Exercice 1 : Probabilités et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (5 points)

Ce premier exercice, ancré dans le contexte du contrôle qualité de lames d’escrime, évalue le candidat sur trois grands axes probabilistes. La première partie est une application classique : arbre pondéré, formule des probabilités totales et calcul d’une probabilité conditionnelle. La deuxième partie s’appuie sur la loi binomiale pour calculer des probabilités ponctuelles et des probabilités d’événements contraires. Enfin, la dernière partie, plus exigeante, demande de manipuler l’espérance et la variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes afin d’exploiter l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour valider une probabilité.

Exercice 2 : Vrai/Faux (5 points)

Ce traditionnel exercice de Vrai/Faux brasse un large spectre du programme d’analyse. Le candidat doit vérifier si une fonction donnée est solution d’une équation différentielle, démontrer l’unicité d’un point d’intersection entre deux courbes (via l’étude d’une fonction auxiliaire), et utiliser le théorème des gendarmes pour prouver la convergence d’une suite. Les deux dernières questions évaluent la rédaction d’un raisonnement par récurrence et le calcul de la limite de la somme des termes d’une suite géométrique.

Exercice 3 : Géométrie dans l’espace (4 points)

S’appuyant sur un cube muni d’un repère orthonormé, cet exercice balaye l’essentiel des capacités attendues en géométrie analytique. Le candidat doit d’abord utiliser l’expression analytique et géométrique du produit scalaire pour déduire la mesure d’un angle. La suite du problème est très classique : justification d’un vecteur normal, équation cartésienne de plan, recherche des coordonnées d’un projeté orthogonal et calcul de la distance d’un point à ce plan. Le problème se termine par une question ouverte intéressante demandant d’étudier, à l’aide d’une représentation paramétrique, si deux droites peuvent être coplanaires selon la valeur d’un paramètre réel.

Exercice 4 : Étude de fonction, Convexité et Intégration (6 points)

Ce problème d’analyse est centré sur la fonction \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}\). La première partie nécessite de maîtriser les croissances comparées pour les limites, les règles de dérivation pour dresser le tableau de variations, la détermination d’une tangente, et enfin l’étude de la dérivée seconde pour trouver un point d’inflexion et exploiter la convexité afin de démontrer des inégalités. La seconde partie fait le lien avec le calcul intégral : après l’interprétation d’une boucle for en Python approchant une aire par des rectangles, le candidat doit réaliser une intégration par parties pour obtenir la valeur exacte de l’intégrale, avant d’en calculer la limite en \(+\infty\).