Des nombres irrationnels
Soit \(a\geq 0\).
On appelle racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), l’unique solution positive de l’équation \(x^2=a\). Autrement dit, \(\sqrt{a}\) est le nombre positif qui, au carré, vaut \(a\).
Soit \(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\). \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\).
D’autre part, \((\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2=\sqrt{a}^2 \times \sqrt{b}^2=ab\).
\(\sqrt{ab}\) et \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) sont positifs et solutions de l’équation \(x^2=ab\). Ces quantités sont donc égales.
Exemple : \(\sqrt{20}=\sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}\)
Il est également possible de faire la même chose avec les quotients.Exemple : \(\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\dfrac{5}{2}\)
\(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel – on dit également irrationnel.
On peut d’ailleurs, en utilisant la même méthode, démontrer que, si \(n\) est un entier naturel, alors \(\sqrt{n}\) est soit un entier, soit un nombre irrationnel.
\(\pi\) est irrationnel
Même si le nombre \(\pi\) est connu depuis l’Antiquité, son irrationnalité n’a été démontrée qu’en 1761 par Johann Heinrich Lambert. On suppose également que \(\pi\) est un nombre univers : tous les nombres entiers apparaissent dans ses décimales, comme votre date de naissance ou votre numéro de téléphone. Ce résultat n’est toujours pas démontré à ce jour.Ensemble des réels
Cet ensemble est noté \(\mathbb{R}\).
Exemple : \(\sqrt{\pi}\), \(1+\sqrt{5}\), \(7\) sont des nombres réels.
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Intervalles
Intervalles de \(\mathbb{R}\)
Un intervalle est une partie continue de l’ensemble des réels qui désigne tous les nombres réels compris entre deux réels \(a\) et \(b\). Selon les cas, ces réels peuvent être compris ou non dans l’intervalle.
| Réels \(x\) | Représentation graphique | Intervalle |
| \( -2 \leq x \leq 4\) |  | \( [-2;4] \) |
| \(-3< x \leq 2\) |  | \( ]-3;2] \) |
| \(2\leq x < 5\) |  | \( [2;5[ \) |
| \(-3< x < -1\) |  | \( ]-3;-1[\) |
| \(x \leq -1\) |  | \( ]-\infty ; -1\) |
| \(x<3\) |  | \( ]-\infty;3[\) |
| \(x \geq 2\) |  | \( [2;+\infty[ \) |
| \(x > -3\) |  | \( ]-3;+\infty[\) |
L’ensemble \(\mathbb{R}\) est aussi l’intervalle \(\left]-\infty ; +\infty\right[\)
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Union et intersection d’intervalles
- L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et \(B\) s’appelle l’intersection de \(A\) et \(B\). On le note \(A \cap B\) (se lit \(A\) inter \(B\)).
- L’ensemble des éléments qui appartiennent au moins à \(A\) ou \(B\) s’appelle l’union ou la réunion de \(A\) et \(B\). On le note \(A \cup B\) (se lit \(A\) union \(B\)).
On peut représenter les deux intervalles A et B sur un même axe gradué.
L’intersection est l’ensemble des nombres appartenant aux deux intervalles (les deux couleurs à la fois). La réunion est l’ensemble des nombres appartenant à au moins un intervalle.
- \(A\cap B = [1;4[\)
- \(A \cup B = ]-1;5]\)
Il se peut que l’intersection de deux intervalles ne contienne aucun élément : on notera \(\varnothing\), qui se lit « ensemble vide ».
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Valeur absolue
Définition
Soit \(x\) un réel. On appelle valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), la distance à zéro de \(x\).
Exemple : \(|5|=5\), \(|-3|=3\).
Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\)
Exemple : \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|\)
Soit \(x\) et \(y\) deux réels. On appelle distance de \(x\) à \(y\) la quantité \(|x-y|\)
Exemple : La distance de \(3\) à \(5\) vaut \(|3-5|=|-2|=2\).
Cela revient à trouver tous les réels \(x\) qui sont à une distance \(3\) du réel \(2\).
Cela signifie que \(x-2=3\) ou que \(x-2=-3\), c’est-à-dire \(x=5\) ou \(x=-1\). \(S={-1;5}\)
Lien avec les intervalles
Soit \(a\) un réel et \(r\) un réel strictement positif
- L’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-a|\leqslant r\) est l’ensemble \(\mathopen[a-r ; a+r\mathclose]\)
- L’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-a| < r\) est l'ensemble \(\mathopen]a-r ; a+r\mathclose[\)
Exemple : L’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-2|\leq 5\) est l’intervalle \( [2-5;2+5]\), c’est-à-dire \( [-3;7]\).
