Première partie : Automatismes – QCM (6 points)
Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples balayant un large spectre d’automatismes du programme de première et de seconde. On y retrouve de la manipulation algébrique de base (fractions, puissances, développement, équations), des calculs de pourcentages et d’évolutions, la lecture graphique d’une fonction affine, l’étude du signe d’un polynôme du second degré factorisé, ainsi qu’un calcul de probabilité conditionnelle simple./p>
Exercice 1 : Probabilités et variables aléatoires (6 points)
La partie A propose une mise en situation standard avec un jeu de tirage avec remise. Les candidats doivent construire un arbre pondéré, déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire modélisant un gain algébrique, puis calculer et interpréter son espérance. La véritable montée en gamme s’effectue dans la partie B : le nombre de boules rouges devient une variable \(n\). Il faut alors manipuler des expressions littérales pour démontrer la formule générale de l’espérance en fonction de \(n\), puis résoudre une équation du second degré pour déterminer les conditions d’un jeu équitable.
Exercice 2 : Fonctions, Suites et Algorithmique (4 points)
Cet exercice (étude de la rentabilité de panneaux solaires) se divise en deux parties indépendantes. La première se résout par simple lecture graphique d’une courbe (recherche d’image et résolution d’inéquation), qui pourrait être classée dans le sautomatismes. La seconde modélise une hausse tarifaire par une suite géométrique. L’accent est mis sur la compréhension d’un algorithme Python utilisant une boucle while qui fait office d’accumulateur. Le candidat doit interpréter les variables et la condition d’arrêt pour en déduire un délai de rentabilité. Il n’y a pas de grande difficulté technique, l’enjeu résidant dans la modélisation et l’interprétation du code.
Exercice 3 : Étude de fonction avec exponentielle (4 points)
L’épreuve se termine par une étude de fonction très classique mêlant une expression affine et la fonction exponentielle. Les étapes sont parfaitement balisées : calcul de la fonction dérivée en appliquant rigoureusement la formule de dérivation d’un produit \((uv)’\), étude de signe grandement facilitée par la stricte positivité de la fonction exponentielle, et déduction du tableau de variations. La dernière question fait le lien avec l’interprétation géométrique du nombre dérivé en demandant de déterminer les coordonnées exactes du point où la tangente est horizontale. Un grand classique d’application directe du cours d’analyse.
