1. Pour tout réel \(x\), \(f_1 ‘(x)=6x+\exp (x)\).
2. Pour tout réel \(x\), \(f_2 ‘(x)= x^2+6\exp(x)\).
3. Pour tout réel strictement positif \(x\), on pose \(u(x)=\exp(x)\) et \(v(x)=x\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]0;+\infty [\) et pour tout réel strictement positif, \(u'(x)=\exp(x)\) et \(v'(x)=1\).

   Ainsi, pour tout réel \(x\) strictement positif,
   \[\begin{eqnarray*}f_3′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{\exp(x)\times x – \exp (x) \times 1}{x^2}\\&=&\dfrac{(x-1)\exp(x)}{x^2}\end{eqnarray*}\]

4. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\exp(x)\) et \(v(x)=x\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=\exp(x)\) et \(v'(x)=1\).

   Ainsi, pour tout réel \(x\),
   \[\begin{eqnarray*}f_4′(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=&\exp(x) \times 1 + \exp(x) \times x \\&=& (x+1)\exp(x)\end{eqnarray*}\]

5. Pour tout réel strictement positif \(x\), on pose \(u(x)=x^2\) et \(v(x)=\exp (x) -1\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]0;+\infty [\) et pour tout réel \(x\) strictement positif, \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=\exp (x)\).

   Ainsi, pour tout réel \(x\) strictement positif,
   \[\begin{eqnarray*}f_5′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{2x\times (\exp(x)-1) – x^2 \times \exp(x)}{(\exp(x)-1)^2}\end{eqnarray*}\]

6. Pour tout réel strictement positif \(x\), on pose \(u(x)=3x+1\) et \(v(x)=x\exp (x)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]-\infty;0 [\) et pour tout réel \(x\) strictement négatif, \(u'(x)=3\) et \(v'(x)=(x+1)\exp (x)\) – c’est la fonction \(f_4\).

   Ainsi, pour tout réel \(x\) strictement négatif,
   \[\begin{eqnarray*}f_6′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{3 \times x\exp(x) – (3x+1) \times (x+1)\exp(x)}{(x\exp(x))^2}\end{eqnarray*}\]
   Que l’on peut simplifier en
   \[f_6′(x)=\dfrac{3x-(3x+1)(x+1)}{x^2\exp(x)}=\dfrac{3x-3x^2-3x-x-1}{x^2\exp(x)}=\dfrac{-3x^2-x-1}{x^2\exp(x)}\]

1. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+3x-2\) et \(v(x)=\exp (x)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2x+3\) et \(v'(x)=\exp (x)\).

   Ainsi, pour tout réel \(x\),
   \[\begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& (2x+3)\exp (x) + (x^2+3x-2) \exp (x)\\ &=& (x^2+5x+1)\,\exp(x)\end{eqnarray*}\]

2. On rappelle que l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 0 a pour équation
   \[ y = f'(0)(x-0) + f(0)\]
   Or, \(f'(0)=(0^2+5\times 0 + 1 ) \, \exp(0) = 1\) et \(f(0)=(0^2+3\times 0 – 2) \, \exp (0) = -2\). La tangente a donc pour équation
   \[ y = x-2\]

Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=4\, \exp(4x)\).

Ainsi, pour tout réel \(x\),

\[f'(x)-4f(x)= 4\,\exp (4x) – 4\, \exp(4x)=0\]

Pour tout réel \(x\),
\[u'(x)=3\,\exp(3x+5)\]
\[v'(x)=2\,\exp(2x+3) \]
Or, pour tout réel \(x\), \(f(x)=u(x) \times v(x)\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[ \begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& 3\,\exp(3x+5) \times \exp(2x+3) + \exp(3x+5) \times 2\,\exp(2x+3)\\&=& 5\,\exp(3x+5) \times \exp(2x+3) \\&=& 5\, f(x)\end{eqnarray*} \]
Autrement dit, pour tout réel \(x\), on a
\[ f'(x)-5f(x)=0\]
Une autre fonction qui vérifie cette relation est la fonction \(g:x \mapsto \exp (5x)\).

