Carré et Racine Carrée

Carré d’un réel

Rappels sur les carrés

Le carré d’un nombre réel \(a\), noté \(a^2\), est le produit de \(a\) par lui-même.
\[ a^2 = a \times a\]
Exemple : Les carrés suivants sont à connaître par cœur !

\(0^2=0\) \(1^2=1\) \(2^2=4\) \(3^2=9\)
\(4^2=16\) \(5^2=25\) \(6^2=36\) \(7^2=49\)
\(8^2=64\) \(9^2=81\) \(10^2=100\) \(11^2=121\) \
\(12^2=144\) \(13^2=169\)
Pour tous réels \(a\) et \(b\)

  • \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
  • \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
  • \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
Exemple : Soit \(x\) un réel
\[ (4x-7)^2=(4x)^2-2\times 4x \times 7 + 7^2 = 16x^2 -56x+49\]
Exemple : Soit \(x\) un réel.
\[ (2x+3)^2-(5x+1)^2 = (2x+3+5x+1)(2x+3-(5x+1))=(7x+4)(-3x+2)\]
Cliquer ici pour s’entraîner : Identités remarquables

Fonction Carré

On appelle fonction Carré la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(x^2\).
La fonction Carré est strictement décroissante sur \(]-\infty;0]\) et strictement croissante sur \([0;+\infty[\)

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Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que \(a>b\). On a en particulier \(a-b>0\).

Alors \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) qui est le produit de deux nombres positifs.

Ainsi, \(a^2-b^2>0\), d’où \(a^2>b^2\). La fonction carrée est bien strictement croissante sur \([0;+\infty [\).

De la même manière, soit \(c\) et \(d\) deux réels négatifs tels que \(c<d\). \(c^2-d^2=(c-d)(c+d)\) qui est négatif.

La fonction carrée est bien strictement décroissante sur \(]-\infty ;0]\)

Exemple : Soit \(x\) un réel de l’intervalle \([3\, ; \, 7]\). On a donc \(3 \leqslant x \leqslant 7\). \(3\) et \(7\) sont des réels positifs et la fonction Carré est croissante sur \([0;+\infty[\). Ainsi, on peut appliquer cette fonction à l’inégalité sans en changer le sens.

On a donc \(3^2 \leqslant x^2 \leqslant 7^2\), c’est-à-dire \(9 \leqslant x^2 \leqslant 49\).

Exemple : Soit \(x\) un réel de l’intervalle \([-5\, ; \, -2[\). On a donc \(-5 \leqslant x < -2\). \(-5\) et \(-2\) sont des réels négatifs et la fonction Carré est décroissante sur \(]-\infty ;0]\). Ainsi, si on applique cette fonction à l’inégalité, cela en change le sens.

On a donc \((-5)^2 \geqslant x^2 > (-2)^2\), c’est-à-dire \(25 \geqslant x^2 > 4\).

Cliquer ici pour s’entraîner : Encadrement d’un carré

La fonction Carré est paire
Pour tout réel \(x\), \((-x)^2 = (-1)^2 \times x^2 = x^2\)

Racine carrée d’un réel positif

Définition et propriétés

Soit \(a\) un réel positif. On note \(\sqrt{a}\) l’unique solution positive de l’équation \(x^2=a\).

\(\sqrt{a}\) est le réel positif qui, au carré, vaut \(a\).

Exemple : Puisque \(12^2=144\), alors \(\sqrt{144}=12\)
Exemple : \((\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2=5-2=3\).
Cliquer ici pour s’entraîner : Calcul d’expression avec racine carrée

Soit \(a\) et \(b\) des réels positifs. Alors \(\sqrt{ab}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
On a \(\sqrt{ab}^2=ab\) et \((\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2=\sqrt{a}^2 \times \sqrt{b}^2=ab\).

Les deux réels étant positifs, on a bien \(\sqrt{ab}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}\).

