Fonction exponentielle : exercices corrigés

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Fonction exponentielle et dérivation

Pour chacune des fonctions suivantes, dérivables sur les intervalles mentionnés, donner une expression de la fonction dérivée.

  1. \(f_1:x\mapsto 3x^2+2+\exp(x)\) sur \(\mathbb{R}\)
  2. \(f_2:x\mapsto \dfrac{x^3}{3}+6\exp (x)\) sur \(\mathbb{R}\)
  3. \(f_3:x\mapsto\dfrac{\exp(x)}{x}\) sur \(]0;+\infty[\)
  4. \(f_4:x\mapsto x\, \exp(x)\) sur \(\mathbb{R}\)
  5. \(f_5:x\mapsto \dfrac{x^2}{\exp(x)-1}\) sur \(]0;+\infty[\)
  6. \(f_6:x\mapsto \dfrac{3x+1}{x\,\exp(x)}\) sur \(]-\infty;0[\)
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  1. Pour tout réel \(x\), \(f_1 ‘(x)=6x+\exp (x)\).
  2. Pour tout réel \(x\), \(f_2 ‘(x)= x^2+6\exp(x)\).
  3. Pour tout réel strictement positif \(x\), on pose \(u(x)=\exp(x)\) et \(v(x)=x\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]0;+\infty [\) et pour tout réel strictement positif, \(u'(x)=\exp(x)\) et \(v'(x)=1\).

    Ainsi, pour tout réel \(x\) strictement positif,
    \[\begin{eqnarray*}f_3′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{\exp(x)\times x – \exp (x) \times 1}{x^2}\\&=&\dfrac{(x-1)\exp(x)}{x^2}\end{eqnarray*}\]

  4. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\exp(x)\) et \(v(x)=x\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=\exp(x)\) et \(v'(x)=1\).

    Ainsi, pour tout réel \(x\),
    \[\begin{eqnarray*}f_4′(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=&\exp(x) \times 1 + \exp(x) \times x \\&=& (x+1)\exp(x)\end{eqnarray*}\]

  5. Pour tout réel strictement positif \(x\), on pose \(u(x)=x^2\) et \(v(x)=\exp (x) -1\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]0;+\infty [\) et pour tout réel \(x\) strictement positif, \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=\exp (x)\).

    Ainsi, pour tout réel \(x\) strictement positif,
    \[\begin{eqnarray*}f_5′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{2x\times (\exp(x)-1) – x^2 \times \exp(x)}{(\exp(x)-1)^2}\end{eqnarray*}\]

  6. Pour tout réel strictement positif \(x\), on pose \(u(x)=3x+1\) et \(v(x)=x\exp (x)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]-\infty;0 [\) et pour tout réel \(x\) strictement négatif, \(u'(x)=3\) et \(v'(x)=(x+1)\exp (x)\) – c’est la fonction \(f_4\).

    Ainsi, pour tout réel \(x\) strictement négatif,
    \[\begin{eqnarray*}f_6′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{3 \times x\exp(x) – (3x+1) \times (x+1)\exp(x)}{(x\exp(x))^2}\end{eqnarray*}\]
    Que l’on peut simplifier en
    \[f_6′(x)=\dfrac{3x-(3x+1)(x+1)}{x^2\exp(x)}=\dfrac{3x-3x^2-3x-x-1}{x^2\exp(x)}=\dfrac{-3x^2-x-1}{x^2\exp(x)}\]

On considère la fonction \(f:x\mapsto (x^2+3x-2)\,\exp(x)\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

  1. Soit \(x\) un réel. Montrer que \(f'(x)=(x^2+5x+1)\,\exp(x)\).
  2. Donner l’équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x=0\)
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  1. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+3x-2\) et \(v(x)=\exp (x)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2x+3\) et \(v'(x)=\exp (x)\).