La suite du cours nous permettra de simplifier facilement cetet fonction…

1. Pour tout réel \(x\), \(f_1 ‘(x)=9\, \exp (9x-7)\).
2. Pour tout réel \(x\), \(f_2 ‘(x)=-5\, \exp (8-5x)\).
3. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x+1\) et \(v(x)=\exp(2x+3)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=2\exp (2x+3)\).

   Ainsi, pour tout réel \(x\),
   \[\begin{eqnarray*}f_3′(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\ &=& 2\exp(2x+3) + (2x+1)\times 2\exp(2x+3)\\&=&(4x+4)\exp(2x+3)\end{eqnarray*}\]

4. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2\) et \(v(x)=\exp(4x-1)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=4\exp (4x-1)\).

   Ainsi, pour tout réel \(x\),
   \[\begin{eqnarray*}f_4′(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& 2x\,\exp(4x-1) + x^2\times 4\exp(4x-1)\\&=&(4x^2+2x)\exp(4x-1)\end{eqnarray*}\]

5. Pour tout réel \(x\in ]-1;1[\), on pose \(u(x)=\exp(-2x+3)\) et \(v(x)=x^2-1 \). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]-1;1 [\), \(v\) ne s’y annule pas, et pour tout réel \(x\in ]-1;1[\), \(u'(x)=-2\exp(-2x+3)\) et \(v'(x)=2x\).

   Ainsi, pour tout réel \(x\in ]-1;1[\),
   \[\begin{eqnarray*}f_5′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{-2\exp(-2x+3) \times (x^2-1)-\exp(-2x+3)\times 2x}{(x^2-1)^2}\\&=&\dfrac{(-2x^2-2x+2)\exp(-2x+3)}{(x^2+1)^2}\end{eqnarray*}\]

6. Pour tout réel \(x<0\), on pose \(u(x)=\exp(-3x)\) et \(v(x)=x\). Pour tout réel \(x<0\), \(u'(x)=-3\exp(-3x)\) et \(v'(x)=1\).

   Ainsi, pour tout réel \(x<0\),
   \[\begin{eqnarray*}f_6′(x)&=&\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\\&=&\dfrac{-3\exp(-3x)\times x – \exp(-3x) \times 1}{x^2}\\&=&\dfrac{(-3x-1)\exp(-3x)}{x^2}\end{eqnarray*}\]

Soit \(x\) un réel. On sait que \(\exp(x)\neq 0\). Ainsi,
\[\begin{eqnarray*}
(2x+5) \exp (x)=0 & \Leftrightarrow & 2x+5=0\\
& \Leftrightarrow & x=-\dfrac{5}{2}\end{eqnarray*}\]
L’unique solution de l’équation \((2x+5) \exp (x)=0\) est \(-\dfrac{5}{2}\).

Soit \(x\) un réel. On sait que \(\exp(3x+4)\neq 0\). Ainsi,
\[(3x^2+5x+2) \exp (3x+4)=0 \Leftrightarrow 3x^2+5x+2=0\]
C’est une équation du second degré, on calcule alors le disctiminant \(\Delta\) du polynôme \(3x^2+5x+2\).
\[ \Delta = 5^2-4\times 3 \times 2 = 1 > 0\].
L’équation \((3x^2+5x+2) \exp (3x+4)=0\) admet donc deux solutions :
\[x_1=\dfrac{-5-\sqrt{1}}{2\times 3}=-1 \quad \text{et} \quad x_2=\dfrac{-5+\sqrt{1}}{2\times 3}=-\dfrac{2}{3}\]

Soit \(x\) un réel. On a \(3\exp(2x+1)+6x\,\exp(2x+1) = (3+6x)\exp(2x+1)\). Or, \(\exp(2x+1)\neq 0 \). Ainsi,
\[\begin{eqnarray*}
3\exp(2x+1)+6x\,\exp(2x+1) =0 & \Leftrightarrow & 3+6x=0\\
& \Leftrightarrow & x=-\dfrac{1}{2} \end{eqnarray*}\]
L’unique solution de l’équation \(3\exp(2x+1)+6x\,\exp(2x+1) = 0\) est \(-\dfrac{1}{2}\).

