Exercice 1 : Géométrie dans l’espace (5 points)

Ce premier exercice, très classique pour une épreuve de Terminale Spécialité, évalue la maîtrise de la géométrie analytique dans un repère orthonormé. Le candidat doit d’abord démontrer que trois points forment un plan, puis utiliser un vecteur normal fourni pour en déduire une équation cartésienne. La progression l’amène ensuite à manipuler la représentation paramétrique d’une droite orthogonale à ce plan pour déterminer les coordonnées d’un projeté orthogonal. L’exercice se poursuit par le calcul de l’aire d’un triangle et du volume d’un tétraèdre. La dernière question introduit un peu d’abstraction avec l’étude d’un point D_k dépendant d’un paramètre k, mobilisant les conditions de coplanarité.

Exercice 2 : Suites, Python et Équations différentielles (5 points)

Ancré dans un contexte concret de modélisation de la pollution d’un bassin d’élevage, cet exercice propose deux approches indépendantes. La Partie A utilise un modèle discret via une suite arithmético-géométrique définie par V_n+1 = 0,995V_n + 6. Le candidat est invité à compléter un script Python utilisant une boucle for, puis à mener une démonstration par récurrence classique pour justifier la convergence de la suite. La Partie B aborde le phénomène sous un modèle continu à l’aide de l’équation différentielle y’ = -0,005y + 6. Il s’agit de la résoudre, d’étudier la limite et les variations de la solution, puis de déterminer l’instant de dépassement d’un seuil critique en résolvant une inéquation avec l’exponentielle. Un exercice très classique qui ne devrait pas perturber les candidats.<

Exercice 3 : Vrai/Faux avec justification (4 points)

Cet exercice propose quatre affirmations indépendantes balayant l’ensemble du programme de probabilités et de dénombrement. L’affirmation 1 teste les probabilités conditionnelles dans le contexte d’une enquête sur les musiciens. L’affirmation 2 exige de calculer une probabilité cumulée sur un grand échantillon assimilable à un tirage avec remise, suggérant l’utilisation de la loi binomiale. L’affirmation 3 nécessite l’application directe de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour encadrer le nombre de musiciens dans l’échantillon. Enfin, l’affirmation 4 est un pur problème de combinatoire impliquant la formation d’équipes de 5 joueurs en discriminant deux sous-groupes (musiciens professionnels et non-professionnels). Cet exercice demandera une certaine prise d’initiative aux candidats, mais la démarche reste tout à fait standard.

Exercice 4 : Fonction exponentielle, Dérivation et Intégration (6 points)

Ce problème d’analyse fonctionnelle s’articule en trois temps. La Partie A requiert une lecture graphique pour identifier un nombre dérivé à l’aide d’une tangente, et pour associer la courbe d’une primitive à la fonction initiale en étudiant les variations. La Partie B propose l’étude analytique complète de la fonction \(f:x\mapsto (2x-1)\exp(-2x+3)\). Le candidat doit y lever une indétermination pour la limite en +∞, calculer la dérivée, dresser le tableau de variations, et appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer l’existence et l’unicité d’une solution à l’équation f(α) = 0,15. La Partie C conclut en demandant de réaliser une intégration par parties pour évaluer une intégrale, démarche nécessaire pour déterminer le volume d’un porte-clé usiné. Pas de piège de nouveau dans cet exercice très guidé.