    Ainsi, pour tout réel \(x\),
    \[\begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& (2x+3)\exp (x) + (x^2+3x-2) \exp (x)\\ &=& (x^2+5x+1)\,\exp(x)\end{eqnarray*}\]

  2. On rappelle que l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 0 a pour équation
    \[ y = f'(0)(x-0) + f(0)\]
    Or, \(f'(0)=(0^2+5\times 0 + 1 ) \, \exp(0) = 1\) et \(f(0)=(0^2+3\times 0 – 2) \, \exp (0) = -2\). La tangente a donc pour équation
    \[ y = x-2\]
On considère la fonction \(f:x\mapsto \exp(4x)\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Montrer que pour tout réel \(x\), \(f'(x)-4f(x)=0\).
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Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=4\, \exp(4x)\).

Ainsi, pour tout réel \(x\),

\[f'(x)-4f(x)= 4\,\exp (4x) – 4\, \exp(4x)=0\]

On considère la fonction \(f:x\mapsto \exp (3x+5) \times \exp(2x+3)\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

  1. Quelle est la dérivée de \(u:x \mapsto \exp(3x+5)\) ?
  2. Quelle est la dérivée de \(v:x \mapsto \exp(2x+3)\) ?
  3. En utilisant la dérivée d’un produit, en déduire la dérivée de \(f\).
  4. Montrer que pour tout réel \(x\), \(f'(x)-5f(x)=0\).
  5. Trouver une autre fonction \(f\) qui vérifie cette équation.
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Pour tout réel \(x\),
\[u'(x)=3\,\exp(3x+5)\]
\[v'(x)=2\,\exp(2x+3) \]
Or, pour tout réel \(x\), \(f(x)=u(x) \times v(x)\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[ \begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& 3\,\exp(3x+5) \times \exp(2x+3) + \exp(3x+5) \times 2\,\exp(2x+3)\\&=& 5\,\exp(3x+5) \times \exp(2x+3) \\&=& 5\, f(x)\end{eqnarray*} \]
Autrement dit, pour tout réel \(x\), on a
\[ f'(x)-5f(x)=0\]
Une autre fonction qui vérifie cette relation est la fonction \(g:x \mapsto \exp (5x)\).

La suite du cours nous permettra de simplifier facilement cetet fonction…

Pour chacune des fonctions suivantes, dérivables sur les intervalles mentionnés, donner une expression de la fonction dérivée.

  1. \(f_1:x\mapsto \exp(9x-7)\) sur \(\mathbb{R}\)
  2. \(f_2:x\mapsto \exp(8-5x)\) sur \(\mathbb{R}\)
  3. \(f_3:x\mapsto (2x+1)\, \exp (2x+3)\) sur \(\mathbb{R}\)
  4. \(f_4:x\mapsto x^2\, \exp(4x-1)\) sur \(\mathbb{R}\)
  5. \(f_5:x\mapsto \dfrac{\exp (-2x+3)}{x^2-1}\) sur \(]-1;1[\)
  6. \(f_6:x\mapsto \dfrac{\exp(-3x)}{x}\) sur \(]-\infty;0[\)
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  1. Pour tout réel \(x\), \(f_1 ‘(x)=9\, \exp (9x-7)\).
  2. Pour tout réel \(x\), \(f_2 ‘(x)=-5\, \exp (8-5x)\).
  3. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x+1\) et \(v(x)=\exp(2x+3)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=2\exp (2x+3)\).

    Ainsi, pour tout réel \(x\),
    \[\begin{eqnarray*}f_3′(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\ &=& 2\exp(2x+3) + (2x+1)\times 2\exp(2x+3)\\&=&(4x+4)\exp(2x+3)\end{eqnarray*}\]

  4. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2\) et \(v(x)=\exp(4x-1)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=4\exp (4x-1)\).

    Ainsi, pour tout réel \(x\),
    \[\begin{eqnarray*}f_4′(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& 2x\,\exp(4x-1) + x^2\times 4\exp(4x-1)\\&=&(4x^2+2x)\exp(4x-1)\end{eqnarray*}\]

  5. Pour tout réel \(x\in ]-1;1[\), on pose \(u(x)=\exp(-2x+3)\) et \(v(x)=x^2-1 \). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]-1;1 [\), \(v\) ne s’y annule pas, et pour tout réel \(x\in ]-1;1[\), \(u'(x)=-2\exp(-2x+3)\) et \(v'(x)=2x\).