Soit \(x\) un réel. On sait que \(\exp(3x+4)\neq 0\). Ainsi,
\[(x^2+2x+9) \exp (3x+4)=0 \Leftrightarrow x^2+2x+9=0\]
C’est une équation du second degré. Le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(x^2+2x+9\) vaut
\[ \Delta = 2^2-4\times 1 \times 9 = -32 <0\]
L’équation \((x^2+2x+9) \exp (3x+4)=0\) n’admet donc aucune solution réelle.

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=3x+5\) et \(v(x)=\exp(2x+1)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=3\) et \(v'(x)=2\exp(2x+1)\).

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[\begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)\\ &=& 3 \exp(2x+1)+(3x+5) \times 2\exp(2x+1)\\&=&(6x+13)\exp(2x+1)\end{eqnarray*}\]
La courbe de \(f\) admet une tangente horizontale lorsque \(f’\) s’annule. Or, pour \(x\) un réel,
\[\begin{eqnarray*}f'(x) =0 & \Leftrightarrow & (6x+13) \,\exp(2x+1) =0\\
& \Leftrightarrow & 6x+13=0\\
& \Leftrightarrow & x=-\dfrac{13}{6} \end{eqnarray*}\]

La courbe de \(f\) admet donc une tangente horizontale en \(x=-\dfrac{13}{6}\).

Sur le graphique, on remarque que \(f(0)=4\). Or, \(f(0)=(a\times 0 + b) \exp(0) = b\). Ainsi, \(b=4\).

De plus, on remarque que \(f(-2)=0\). Or, \(f(-2)=(-2a+4)\exp(2)\). Ainsi, puisque l’exponentielle ne s’annule pas, cela signifie que \(-2a+4=0\), c’est-à-dire \(a=2\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(2x+4)\,\exp(-x)\).

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x+4\) et \(v(x)=\exp(-x)\). \(u\) et \(v\) sont dérivables et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=-\exp(-x)\).\\
Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[\begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)\\& =& 2 \exp(-x) + (2x+4) \times (-\exp(-x))\\&=&(-2x-2)\exp(-x)\end{eqnarray*}\]
La courbe de \(f\) admet une tangente horizontal lorsque \(f’\) s’annule. Or, pour \(x\) un réel,
\[\begin{eqnarray*}
f'(x) =0 & \Leftrightarrow & (-2x-2) \,\exp(-x) =0\\
& \Leftrightarrow & -2x-2=0\\
& \Leftrightarrow & x=-1 \end{eqnarray*}\]
La courbe de \(f\) admet donc une tangente horizontale en \(x=-1\).

• \(\exp(5) \times \exp(9)=\exp(5+9)=\exp(14)\)
• \(\dfrac{\exp(6)}{\exp(2)}=\exp(6-2)=\exp(4) \)
• \(\exp(12) \times \dfrac{\exp(-5)}{\exp(3)} = \exp(12+(-5)-3)=\exp(4)\)
• \((\exp(3))^4=\exp(3 \times 4) = \exp (12)\)
• \( \dfrac{\exp(2)\times \exp(-5)}{\exp(4)}=\exp(2+(-5)-4)=\exp(-7)\)
• \( (\exp (3) \times \exp(-6) )^4=\exp((3+(-6))\times 4)=\exp(-12)\)
• \(\left(\dfrac{\exp(-2)}{\exp(-5)}\right)^2=\exp((-2-(-5))\times 2) = \exp(6)\)
• \(\exp(-2) \times \exp(5^2)=\exp (-2+25)=\exp(23)\)
• \(\dfrac{\exp(8) \times (\exp(3))^{-2}}{\exp (3) \times \exp(-1)}=\exp(8+3\times (-2)-3-(-1))=\exp(0)=1\)