Exemple : \(\sqrt{75} = \sqrt{3 \times 25} =\sqrt{3} \times \sqrt{25} = 5 \sqrt{3}\)
Cliquer ici pour s’entraîner : calcul avec des racines carrées

Fonction Racine Carrée

La fonction racine carrée est la fonction définie sur \([0;+\infty [\), qui à \(x\) associe \(\sqrt{x}\)
Exemple : Soit \(g\) la fonction qui à \(x\) associe \(\sqrt{(2x-4)(3x+9)}\). \(g\) est définie si et seulement si \((2x-4)(3x+9) \geqslant 0\)

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Le domaine de définition de \(g\) est donc \(]-\infty ; -3] \cup [2;+\infty [\)

La fonction Racine carrée est strictement croissante sur \([0;+\infty [\).

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Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que \(a<b\).
\[\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\]
Le dénominateur est positif, par définition de la racine carrée. Le numérateur est négatif, puisque \(a< b\).

Ainsi, si \(a<b\), on a \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\). La fonction Racine carrée est strictement croissante.

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Résolution d’équations

Soit \(a\) un entier positif. Les solutions de l’équation \(x^2=a\) sont \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\)
Soit \(x\) un réel.

\[x^2=a \Leftrightarrow x^2-a=0 \Leftrightarrow (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{a} \text{ OU } x=-\sqrt{a}\]

Exemple : Les solutions de l’équation \(x^2=9\) sont \(3\) et \(-3\)
Exemple : On souhaite résoudre l’équation \((2x-3)^2=25\)

    \begin{eqnarray*} (2x-3)^2=25 & \Leftrightarrow & (2x-3)^2-25=0\\ & \Leftrightarrow & (2x-3)^2-5^2=0\\ & \Leftrightarrow & (2x-3-5)(2x-3+5)=0\\ & \Leftrightarrow & (2x-8)(2x+2)=0\\ & \Leftrightarrow & 2x-8=0 \quad \text{ OU } \quad 2x+2=0\\ & \Leftrightarrow & 2x=8 \quad \text{ OU } \quad 2x=-2\\ & \Leftrightarrow & x=4 \quad \text{ OU } \quad x=-1 \end{eqnarray*}

L’ensemble des solutions est \(S=\{-1;4\}\).

Cliquer ici pour s’entraîner : Résolution d’équation avec Carré (1)

Cliquer ici pour s’entraîner : Résolution d’équation avec Carré (2)

Soit \(a\) un réel positif. L’unique solution de l’équation \(\sqrt{x}=a\) est \(x=a^2\).
Exemple : L’unique solution de l’équation \(\sqrt{x}=4\) est \(x=16\)

Résolution d’inéquations

Soit \(a\) un entier positif.

  • Les solutions de l’inéquation \(x^2\leqslant a\) sont les réels de l’intervalle \([-\sqrt{a};\sqrt{a}]\).
  • Les solutions de l’inéquation \(x^2\geqslant a\) sont les réels de l’union d’intervalles \(]-\infty;-\sqrt{a}] \cup [\sqrt{a};+\infty[\)
Exemple :
Les solutions de l’inéquation \(x^2\leqslant 25\) sont \(S=[-5;5]\).

Les solutions de l’inéquation \(x^2\geqslant 64\) sont \(S=\mathopen]-\infty ; -8 \mathclose[ \cup [8;+\infty[\).

Cliquer ici pour s’entraîner : Inéquation avec Carré (1)

Exemple : On souhaite résoudre l’inéquation \((4x+10)^2\leqslant 36\)

    \begin{eqnarray*} (4x+10)^2\leqslant 36& \Leftrightarrow & (4x+10)^2-36\leqslant 0\\ & \Leftrightarrow &(4x+10)^2-6^2\leqslant 0\\ & \Leftrightarrow & (4x+10-6)(4x+10+6)\leqslant 0\\ & \Leftrightarrow & (4x+4)(4x+16)\leqslant 0\\ \end{eqnarray*}

On construit un tableau de signe.

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L’ensemble des solutions est \(S=[-4;-1]\)

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