    Ainsi, pour tout réel \(x\in ]-1;1[\),
    \[\begin{eqnarray*}f_5′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{-2\exp(-2x+3) \times (x^2-1)-\exp(-2x+3)\times 2x}{(x^2-1)^2}\\&=&\dfrac{(-2x^2-2x+2)\exp(-2x+3)}{(x^2+1)^2}\end{eqnarray*}\]

  6. Pour tout réel \(x<0\), on pose \(u(x)=\exp(-3x)\) et \(v(x)=x\). Pour tout réel \(x<0\), \(u'(x)=-3\exp(-3x)\) et \(v'(x)=1\).

    Ainsi, pour tout réel \(x<0\),
    \[\begin{eqnarray*}f_6′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{-3\exp(-3x)\times x – \exp(-3x) \times 1}{x^2}\\&=&\dfrac{(-3x-1)\exp(-3x)}{x^2}\end{eqnarray*}\]

Propriétés de la fonction exponentielle

Résoudre les équations suivantes d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\) :

  • \((2x+5) \exp (x)=0\)
  • \((3x^2+5x+2)\,\exp(3x+4)=0\)
  • \(3\exp(2x+1)+6x\,\exp(2x+1) = 0\)
  • \((x^2+2x+9) \exp (3x) = 0\)
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Soit \(x\) un réel. On sait que \(\exp(x)\neq 0\). Ainsi,
\[\begin{eqnarray*}
(2x+5) \exp (x)=0 & \Leftrightarrow & 2x+5=0\\
& \Leftrightarrow & x=-\dfrac{5}{2}\end{eqnarray*}\]
L’unique solution de l’équation \((2x+5) \exp (x)=0\) est \(-\dfrac{5}{2}\).

Soit \(x\) un réel. On sait que \(\exp(3x+4)\neq 0\). Ainsi,
\[(3x^2+5x+2) \exp (3x+4)=0 \Leftrightarrow 3x^2+5x+2=0\]
C’est une équation du second degré, on calcule alors le disctiminant \(\Delta\) du polynôme \(3x^2+5x+2\).
\[ \Delta = 5^2-4\times 3 \times 2 = 1 > 0\].
L’équation \((3x^2+5x+2) \exp (3x+4)=0\) admet donc deux solutions :
\[x_1=\dfrac{-5-\sqrt{1}}{2\times 3}=-1 \quad \text{et} \quad x_2=\dfrac{-5+\sqrt{1}}{2\times 3}=-\dfrac{2}{3}\]

Soit \(x\) un réel. On a \(3\exp(2x+1)+6x\,\exp(2x+1) = (3+6x)\exp(2x+1)\). Or, \(\exp(2x+1)\neq 0 \). Ainsi,
\[\begin{eqnarray*}
3\exp(2x+1)+6x\,\exp(2x+1) =0 & \Leftrightarrow & 3+6x=0\\
& \Leftrightarrow & x=-\dfrac{1}{2} \end{eqnarray*}\]
L’unique solution de l’équation \(3\exp(2x+1)+6x\,\exp(2x+1) = 0\) est \(-\dfrac{1}{2}\).

Soit \(x\) un réel. On sait que \(\exp(3x+4)\neq 0\). Ainsi,
\[(x^2+2x+9) \exp (3x+4)=0 \Leftrightarrow x^2+2x+9=0\]
C’est une équation du second degré. Le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(x^2+2x+9\) vaut
\[ \Delta = 2^2-4\times 1 \times 9 = -32 <0\]
L’équation \((x^2+2x+9) \exp (3x+4)=0\) n’admet donc aucune solution réelle.

On considère la fonction \(f:x \mapsto (3x+5) \,\exp(2x+1)\).

  1. Montrer que pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(6x+13)\,\exp(2x+1)\)
  2. La courbe représentative de \(f\) admet-elle une ou plusieurs tangentes horizontales ? Si oui, pour quelles(s) valeur(s) de \(x\) ?
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Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=3x+5\) et \(v(x)=\exp(2x+1)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=3\) et \(v'(x)=2\exp(2x+1)\).