• \(e^5 \times e^7=e^{12}\)
• \(\dfrac{e^8}{e^{-3}}=e^{11}\)
• \(\dfrac{e^2}{(e^5)^{-4}}=e^{22}\)
• \(\dfrac{e^3 \times e^{7}}{e^{-10}}=e^{20}\)
• \(\dfrac{e^2 \times e^{-7}}{e^{-4} \times e^5}=e^{-6}\)
• \( (e^{-2})^4 \times e = e^{-7}\)
• \(\dfrac{1}{e} \times \dfrac{e^5}{e^{-3}}=e^7\)
• \(((e^{2})^5)^3=e^{30}\)

• \(e^{3x+1} \times e^{5x+2}=e^{8x+3}\)
• \((e^{2t-4})^5=e^{10t-20}\)
• \(\dfrac{e^{2x+5}}{e^{4x+7}}=e^{-2x-2}\)
• \(\dfrac{e^{2x+1} \times e^{5-8x}}{e^{2x+3}}=e^{-8x+3}\)
• \(\dfrac{e^{7-2t}}{e^{3t+4} \times e^{-4t+1}}=e^{2-t}\)
• \(\dfrac{e^{2x+3t} \times e^{4x-5t}}{e^{2t+8x}}=e^{-2x-4t}\)

On utilise une identité remarquable
\[(e^x+e^{-x})^2 = (e^x)^2+2 \times e^x \times e^{-x} + (e^{-x})^2=e^{2x}+2+e^{-2x}\]
De même,
\[(e^x-e^{-x})^2 = (e^x)^2-2 \times e^x \times e^{-x} + (e^{-x})^2=e^{2x}-2+e^{-2x}\]
Ainsi,
\[(e^x+e^{-x})^2-(e^x+e^{-x})^2=e^{2x}+2+e^{-2x}-(e^{2x}-2+e^{-2x})=4\]

Il est également possible de factoriser.

Pour tout entier \(n\)
\[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e^{2(n+1)+3}}{e^{2n+3}}=\dfrac{e^{2n+5}}{e^{2n+3}}=e^{2n+5-(2n+3)}=e^2\]

Ainsi, pour tout entier \(n\),
\[u_{n+1}=e^2 \times u_n\]
La suite \((u_n)\) est donc géométrique de raison \(e^2\).

En utilisant le résultat du chapitre sur les suites géométriques, on a
\[u_0+u_1+u_2+\ldots + u_{16}=u_0 \times \dfrac{1-(e^2)^{16+1}}{1-e^{2}}=e^3 \times \dfrac{1-e^{34}}{1-e^2}\]

• L’exponentielle étant toujours strictement positive, on a \((3x+2)\, e^x > 0\) si et seulement si \(3x+2>0\), c’est-à-dire \(x>-\dfrac{2}{3}\).
  \[S= \left] -\dfrac{2}{3} ; +\infty \right[ \]
• L’exponentielle étant toujours strictement positive, on a \((5x-4)\, e^{6-3x}\leqslant 0\) si et seulement si \(5x-4\leqslant 0\), c’est-à-dire \(x\leqslant \dfrac{4}{5}\).
  \[S= \left] -\infty ; \dfrac{4}{5} \right] \]
• L’exponentielle étant toujours positive, on s’intéresse au signe de \((8x+2)(3x-1)\). Pour cela, on construit un tableau de signe.

  

  Ainsi, \( S= \left] -\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{3} \right[ \)

• L’exponentielle étant toujours positive, on s’intéresse au signe de \(4x^2+5x-6\). Il s’agit d’une expression polynomiale du second degré. On calcule son discriminant \(\Delta\).
  \[ \Delta = 5^2 – 4 \times (-6) \times 4 = 121 >0 \]
  Ainsi, le polynôme \(4x^2+5x-6\) possède deux racines
  \[ x_1 = \dfrac{-5-\sqrt{121}}{2\times 4}= -2 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-5+\sqrt{121}}{2\times 4}= \dfrac{3}{4}\]
  Le coefficient en \(x^2\) est 4, qui est positif. Ainsi, \(4x^2+5x-6\) est « positif à l’extérieur des racines ».

