\) n’est le vecteur nul.
- Supposons que \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}\) sont colinéaires. Il existe alors un réel \(k\) tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\), c’est à dire \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}kx’\\ky’\end{pmatrix}\).Le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) vaut \(xy’- yx’ = kx’y’-ky’x’=0\).
- Supposons que \(xy’- yx’=0\) Puisque \(\vec{v}\) n’est pas le vecteur nul, alors au moins une de ses coordonnées n’est pas nulle.Par exemple, prenons \(x’ \neq 0\).
On pose \(k=\dfrac{x}{x’}\). On a alors \(x=\dfrac{x}{x’}x’=kx’\).
De plus, \(xy’- yx’=0\), donc \(xy’=yx’\), d’où \(y=\dfrac{x}{x’}y’=ky’\). Ainsi, \(\vec{u}=k\vec{v}\), les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont donc colinéaires.
Exemple : Dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\), on considère les points \(A(2;3)\), \(B(4;7)\), \(C(-1;2)\) et \(D(0;4)\). Montrons que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Stratégie : on veut montrer que les droites sont parallèles, on va donc montrer que les vecteurs associés sont colinéaires. Calculons les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
- \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-2\\7-3\end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\)
- \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}0-(-1)\\4-2\end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).
Soit on remarque que \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont donc colinéaires, et les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Soit on calcule le déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\). Il vaut \(2\times 2 – 4 \times 1 = 0\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont donc colinéaires, et les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Cliquer ici pour s’entraîner : colinéarité et applications
Milieu d’un segment
$$I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$
Soit \(A(x_A;y_A)\), \(B(x_B;y_B)\) et \(I(x_I;y_I)\) trois points dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\), tels que \(I\) est le milieu de \([AB]\). On a alors \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).
Or, les coordonnées de \(\overrightarrow{AI}\) sont \(\begin{pmatrix}x_I-x_A\\y_I-y_A\end{pmatrix}\) et les coordonnées de \(\overrightarrow{IB}\) sont \(\begin{pmatrix}x_B-x_I\\y_B-y_I\end{pmatrix}\).
On a donc
- \(x_I-x_A=x_B-x_I\), c’est-à-dire \(2x_I=x_A+x_B\) et \(x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}\)
- \(y_I-y_A=y_B-y_I\), c’est-à-dire \(2y_I=y_A+y_B\) et \(y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}\)
Exemple : Dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\), on considère les points \(A(2;7)\), \(B(3;1)\) et \(C(4;12)\). Déterminer les coordonnées de \(I\) et \(J\), les milieux de \([AB]\) et \([BC]\). Montrer que \((IJ)\) est parallèle à \((AC)\).
- \(I\) est le milieu de \([AB]\). Ses coordonnées sont donc \(\left(\dfrac{2+3}{2};\dfrac{7+1}{2}\right)\). On a donc \(I\left( \dfrac{5}{2};4\right)\).
- \(J\) est le milieu de \([BC]\). Ses coordonnées sont donc \(\left(\dfrac{3+4}{2};\dfrac{1+12}{2}\right)\). On a donc \(J\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{13}{2}\right)\).
- On calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- \(\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}\dfrac{7}{2}-\dfrac{5}{2} \\ \dfrac{13}{2}-4 \end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}1 \\ \dfrac{5}{2} \end{pmatrix}\).
- \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-2 \\ 12-7\end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\)
- On remarque que \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IJ}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{IJ}\) sot donc colinéaires, les droites (IJ) et (AC) sont donc parallèles.
Cliquer ici pour s’entraîner : Milieu d’un segment
Distance dans un repère orthonormé
Soit A et B deux points de coordonnées \((x_A,y_A)\) et \((x_B,y_B)\) dans un repère ORTHONORMÉ. Alors, la distance AB vaut :
\[AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
Exemple : Soit \(A(2;5)\) et \(B(3;8)\) dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\) orthonormé.
\[AB=\sqrt{(3-2)^2+(8-5)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\]
3 réflexions au sujet de « Repérage dans le plan »
Une petite coquille: dans l’exemple du critère de colinéarité, dans le calcul des coordonnées du vecteur CD, il faut écrire CD sur la seconde partie de la ligne et non pas AB.
Et une nouvelle correction ! Merci encore, pour votre vigilance et votre compliment 🙂
Par ailleurs, plus je découvre votre site, plus je le trouve excellent et exceptionnel! Bravo pour cet immense travail dont la forme est bluffante!