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[\begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)\\ &=& 3 \exp(2x+1)+(3x+5) \times 2\exp(2x+1)\\&=&(6x+13)\exp(2x+1)\end{eqnarray*}\]
La courbe de \(f\) admet une tangente horizontale lorsque \(f’\) s’annule. Or, pour \(x\) un réel,
\[\begin{eqnarray*}f'(x) =0 & \Leftrightarrow & (6x+13) \,\exp(2x+1) =0\\
& \Leftrightarrow & 6x+13=0\\
& \Leftrightarrow & x=-\dfrac{13}{6} \end{eqnarray*}\]

La courbe de \(f\) admet donc une tangente horizontale en \(x=-\dfrac{13}{6}\).

On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction \(f:x\mapsto (ax+b) \, \exp (-x)\), où \(a\) et \(b\) sont des réels fixés.

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  1. A l’aide du graphique, trouver les valeurs des réels \(a\) et \(b\).
  2. Il semblerait que cette courbe admette une tangente horizontale en \(-1\). Retrouver ce résultat par le calcul et montrer qu’il s’agit de la seule tangente horizontale à la courbe.
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Sur le graphique, on remarque que \(f(0)=4\). Or, \(f(0)=(a\times 0 + b) \exp(0) = b\). Ainsi, \(b=4\).

De plus, on remarque que \(f(-2)=0\). Or, \(f(-2)=(-2a+4)\exp(2)\). Ainsi, puisque l’exponentielle ne s’annule pas, cela signifie que \(-2a+4=0\), c’est-à-dire \(a=2\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(2x+4)\,\exp(-x)\).

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x+4\) et \(v(x)=\exp(-x)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=-\exp(-x)\).\\
Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[\begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)\\& =& 2 \exp(-x) + (2x+4) \times (-\exp(-x))\\&=&(-2x-2)\exp(-x)\end{eqnarray*}\]
La courbe de \(f\) admet une tangente horizontal lorsque \(f’\) s’annule. Or, pour \(x\) un réel,
\[\begin{eqnarray*}
f'(x) =0 & \Leftrightarrow & (-2x-2) \,\exp(-x) =0\\
& \Leftrightarrow & -2x-2=0\\
& \Leftrightarrow & x=-1 \end{eqnarray*}\]
La courbe de \(f\) admet donc une tangente horizontale en \(x=-1\).

Simplifier les écritures suivantes.

\(\exp(5) \times \exp(9)\) \(\dfrac{\exp(6)}{\exp(2)} \)
\(\exp(12) \times \dfrac{\exp(-5)}{\exp(3)}\) \(\exp(3))^4\)
\( \dfrac{\exp(2)\times \exp(-5)}{\exp(4)}\) \( (\exp (3) \times \exp(-6) )^4\)
\(\left(\dfrac{\exp(-2)}{\exp(-5)}\right)^2\) \(\exp(-2) \times \exp(5^2)\)
\(\dfrac{\exp(8) \times (\exp(3))^{-2}}{\exp (3) \times \exp(-1)}\)
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  • \(\exp(5) \times \exp(9)=\exp(5+9)=\exp(14)\)
  • \(\dfrac{\exp(6)}{\exp(2)}=\exp(6-2)=\exp(4) \)
  • \(\exp(12) \times \dfrac{\exp(-5)}{\exp(3)} = \exp(12+(-5)-3)=\exp(4)\)
  • \((\exp(3))^4=\exp(3 \times 4) = \exp (12)\)
  • \( \dfrac{\exp(2)\times \exp(-5)}{\exp(4)}=\exp(2+(-5)-4)=\exp(-7)\)
  • \( (\exp (3) \times \exp(-6) )^4=\exp((3+(-6))\times 4)=\exp(-12)\)
  • \(\left(\dfrac{\exp(-2)}{\exp(-5)}\right)^2=\exp((-2-(-5))\times 2) = \exp(6)\)
  • \(\exp(-2) \times \exp(5^2)=\exp (-2+25)=\exp(23)\)
  • \(\dfrac{\exp(8) \times (\exp(3))^{-2}}{\exp (3) \times \exp(-1)}=\exp(8+3\times (-2)-3-(-1))=\exp(0)=1\)
Simplifier les écritures suivantes.

