Exercice 1 : Probabilités et Variables Aléatoires (5 points)

Ancré dans le contexte de réservations pour une compagnie maritime, cet exercice s’articule en deux temps. La première partie balaie les notions classiques de probabilités conditionnelles : construction d’un arbre pondéré, calculs d’intersections, utilisation de la formule des probabilités totales et inversion de conditionnement. La seconde partie modélise les coûts annexes à l’aide de variables aléatoires. Le candidat doit y manipuler l’espérance et la variance, utiliser la linéarité, et appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour déterminer la taille minimale d’un échantillon garantissant une probabilité donnée.

Exercice 2 : Vrai/Faux avec justification (4 points)

Cet exercice propose quatre affirmations indépendantes à valider ou invalider rigoureusement. Les trois premières portent sur la géométrie dans l’espace : vérifier si une droite est orthogonale à un plan et passe par un milieu, prouver que deux droites ne sont pas sécantes via leurs représentations paramétriques, et calculer l’angle géométrique entre trois points à l’aide du produit scalaire. La dernière affirmation mêle probabilités et combinatoire en demandant de comparer les chances de succès de deux codes (l’un basé sur un arrangement, l’autre sur une combinaison).

Exercice 3 : Équations différentielles et Suites récurrentes (6 points)

Ce problème modélise les cycles de chauffage et de refroidissement d’une pièce. La phase de chauffage mobilise la résolution d’une équation différentielle du type \(y’ = ay + b\), la recherche d’une solution particulière grâce à une condition initiale, et l’étude de la limite du modèle. La phase de refroidissement est quant à elle modélisée par une suite arithmético-géométrique perturbée par une exponentielle. Le candidat doit y effectuer une démonstration par récurrence de minorant, justifier la convergence, trouver la limite, et compléter un script Python (boucle while) déterminant le moment de relance du chauffage.

Exercice 4 : Fonction logarithme, Dérivation et Intégration (5 points)

Ce dernier exercice évalue l’analyse fonctionnelle. La première partie nécessite une lecture graphique précise (ordonnée à l’origine, coefficient directeur d’une tangente, convexité) pour déterminer les deux paramètres d’une fonction comportant un logarithme népérien. La seconde partie propose l’étude complète de cette fonction : justification d’asymptote horizontale, dérivée, tableau de variations, et application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI). L’exercice s’achève par un calcul d’intégrale exigeant de reconnaître la forme \(u’ \times u\) pour trouver une primitive et en déduire l’aire d’un domaine sous la courbe.