Carré d’un réel
Rappels sur les carrés
\[ a^2 = a \times a\]
| \(0^2=0\) | \(1^2=1\) | \(2^2=4\) | \(3^2=9\) |
| \(4^2=16\) | \(5^2=25\) | \(6^2=36\) | \(7^2=49\) |
| \(8^2=64\) | \(9^2=81\) | \(10^2=100\) | \(11^2=121\) \ |
| \(12^2=144\) | \(13^2=169\) |
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
\[ (4x-7)^2=(4x)^2-2\times 4x \times 7 + 7^2 = 16x^2 -56x+49\]
\[ (2x+3)^2-(5x+1)^2 = (2x+3+5x+1)(2x+3-(5x+1))=(7x+4)(-3x+2)\]
Cliquer ici pour s’entraîner : Identités remarquables
Fonction Carré
Alors \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) qui est le produit de deux nombres positifs.
Ainsi, \(a^2-b^2>0\), d’où \(a^2>b^2\). La fonction carrée est bien strictement croissante sur \([0;+\infty [\).
De la même manière, soit \(c\) et \(d\) deux réels négatifs tels que \(c<d\). \(c^2-d^2=(c-d)(c+d)\) qui est négatif.
La fonction carrée est bien strictement décroissante sur \(]-\infty ;0]\)
On a donc \(3^2 \leqslant x^2 \leqslant 7^2\), c’est-à-dire \(9 \leqslant x^2 \leqslant 49\).
On a donc \((-5)^2 \geqslant x^2 > (-2)^2\), c’est-à-dire \(25 \geqslant x^2 > 4\).
Cliquer ici pour s’entraîner : Encadrement d’un carré
Racine carrée d’un réel positif
Définition et propriétés
\(\sqrt{a}\) est le réel positif qui, au carré, vaut \(a\).
Cliquer ici pour s’entraîner : Calcul d’expression avec racine carrée
Les deux réels étant positifs, on a bien \(\sqrt{ab}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}\).
Cliquer ici pour s’entraîner : calcul avec des racines carrées
Fonction Racine Carrée
Le domaine de définition de \(g\) est donc \(]-\infty ; -3] \cup [2;+\infty [\)
\[\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\]
Le dénominateur est positif, par définition de la racine carrée. Le numérateur est négatif, puisque \(a< b\).
Ainsi, si \(a<b\), on a \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\). La fonction Racine carrée est strictement croissante.
Résolution d’équations
\[x^2=a \Leftrightarrow x^2-a=0 \Leftrightarrow (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{a} \text{ OU } x=-\sqrt{a}\]
L’ensemble des solutions est \(S=\{-1;4\}\).
Cliquer ici pour s’entraîner : Résolution d’équation avec Carré (1)
Cliquer ici pour s’entraîner : Résolution d’équation avec Carré (2)
Résolution d’inéquations
- Les solutions de l’inéquation \(x^2\leqslant a\) sont les réels de l’intervalle \([-\sqrt{a};\sqrt{a}]\).
- Les solutions de l’inéquation \(x^2\geqslant a\) sont les réels de l’union d’intervalles \(]-\infty;-\sqrt{a}] \cup [\sqrt{a};+\infty[\)
Les solutions de l’inéquation \(x^2\leqslant 25\) sont \(S=[-5;5]\).
Les solutions de l’inéquation \(x^2\geqslant 64\) sont \(S=\mathopen]-\infty ; -8 \mathclose[ \cup [8;+\infty[\).
Cliquer ici pour s’entraîner : Inéquation avec Carré (1)
On construit un tableau de signe.
L’ensemble des solutions est \(S=[-4;-1]\)
