Signe de \(ax + b\) : Pour déterminer le signe, on cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles l’expression est positive en résolvant l’inéquation \(ax + b > 0\).
Attention : Lorsqu’on isole \(x\), si on divise par un nombre négatif (\(a < 0\)), l'inégalité change de sens ! C'est ce qui explique la position du signe \(-\) ou \(+\).
Signe d’un produit \((ax+b)(cx+d)\) : On place les racines dans l’ordre croissant. On étudie le signe de chaque facteur sur une ligne (en résolvant l’inéquation associée), puis on applique la règle des signes colonne par colonne.
Exemple 1 (Premier degré) : Déterminer le signe de \(-3x + 12\).
- On cherche où l’expression est positive en résolvant l’inéquation : \(-3x + 12 > 0\).
- \(-3x > -12 \iff x < \frac{-12}{-3} \iff x < 4\). (L'inégalité change de sens car on divise par \(-3\) qui est négatif).
- L’expression est donc positive (\(+\)) pour les \(x\) plus petits que \(4\), et négative (\(-\)) ensuite. Elle s’annule en \(x = 4\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(4\) | \(+\infty\) | ||
| \(-3x + 12\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Exemple 2 (Produit) : Déterminer le signe de \((-2x + 6)(x + 4)\).
- On résout les inéquations pour chaque facteur :
- Pour \(-2x + 6 > 0 \iff -2x > -6 \iff x < 3\) (changement de sens). Le signe \(+\) est placé avant \(3\).
- Pour \(x + 4 > 0 \iff x > -4\) (pas de changement de sens). Le signe \(+\) est placé après \(-4\).
- On place les racines \(-4\) et \(3\) dans l’ordre croissant, on remplit les lignes, puis on conclut avec la règle des signes.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-4\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
| \(-2x + 6\) | \(+\) | \(|\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(x + 4\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(|\) | \(+\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
À vous de jouer !
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Complétez le tableau de signes ci-dessous en rangeant les racines dans l’ordre croissant (ex. 3/2).