\(e^5 \times e^7\) \(\dfrac{e^8}{e^{-3}}\)
\(\dfrac{e^2}{(e^5)^{-4}}\) \(\dfrac{e^3 \times e^{7}}{e^{-10}}\)
\(\dfrac{e^2 \times e^{-7}}{e^{-4} \times e^5}\) \( (e^{-2})^4 \times e\)
\(\dfrac{1}{e} \times \dfrac{e^5}{e^{-3}}\) \(((e^{2})^5)^3\)
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  • \(e^5 \times e^7=e^{12}\)
  • \(\dfrac{e^8}{e^{-3}}=e^{11}\)
  • \(\dfrac{e^2}{(e^5)^{-4}}=e^{22}\)
  • \(\dfrac{e^3 \times e^{7}}{e^{-10}}=e^{20}\)
  • \(\dfrac{e^2 \times e^{-7}}{e^{-4} \times e^5}=e^{-6}\)
  • \( (e^{-2})^4 \times e = e^{-7}\)
  • \(\dfrac{1}{e} \times \dfrac{e^5}{e^{-3}}=e^7\)
  • \(((e^{2})^5)^3=e^{30}\)
Soit \(x\) et \(t\) des réels. Simplifier les écritures suivantes.

\(e^{3x+1} \times e^{5x+2}\) \((e^{2t-4})^5\)
\(\dfrac{e^{2x+5}}{e^{4x+7}}\) \(\dfrac{e^{2x+1} \times e^{5-8x}}{e^{2x+3}}\)
\(\dfrac{e^{7-2t}}{e^{3t+4} \times e^{-4t+1}}\) \(\dfrac{e^{2x+3t} \times e^{4x-5t}}{e^{2t+8x}}\)
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  • \(e^{3x+1} \times e^{5x+2}=e^{8x+3}\)
  • \((e^{2t-4})^5=e^{10t-20}\)
  • \(\dfrac{e^{2x+5}}{e^{4x+7}}=e^{-2x-2}\)
  • \(\dfrac{e^{2x+1} \times e^{5-8x}}{e^{2x+3}}=e^{-8x+3}\)
  • \(\dfrac{e^{7-2t}}{e^{3t+4} \times e^{-4t+1}}=e^{2-t}\)
  • \(\dfrac{e^{2x+3t} \times e^{4x-5t}}{e^{2t+8x}}=e^{-2x-4t}\)
(*) Soit \(x\) un réel. Que vaut \((e^x+e^{-x})^2-(e^x+e^{-x})^2\) ?
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On utilise une identité remarquable
\[(e^x+e^{-x})^2 = (e^x)^2+2 \times e^x \times e^{-x} + (e^{-x})^2=e^{2x}+2+e^{-2x}\]
De même,
\[(e^x-e^{-x})^2 = (e^x)^2-2 \times e^x \times e^{-x} + (e^{-x})^2=e^{2x}-2+e^{-2x}\]
Ainsi,
\[(e^x+e^{-x})^2-(e^x+e^{-x})^2=e^{2x}+2+e^{-2x}-(e^{2x}-2+e^{-2x})=4\]

Il est également possible de factoriser.

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(u_n=e^{2n+3}\).

  1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), que vaut \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) ?
  2. En déduire que la suite \((u_n)\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  • Donner la valeur de \(u_0+u_1+u_2+\ldots + u_{16}\).
  • Afficher/Masquer la solution

    Pour tout entier \(n\)
    \[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e^{2(n+1)+3}}{e^{2n+3}}=\dfrac{e^{2n+5}}{e^{2n+3}}=e^{2n+5-(2n+3)}=e^2\]

    Ainsi, pour tout entier \(n\),
    \[u_{n+1}=e^2 \times u_n\]
    La suite \((u_n)\) est donc géométrique de raison \(e^2\).

    En utilisant le résultat du chapitre sur les suites géométriques, on a
    \[u_0+u_1+u_2+\ldots + u_{16}=u_0 \times \dfrac{1-(e^2)^{16+1}}{1-e^{2}}=e^3 \times \dfrac{1-e^{34}}{1-e^2}\]

    Résoudre les inéquations suivantes sur \(\mathbb{R}\).