  

  Ainsi, \( S = \left[ -2 ; \dfrac{3}{4} \right] \)

Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=4e^{4x-5}\)

L’exponentielle est toujours positive. Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f'(x)>0\). \(f\) est donc strictement croissante.

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=-x+1\) et \(v(x)=e^x\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=-1\) et \(v'(x)=e^x\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\).
\[\begin{eqnarray*}f'(x)&=&u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& -1 \times e^x + (-x+2) \times e^x\\& =& (-x+1)e^x\end{eqnarray*}\]

L’exponentielle étant toujours strictement positive, on s’intéresse seulement en signe de \(-x+1\). Celui-ci change seulement en 1.

La fonction \(f\) admet son maximum en 1.

1. On regarde en 0 : \(f(0)=a \times exp(0) = a\). Sur le graphique, on voit que \(f(0)>0\), \(a\) est donc positif.
2. On a \(f'(x)=-ab \, \exp(-bx)\). Or, \(a\) est positif et l’exponentielle l’est également. La fonction est décroissante ce qui signifie que \(f'<0\). Ainsi, \(-b>0\), d’où \(b>0\).

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x^2+8x+5\) et \(v(x)=e^{2x+3}\). \(u\) et \(v\) sont dérivables et pour tout réel \(x\),
\[\begin{eqnarray*} f'(x)&=& u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \\&=& (4x+8) \times e^{2x+3} + (2x^2+8x+5) \times 2e^{2x+3} \\&=& (4x^2+20x+18)e^{2x+3}\end{eqnarray*}\]

L’exponentielle étant toujours positive, il suffit d’étudier le signe de \(4x^2+20x+18\). C’est un polynôme du second degré. Calculons son discriminant \(\Delta\).
\[ \Delta = 20^2-4 \times 4 \times 18=112>0 \]
Le polynôme admet donc deux racines
\[ x_1=\dfrac{-20-\sqrt{112}}{2\times 4}=\dfrac{-20-4\sqrt{7}}{8}=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2} \quad et \quad x_2=\dfrac{-20+\sqrt{112}}{2\times 4}=\dfrac{-20+4\sqrt{7}}{8}=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{7}}{2}\]
Le tableau de variation de \(f\) est donc le suivant.

Remarquons que pour tout réel \(x\), \(f'(x)=e^x\) et \(g'(x)=-e^{-x}\).

• L’équation de \(T_0\) est \(y=f'(0) (x-0) + f(0)\), soit \(y=x+1\)
• L’équation de \(D_0\) est \(y=g'(0) (x-0) + g(0)\), soit \(y=-x+1\)

Soit \(a\) un réel,

• L’équation de \(T_a\) est \(y=f'(a) (x-a) + f(a)\), soit \(y=e^a\, x + e^(a)\,(1-a)\)
• L’équation de \(D_a\) est \(y=g'(a) (x-a) + g(a)\), soit \(y=-e^{-a}\,x+e^{-a} \,(1+a)\)

On rappelle que le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite d’équation \(y=mx+p\). Ainsi, \(\vec u_a \begin{pmatrix}1 \\ e^a\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(T_a\) et \(\vec v_a \begin{pmatrix}1 \\ -e^{-a}\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(D_a\). On calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs. Puisque l’on est dans un repère orthonormé, on peut utiliser la formule « \(xx’+yy’\). Ainsi,
\[ \overrightarrow{u_a} \cdot \overrightarrow{v_a} = 1 \times 1 + e^a \times (-e^{-a})=1-1=0\]
Les vecteurs \(\overrightarrow{u_a}\) et \(\overrightarrow{v_a}\) sont orthogonaux, les droites \(T_a\) et \(D_a\) sont donc perpendiculaires.

