Equations du second degré

Revoyez le cours sur les fonctions polynômes du second degré

Racines d’un polynôme

On considère le polynôme du second degré \(ax^2+bx+c\).
Un réel \(x_0\) est une racine de ce polynôme si \(ax_0^2+bx_0+c=0\).

Attention : le terme racine est réservé aux polynômes et, par extension, aux fonctions polynomiales. On ne dira pas par exemple que 1 est une racine de la fonction \(x\mapsto \sqrt{x-1}\) puisque cette fonction n’est pas polynomiale.

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto 3x^2-5x+2\) définie sur \(\mathbb{R}\). On a \( f(1)=3\times 1^2-5\times 1 + 2 = 0\). 1 est donc une racine du polynôme \(3x^2-5x+2\)
On considère le polynôme du second degré \(ax^2+bx+c\).
Le discriminant de ce polynôme, en général noté \( \Delta\) (Delta), est le réel $$ \Delta = b^2-4ac $$

Exemple : Le déterminant du polynôme \(3x^2-4x-5\) vaut \( (-4)^2-4\times 3 \times (-5) =76\)

On considère \(\Delta\), le discriminant du polynôme \(ax^2+bx+c\).
  • Si \(\Delta < 0\), le polynôme \(ax^2+bx+c\) n’admet pas de racine réelle.
  • Si \(\Delta=0\), le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet une racine dite double, qui vaut \(x_0=-\frac{b}{2a}\).
  • Si \(\Delta > 0\), le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet deux racines réelles \(x_1\) et \(x_2\) : $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad \text{et} \qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
On rappelle que le polynôme \(ax^2+bx+c\) s’écrit sous forme canonique $$ax^2+bx+c=a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}$$ ce que l’on réécrit, en factorisant par \(a\) et en remplaçant \(b^2-4ac\) par \(\Delta\) : $$ax^2+bx+c=a \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2}\right)$$
  • Si \(\Delta <0\), alors \(-\frac{\Delta}{4a^2}>0\). On a donc, dans la parenthèse, la somme de deux termes positifs, dont un l’est strictement. Ainsi, pour tout réel \(x\) $$ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$$ et donc, \(a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)\) est du signe de \(a\). Celui-ci étant non nul, le polynôme \(ax^2+bx+c\) ne s’annule donc jamais, peu importe la valeur de \(x\)
  • Si \(\Delta =0\), alors \(ax^2+bx+c=a \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\), qui vaut 0 si et seulement si \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
  • Si \(\Delta>0\), on peut calculer la racine carrée de \(\Delta\). On a donc $$ax^2+bx+c=a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)=a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right)$$ On reconnait une identité remarquable du type \(x^2-y^2\) que l’on s’empresse de factoriser. $$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$ Que l’on simplifie $$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$ Ce polynôme s’annule donc en deux valeurs distinctes : $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
Exemple : On souhaite résoudre l’équation \(2x^2-6x-8=0\).
Avant tout, on vérifie que l’on n’a pas affaire à une factorisation évidente ou une identité remarquable !
On calcule alors le discriminant \(\Delta\). $$\Delta = (-6)^2-4\times 2 \times (-8)=36+64=100>0$$ L’équation possède donc deux solutions : $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-6)-\sqrt{100}}{2\times 2}=\dfrac{6-10}{4}=-1$$ et $$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-6)+\sqrt{100}}{2\times 2}=\dfrac{6+10}{4}=4$$
Cliquer ici pour s’entraîner : Résoudre une équation du second degré

Forme factorisée

On suppose que le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet deux racines \(x_1\) et \(x_2\) (éventuellement les mêmes). Alors, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ Cette écriture est la forme factorisée du polynôme \(ax^2+bx+c\)

C’est la conséquence directe du point précédent.
Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto -4x^2+12x-8\), définie sur \(\mathbb{R}\). Calculons le discriminant \( \Delta\) du polynôme \(-4x^2+12x-8\) $$\Delta=12^2-4\times(-4)\times (-8)=144-128=16>0$$ Le polynôme \(-4x^2+12x-8\) possède donc deux racines distinctes $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12-\sqrt{16}}{2\times (-4)}=\dfrac{-12-4}{-8}=2$$ et $$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12+\sqrt{16}}{2\times (-4)}=\dfrac{-12+4}{-8}=1$$ Ainsi, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) $$f(x)=-4x^2+12x-8=-4(x-1)(x-2)$$

Les plus observateurs pourront remarquer d’entrée que \(f(1)=f(2)=0\) et en déduire directement la factorisation du polynôme \(-4x^2+12x-8\).

Signe d’un trinôme du second degré

On considère la fonction \(f:x\mapsto ax^2+bx+c\) définie sur \(\mathbb{R}\).
  • Si le polynôme \(ax^2+bx+c\) n’admet aucune racine réelle, alors pour tout réel \(x\), \(f(x)\) est du signe de \(a\).
  • Si le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet une racine réelle double, alors \(f\) s’annule uniquement en \(-\dfrac{b}{2a}\) et, pour tout réel \(x\neq-\dfrac{b}{2a}\), \(f(x)\) est du signe de \(a\).
  • Si le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet deux racines réelles distinctes \(x_1\) et \(x_2\) telles que \(x_1 < x_2\), alors le tableau de signes de \(f\) est le suivant.

Rendered by QuickLaTeX.com

Exemple : On reprend la fonction \(f:x\mapsto -4x^2+12x-8\). On a vu dans le dernier exemple que, pour tout réel \(x\), on avait $$-4x^2+12x-8=-4(x-1)(x-2)$$ On en déduit le tableau de signes de \(f\), le coefficient -4 étant strictement négatif.

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Cliquer ici pour s’entraîner : signe d’un trinôme

Relations coefficients-racines

Soit \(ax^2+bx+c\) un polynôme du second degré. On admet que ce polynôme admet deux racines distinctes \(x_1\) et \(x_2\). Alors : $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\quad\text{ et } x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$

On rappelle l’expression des racines \(x_1\) et \(x_2\) du polynôme \(ax^2+bx+c\) en fonction de ses coefficients. $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ On a ainsi $$x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$$ De plus, $$x_1x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \times \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2}=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$$

On pourrait également développer l’expression \(a(x-x_1)(x-x_2)\)

Exemple : On considère le polynôme \(6x^2+7x-13\).
On voit que 1 est une racine de ce polynôme : \(6\times 1^2+7\times 1 – 13=0\)
L’autre racine, \(x_2\) est telle que \(1 \times x_2 = \dfrac{-13}{6}\), d’où \(x_2=-\dfrac{13}{6}\)
>

Cette propriété sur la somme des racines peut également s’interpréter comme suit : si l’on connait les deux racines d’un polynôme, le sommet de la parabole représentative se trouve au milieu de ces deux racines.
Par exemple, sur la figure ci-contre, la fonction polynomiale du second degré dessiné s’annule en 2 et en 3. Le sommet de la parabole se trouve en 2.5

Rendered by QuickLaTeX.com

Cliquer ici pour s’entraîner : Somme et produit des racines

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.