    • \((3x+2)\, e^x > 0\)
    • \((5x-4)\, e^{6-3x}\leqslant 0\)
    • \((8x+2)(3x-1)\, e^{5x-4} < 0\)
    • \((4x^2+5x-6)\, e^{2x^2-3x+1} \leqslant 0\)
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    • L’exponentielle étant toujours strictement positive, on a \((3x+2)\, e^x > 0\) si et seulement si \(3x+2>0\), c’est-à-dire \(x>-\dfrac{2}{3}\).
      \[S= \left] -\dfrac{2}{3} ; +\infty \right[ \]
    • L’exponentielle étant toujours strictement positive, on a \((5x-4)\, e^{6-3x}\leqslant 0\) si et seulement si \(5x-4\leqslant 0\), c’est-à-dire \(x\leqslant \dfrac{4}{5}\).
      \[S= \left] -\infty ; \dfrac{4}{5} \right] \]
    • L’exponentielle étant toujours positive, on s’intéresse au signe de \((8x+2)(3x-1)\). Pour cela, on construit un tableau de signe.

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      Ainsi, \( S= \left] -\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{3} \right[ \)

    • L’exponentielle étant toujours positive, on s’intéresse au signe de \(4x^2+5x-6\). Il s’agit d’une expression polynomiale du second degré. On calcule son discriminant \(\Delta\).
      \[ \Delta = 5^2 – 4 \times (-6) \times 4 = 121 >0 \]
      Ainsi, le polynôme \(4x^2+5x-6\) possède deux racines
      \[ x_1 = \dfrac{-5-\sqrt{121}}{2\times 4}= -2 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-5+\sqrt{121}}{2\times 4}= \dfrac{3}{4}\]
      Le coefficient en \(x^2\) est 4, qui est positif. Ainsi, \(4x^2+5x-6\) est « positif à l’extérieur des racines ».

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      Ainsi, \( S = \left[ -2 ; \dfrac{3}{4} \right] \)

    Études de fonctions

    On considère la fonction \(f:x \mapsto e^{4x-5}\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

    1. Soit \(x\) un réel, que vaut \(f'(x)\) ?
    2. En déduire le signe de \(f’\) et les variations de \(f\).
    3. Tracer une allure possible de la courbe de \(f\) dans un repère orthogonal.
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    Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=4e^{4x-5}\)

    L’exponentielle est toujours positive. Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f'(x)>0\). \(f\) est donc strictement croissante.

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    On considère la fonction \(f:x \mapsto (-x+2)\,e^x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

    1. Montrer que pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(-x+1)\, e^x\)
    2. Construire le tableau de signes de \(f’\) et en déduire les variations de \(f\).
    3. Où la fonction \(f\) atteint-elle son maximum ?
    4. On admet que la courbe de la fonction \(f\) se rapproche de 0 en \(-\infty\). Tracer une allure possible de la courbe de \(f\) dans un repère orthogonal.
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    Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=-x+1\) et \(v(x)=e^x\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=-1\) et \(v'(x)=e^x\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\).
    \[\begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& -1 \times e^x + (-x+2) \times e^x\\& =& (-x+1)e^x\end{eqnarray*}\]

    L’exponentielle étant toujours strictement positive, on s’intéresse seulement en signe de \(-x+1\). Celui-ci change seulement en 1.

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    La fonction \(f\) admet son maximum en 1.

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    On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction \(f:x\mapsto a \, \exp (-bx)\), où \(a\) et \(b\) sont des réels.

