Exercice 1 : Géométrie dans l’espace (4 points)

Cet exercice évalue les compétences fondamentales en géométrie analytique de l’espace. Le candidat est amené à démontrer que trois points forment un plan, à vérifier un vecteur normal, et à en déduire une équation cartésienne. L’exercice se poursuit par le calcul de la mesure d’un angle géométrique à l’aide du produit scalaire, puis par la détermination de la représentation paramétrique d’une droite orthogonale au plan. Enfin, une question de recherche demande de trouver les coordonnées d’un point situé à une distance donnée du plan, en exploitant les propriétés du projeté orthogonal.

Exercice 2 : Probabilités et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (4 points)

Articulé autour du thème de l’utilisation des réseaux sociaux, ce problème aborde trois aspects clés des probabilités. La première partie mobilise les arbres pondérés et la formule des probabilités totales pour des calculs classiques, incluant une probabilité conditionnelle « inversée ». La seconde partie modélise une situation par la loi binomiale afin de calculer une espérance et une probabilité cumulée. La dernière partie, plus conceptuelle, exige d’étudier la moyenne de plusieurs variables aléatoires indépendantes pour valider un encadrement de probabilité à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 3 : Étude de fonction, Suites récurrentes et Algorithmique (6 points)

Cet exercice très complet mêle l’analyse continue et l’étude de suites. Il débute par l’étude d’une fonction logarithmique auxiliaire nécessitant l’application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI). La deuxième partie exploite cette fonction pour étudier une suite définie par récurrence (\(a_{n+1} = f(a_n)\)) : démonstration par récurrence de ses bornes, étude de sa monotonie, et justification de sa convergence vers la solution trouvée par le TVI. L’exercice se clôture par l’analyse d’un script Python (boucle while) permettant de déterminer le nombre d’itérations nécessaires pour approcher cette limite avec une précision donnée.

Exercice 4 : Équations différentielles, Intégration et Tangentes (6 points)

Ce problème exigeant mobilise de multiples compétences en analyse. Il s’ouvre sur un exercice de lecture graphique demandant d’associer des courbes à une fonction, sa dérivée et sa dérivée seconde en justifiant par le lien entre signe et variations. Le candidat doit ensuite résoudre une équation différentielle du premier ordre (\(y’ + y = (2x-3)e^{-x}\)) en passant par une solution particulière. La troisième partie porte sur l’étude de la fonction solution : tableau de signes, limites nécessitant les croissances comparées, et le calcul complexe d’une aire au moyen de deux intégrations par parties successives. Enfin, la dernière partie étudie la position des tangentes, amenant à résoudre une équation polynomiale de degré 3 pour déterminer le nombre de tangentes passant par l’origine. Cette question demandera une certaine initiative de la part des candidats.