• Soit \(x\) un réel. \(e^{2x+1}=e^{3} \Leftrightarrow2x+1=3 \Leftrightarrow x = 1\). L’unique solution de l’équation \(e^{2x+1}=e^{3}\) est \(1\).
• Soit \(x\) un réel. \(e^{3x+1}=e^{4-9x}\Leftrightarrow 3x+1=4-9x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\). L’unique solution de l’équation \(e^{3x+1}=e^{4-9x}\) est \(\dfrac{1}{4}\).
• On rappelle que \(1=e^0\). Ainsi, soit \(x\) un réel.

  On a \(e^{3x^2+5x-8}=1\Leftrightarrow 3x^2+5x-8=0\). C’est une équation du second degré. La résolution de cette équation avec le discriminant donne alors deux solutions, \(1\) et \(-\dfrac{8}{3}\).

• Soit \(x\) un réel. \((e^x-1)(3x+2)=0 \Leftrightarrow e^x-1 = 0 \text{ ou } 3x+2=0\). On utilise le fait qu’un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Ainsi, les solutions sont \(0\) et \(-\dfrac{2}{3}\).

Posons \(X=e^t\), alors \(X^2=(e^t)^2=e^{2t}\). L’équation se réécrit
\[4X^2+7X-11=0\]
C’est une équation du second degré qui a deux solutions, \(X_1=1\) et \(X_2=-\dfrac{11}{4}\).
Ainsi, \(4e^{2t}+7e^{t}-11=0\) si et seulement si \(X=1\) ou \(X=-\dfrac{11}{4}\), c’est-à-dire \(e^t=1\) ou \(e^t=-\dfrac{11}{4}\). Le premier cas donne \(t=0\). Le deuxième est impossible car une exponentielle est toujours positive. L’unique solution est donc 0.

• Soit \(t\) un réel. \(e^{3t+2}\leqslant e^{7} \Leftrightarrow 3t+2 \leqslant 7 \Leftrightarrow t \leqslant \dfrac{5}{3}\). Ainsi, \(S=\left]-\infty; \dfrac{5}{3} \right]\).
• Soit \(x\) un réel. \(e^{2-4x}>e^{6x-5} \Leftrightarrow 2-4x > 6x-5 \Leftrightarrow x < \dfrac{7}{10}\). Ainsi, \(S=\left]-\infty; \dfrac{7}{10} \right[\).
• Soit \(x\) un réel. \(e^{3x^2+5x-8}\geqslant e^{2x+7} \Leftrightarrow 3x^2+5x-8 \geqslant 2x+7 \Leftrightarrow 3x^2+3x-15 \geqslant 0\).

  On a une inéquation du second degré, on calcule le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(3x^2+3x-15\).
  \[ \Delta = 3^2-4\times 3 \times (-15)=189>0\]
  Le polynôme a deux racines réelles distinctes, et est positif (du signe de 3) en dehors de ces racines.
  \[ x_1 = \dfrac{-3-\sqrt{189}}{2\times 3}=\dfrac{-3-3\sqrt{21}}{6}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2} \quad et \quad x_2 = \dfrac{-3+\sqrt{189}}{2\times 3}=\dfrac{-3+3\sqrt{21}}{6}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2}\]
  Ainsi, \(S=\left]-\infty; -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2} \right] \cup \left[ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2} ; + \infty \right[\)

• Soit \(x\) un réel. En simplifiant, on a que \(\dfrac{e^{3x+7}}{e^{5x-8}}=e^{3x+7-(5x-8)}=e^{-2x+15}\). Ainsi,
  \[\dfrac{e^{3x+7}}{e^{5x-8}}<e^{4x-1} \Leftrightarrow e^{-2x+15} < e^{4x-1} \Leftrightarrow -2x+15 < 4x-1 \Leftrightarrow x > \dfrac{8}{3}\]
  Finalement, \(S=\left] \dfrac{8}{3};+\infty \right[\).