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    1. A l’aide du graphique, déterminer le signe de \(a\)
    2. A l’aide du graphique, déterminer le signe de \(b\).
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    1. On regarde en 0 : \(f(0)=a \times exp(0) = a\). Sur le graphique, on voit que \(f(0)>0\), \(a\) est donc positif.
    2. On a \(f'(x)=-ab \, \exp(-bx)\). Or, \(a\) est positif et l’exponentielle l’est également. La fonction est décroissante ce qui signifie que \(f'<0\). Ainsi, \(-b>0\), d’où \(b>0\).
    On considère la fonction \(f:x\mapsto (2x^2+8x+5)e^{2x+3}\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

    1. Montrer que pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(4x^2+20x+18)\, e^{2x+3}\).
    2. En déduire le tableau de signe de \(f’\) et les variations de \(f\).
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    Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x^2+8x+5\) et \(v(x)=e^{2x+3}\). \(u\) et \(v\) sont dérivables et pour tout réel \(x\),
    \[\begin{eqnarray*} f'(x)&=& u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& (4x+8) \times e^{2x+3} + (2x^2+8x+5) \times 2e^{2x+3} \\&=& (4x^2+20x+18)e^{2x+3}\end{eqnarray*}\]

    L’exponentielle étant toujours positive, il suffit d’étudier le signe de \(4x^2+20x+18\). C’est un polynôme du second degré. Calculons son discriminant \(\Delta\).
    \[ \Delta = 20^2-4 \times 4 \times 18=112>0 \]
    Le polynôme admet donc deux racines
    \[ x_1=\dfrac{-20-\sqrt{112}}{2\times 4}=\dfrac{-20-4\sqrt{7}}{8}=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2} \quad et \quad x_2=\dfrac{-20+\sqrt{112}}{2\times 4}=\dfrac{-20+4\sqrt{7}}{8}=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{7}}{2}\]
    Le tableau de variation de \(f\) est donc le suivant.

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    On considère les fonction \(f:x\mapsto e^x\) et \(g:x \mapsto e^{-x}\). Soit \(a\) un réel. On note \(T_a\) la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) et \(D_a\) la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(a\).

    1. Pour \(a=0\), donner les équations réduites de \(T_0\) et \(D_0\).
    2. En général, donner les équations réduite de \(T_a\) et \(D_a\).
    3. Montrer que pour tout réel \(a\), \(T_a\) et \(D_a\) sont perpendiculaires.
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    Remarquons que pour tout réel \(x\), \(f'(x)=e^x\) et \(g'(x)=-e^{-x}\).

    • L’équation de \(T_0\) est \(y=f'(0) (x-0) + f(0)\), soit \(y=x+1\)
    • L’équation de \(D_0\) est \(y=g'(0) (x-0) + g(0)\), soit \(y=-x+1\)

    Soit \(a\) un réel,

    • L’équation de \(T_a\) est \(y=f'(a) (x-a) + f(a)\), soit \(y=e^a\, x + e^(a)\,(1-a)\)
    • L’équation de \(D_a\) est \(y=g'(a) (x-a) + g(a)\), soit \(y=-e^{-a}\,x+e^{-a} \,(1+a)\)

    On rappelle que le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite d’équation \(y=mx+p\). Ainsi, \(\vec u_a \begin{pmatrix}1 \\ e^a\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(T_a\) et \(\vec v_a \begin{pmatrix}1 \\ -e^{-a}\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(D_a\). On calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs. Puisque l’on est dans un repère orthonormé, on peut utiliser la formule « \(xx’+yy’\). Ainsi,
    \[ \overrightarrow{u_a} \cdot \overrightarrow{v_a} = 1 \times 1 + e^a \times (-e^{-a})=1-1=0\]
    Les vecteurs \(\overrightarrow{u_a}\) et \(\overrightarrow{v_a}\) sont orthogonaux, les droites \(T_a\) et \(D_a\) sont donc perpendiculaires.

    Résoudre les équations suivantes sur \(\mathbb{R}\)

    • \(e^{2x+1}=e^{3}\)
    • \(e^{3x+1}=e^{4-9x}\)
    • \(e^{3x^2+5x-8}=1\)
    • \((e^x-1)(3x+2)=0\)
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    • Soit \(x\) un réel. \(e^{2x+1}=e^{3} \Leftrightarrow2x+1=3 \Leftrightarrow x = 1\). L’unique solution de l’équation \(e^{2x+1}=e^{3}\) est \(1\).
    • Soit \(x\) un réel. \(e^{3x+1}=e^{4-9x}\Leftrightarrow 3x+1=4-9x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\). L’unique solution de l’équation \(e^{3x+1}=e^{4-9x}\) est \(\dfrac{1}{4}\).
    • On rappelle que \(1=e^0\). Ainsi, soit \(x\) un réel.

