Equations du second degré

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Racines d’un polynôme

On considère le polynôme du second degré $ax^2+bx+c$.
Un réel $x_0$ est une racine de ce polynôme si $ax_0^2+bx_0+c=0$.

Attention : le terme racine est réservé aux polynômes et, par extension, aux fonctions polynomiales. On ne dira pas par exemple que 1 est une racine de la fonction $x\mapsto \sqrt{x-1}$ puisque cette fonction n’est pas polynomiale.

Exemple : On considère la fonction $f:x\mapsto 3x^2-5x+2$ définie sur $\mathbb{R}$. On a $ f(1)=3\times 1^2-5\times 1 + 2 = 0$. 1 est donc une racine du polynôme $3x^2-5x+2$

On considère le polynôme du second degré $ax^2+bx+c$.
Le discriminant de ce polynôme, en général noté $ \Delta$ (Delta), est le réel $$ \Delta = b^2-4ac $$

Exemple : Le déterminant du polynôme $3x^2-4x-5$ vaut $ (-4)^2-4\times 3 \times (-5) =76$

On considère $\Delta$, le discriminant du polynôme $ax^2+bx+c$.

Si $\Delta < 0$, le polynôme $ax^2+bx+c$ n’admet pas de racine réelle.
Si $\Delta=0$, le polynôme $ax^2+bx+c$ admet une racine dite double, qui vaut $x_0=-\frac{b}{2a}$.
Si $\Delta > 0$, le polynôme $ax^2+bx+c$ admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ : $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad \text{et} \qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

On rappelle que le polynôme $ax^2+bx+c$ s’écrit sous forme canonique $$ax^2+bx+c=a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}$$ ce que l’on réécrit, en factorisant par $a$ et en remplaçant $b^2-4ac$ par $\Delta$ : $$ax^2+bx+c=a \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2}\right)$$

Si $\Delta <0$, alors $-\frac{\Delta}{4a^2}>0$. On a donc, dans la parenthèse, la somme de deux termes positifs, dont un l’est strictement. Ainsi, pour tout réel $x$ $$ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$$ et donc, $a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$ est du signe de $a$. Celui-ci étant non nul, le polynôme $ax^2+bx+c$ ne s’annule donc jamais, peu importe la valeur de $x$
Si $\Delta =0$, alors $ax^2+bx+c=a \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$, qui vaut 0 si et seulement si $x=-\dfrac{b}{2a}$.
Si $\Delta>0$, on peut calculer la racine carrée de $\Delta$. On a donc $$ax^2+bx+c=a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)=a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right)$$ On reconnait une identité remarquable du type $x^2-y^2$ que l’on s’empresse de factoriser. $$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$ Que l’on simplifie $$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$ Ce polynôme s’annule donc en deux valeurs distinctes : $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Exemple : On souhaite résoudre l’équation $2x^2-6x-8=0$.
Avant tout, on vérifie que l’on n’a pas affaire à une factorisation évidente ou une identité remarquable !
On calcule alors le discriminant $\Delta$. $$\Delta = (-6)^2-4\times 2 \times (-8)=36+64=100>0$$ L’équation possède donc deux solutions : $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-6)-\sqrt{100}}{2\times 2}=\dfrac{6-10}{4}=-1$$ et $$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-6)+\sqrt{100}}{2\times 2}=\dfrac{6+10}{4}=4$$

Cliquer ici pour s’entraîner : Résoudre une équation du second degré

Forme factorisée

On suppose que le polynôme $ax^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement les mêmes). Alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ Cette écriture est la forme factorisée du polynôme $ax^2+bx+c$

C’est la conséquence directe du point précédent.

Exemple : On considère la fonction $f:x\mapsto -4x^2+12x-8$, définie sur $\mathbb{R}$. Calculons le discriminant $ \Delta$ du polynôme $-4x^2+12x-8$ $$\Delta=12^2-4\times(-4)\times (-8)=144-128=16>0$$ Le polynôme $-4x^2+12x-8$ possède donc deux racines distinctes $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12-\sqrt{16}}{2\times (-4)}=\dfrac{-12-4}{-8}=2$$ et $$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12+\sqrt{16}}{2\times (-4)}=\dfrac{-12+4}{-8}=1$$ Ainsi, pour tout $x\in\mathbb{R}$ $$f(x)=-4x^2+12x-8=-4(x-1)(x-2)$$

Les plus observateurs pourront remarquer d’entrée que $f(1)=f(2)=0$ et en déduire directement la factorisation du polynôme $-4x^2+12x-8$.

Signe d’un trinôme du second degré

On considère la fonction $f:x\mapsto ax^2+bx+c$ définie sur $\mathbb{R}$.

Si le polynôme $ax^2+bx+c$ n’admet aucune racine réelle, alors pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $a$.
Si le polynôme $ax^2+bx+c$ admet une racine réelle double, alors $f$ s’annule uniquement en $-\dfrac{b}{2a}$ et, pour tout réel $x\neq-\dfrac{b}{2a}$, $f(x)$ est du signe de $a$.
Si le polynôme $ax^2+bx+c$ admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ telles que $x_1 < x_2$, alors le tableau de signes de $f$ est le suivant.

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Exemple : On reprend la fonction $f:x\mapsto -4x^2+12x-8$. On a vu dans le dernier exemple que, pour tout réel $x$, on avait $$-4x^2+12x-8=-4(x-1)(x-2)$$ On en déduit le tableau de signes de $f$, le coefficient -4 étant strictement négatif.

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Cliquer ici pour s’entraîner : signe d’un trinôme

Relations coefficients-racines

Soit $ax^2+bx+c$ un polynôme du second degré. On admet que ce polynôme admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$. Alors : $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\quad\text{ et } x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$

On rappelle l’expression des racines $x_1$ et $x_2$ du polynôme $ax^2+bx+c$ en fonction de ses coefficients. $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ On a ainsi $$x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$$ De plus, $$x_1x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \times \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2}=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$$

On pourrait également développer l’expression $a(x-x_1)(x-x_2)$

Exemple : On considère le polynôme $6x^2+7x-13$.
On voit que 1 est une racine de ce polynôme : $6\times 1^2+7\times 1 – 13=0$
L’autre racine, $x_2$ est telle que $1 \times x_2 = \dfrac{-13}{6}$, d’où $x_2=-\dfrac{13}{6}$

Cette propriété sur la somme des racines peut également s’interpréter comme suit : si l’on connait les deux racines d’un polynôme, le sommet de la parabole représentative se trouve au milieu de ces deux racines.
Par exemple, sur la figure ci-contre, la fonction polynomiale du second degré dessiné s’annule en 2 et en 3. Le sommet de la parabole se trouve en 2.5

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