      On a \(e^{3x^2+5x-8}=1\Leftrightarrow 3x^2+5x-8=0\). C’est une équation du second degré. La résolution de cette équation avec le discriminant donne alors deux solutions, \(1\) et \(-\dfrac{8}{3}\).

    • Soit \(x\) un réel. \((e^x-1)(3x+2)=0 \Leftrightarrow e^x-1 = 0 \text{ ou } 3x+2=0\). On utilise le fait qu’un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Ainsi, les solutions sont \(0\) et \(-\dfrac{2}{3}\).
    Soit \(t\) un réel. Résoudre l’équation suivante sur \(\mathbb{R}\).
    \[4e^{2t}+7e^{t}-11=0\]
    On pourra poser \(X=e^t\) et faire un changement de variable.
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    Posons \(X=e^t\), alors \(X^2=(e^t)^2=e^{2t}\). L’équation se réécrit
    \[4X^2+7X-11=0\]
    C’est une équation du second degré qui a deux solutions, \(X_1=1\) et \(X_2=-\dfrac{11}{4}\).
    Ainsi, \(4e^{2t}+7e^{t}-11=0\) si et seulement si \(X=1\) ou \(X=-\dfrac{11}{4}\), c’est-à-dire \(e^t=1\) ou \(e^t=-\dfrac{11}{4}\). Le premier cas donne \(t=0\). Le deuxième est impossible car une exponentielle est toujours positive. L’unique solution est donc 0.

    Résoudre les inéquations suivantes sur \(\mathbb{R}\)

    • \(e^{3t+2}\leqslant e^{7}\)
    • \(e^{2-4x}>e^{6x-5}\)
    • \(e^{3x^2+5x-8}\geqslant e^{2x+7}\)
    • \(\dfrac{e^{3x+7}}{e^{5x-8}}<e^{4x-1}\)
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    • Soit \(t\) un réel. \(e^{3t+2}\leqslant e^{7} \Leftrightarrow 3t+2 \leqslant 7 \Leftrightarrow t \leqslant \dfrac{5}{3}\). Ainsi, \(S=\left]-\infty; \dfrac{5}{3} \right]\).
    • Soit \(x\) un réel. \(e^{2-4x}>e^{6x-5} \Leftrightarrow 2-4x > 6x-5 \Leftrightarrow x < \dfrac{7}{10}\). Ainsi, \(S=\left]-\infty; \dfrac{7}{10} \right[\).
    • Soit \(x\) un réel. \(e^{3x^2+5x-8}\geqslant e^{2x+7} \Leftrightarrow 3x^2+5x-8 \geqslant 2x+7 \Leftrightarrow 3x^2+3x-15 \geqslant 0\).

      On a une inéquation du second degré, on calcule le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(3x^2+3x-15\).
      \[ \Delta = 3^2-4\times 3 \times (-15)=189>0\]
      Le polynôme a deux racines réelles distinctes, et est positif (du signe de 3) en dehors de ces racines.
      \[ x_1 = \dfrac{-3-\sqrt{189}}{2\times 3}=\dfrac{-3-3\sqrt{21}}{6}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2} \quad et \quad x_2 = \dfrac{-3+\sqrt{189}}{2\times 3}=\dfrac{-3+3\sqrt{21}}{6}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2}\]
      Ainsi, \(S=\left]-\infty; -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2} \right] \cup \left[ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2} ; + \infty \right[\)

    • Soit \(x\) un réel. En simplifiant, on a que \(\dfrac{e^{3x+7}}{e^{5x-8}}=e^{3x+7-(5x-8)}=e^{-2x+15}\). Ainsi,
      \[\dfrac{e^{3x+7}}{e^{5x-8}}<e^{4x-1} \Leftrightarrow e^{-2x+15} < e^{4x-1} \Leftrightarrow -2x+15 < 4x-1 \Leftrightarrow x > \dfrac{8}{3}\]
      Finalement, \(S=\left] \dfrac{8}{3};+\infty \right[\).

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