• Soit \(x\) un réel. On a \(6x^2+9x=x(6x+9)\), qui vaut 0 si et seulement si \(x=0\) ou si \(6x+9=0\), c’est-à-dire \(x=-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{3}{2}\)
  \[S=\left\{-\dfrac{3}{2};0\right\}\]
• Soit \(x\) un réel.
  \[2(x+1)(3x+2)+(x+1)^2=(x+1)(2(3x+2)+(x+1))=(x+1)(7x+5)\]
  Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(x+1=0\) (c’est-à-dire \(x=-1\)) ou \(7x+5=0\) (c’est-à-dire \(x=-\dfrac{5}{7}\))
  \[S=\left\{-1,-\dfrac{5}{7}\right\}\]
• Soit \(x\) un réel.
  \[(4x-5)^2-(3x+7)(4x-5)=(4x-5)(4x-5-(3x+7))=(4x-5)(x-12)\]
  Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(4x-5=0\) (c’est-à-dire \(x=\dfrac{5}{4}\)) ou \(x-12=0\) (c’est-à-dire \(x=12\))
  \[S=\left\{\dfrac{5}{4};12\right\}\]
• Soit \(x\) un réel. \((2x+3)^2=(3x-2)^2\) si et seulement si \((2x+3)^2-(3x-2)^2=0\). Or, \[(2x+3)^2-(3x-2)^2=(2x+3+3x-2)(2x+3-3x+2)=(5x+1)(-x+5)\]
  Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(5x+1=0\) (c’est-à-dire \(x=-\dfrac{1}{5}\)) ou \(-x+5=0\) (c’est-à-dire \(x=5\))
  \[S=\left\{-\dfrac{1}{5};5\right\}\]

• Le discriminant du polynôme \(x^2+3x+2\) vaut \(3^2-4\times 1 \times 2 = 1\), qui est strictement positif. L’équation \(x^2+3x+2=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times 1}=-2 \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times 1}=-1\]
  \(S=\{-2;-1\}\)
• Le discriminant du polynôme \(2x^2-4x+1=0\) vaut \((-4)^2-4\times 2 \times 1 = 8\), qui est strictement positif. L’équation \(2x^2-4x+1=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt{8}}{2\times 2}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt{8}}{2\times 2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\]
  \(S=\left\{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2};1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}\)
• Le discriminant du polynôme \(3x^2+5x+7\) vaut \(5^2-4\times 3 \times 7 = -59\), qui est strictement négatif. L’équation \(3x^2+5x+7=0\) n’admet aucune solution réelle.
  \(S=\varnothing\)
• On peut remarquer que pour tout réel \(x\), \(4x^2+12x+9=(2x+3)^2\). Sinon, on résout avec le discriminant.Le discriminant du polynôme \(4x^2+12x+9\) vaut \(12^2-4\times 4 \times 9 = 0\), L’équation \(4x^2+12x+9=0\) admet une unique solution. \(S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\)
• Le discriminant du polynôme \(-5x^2-10x-3\) vaut \((-10)^2-4\times (-3) \times (-5) = 40\), qui est strictement positif. L’équation \(-5x^2-10x-3=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-(-10)-\sqrt{40}}{2\times (-5)}=-1+\dfrac{\sqrt{10}}{5} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-10)+\sqrt{40}}{2\times 5}=-1-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\]
  \(S=\left\{-1-\dfrac{\sqrt{10}}{5};-1+\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right\}\)
• Le discriminant du polynôme \(-2x^2+5x+7\) vaut \(5^2-4\times (-2) \times 7 = 81\), qui est strictement positif. L’équation \(-2x^2+5x+7=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-5-\sqrt{81}}{2\times (-2)}=-\dfrac{7}{2} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-5+\sqrt{81}}{2\times (-2)}=-1\]
  \(S=\left\{-\dfrac{7}{2};-1\right\}\)
• Le discriminant du polynôme \(x^2-\sqrt{2}x-3\) vaut \((-\sqrt{2})^2-4\times 1 \times (-3) = 14\), qui est strictement positif. L’équation \(x^2-\sqrt{2}x-3=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-(-\sqrt{2})-\sqrt{14}}{2}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-\sqrt{2})+\sqrt{14}}{2}\]
  \(S=\left\{\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2};\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}\right\}\)

• Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(4x^2+3x-1\) est \(\Delta = 3^2-4\times4\times(-1)=25\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont
  \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times 4}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times 4}=\dfrac{1}{4}\]
  Ces deux racines font partie du domaine de résolution.
  \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{4}\right\}\).
• Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \{-3;3\}\).Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(x^2-5x+6\) est \(\Delta = (-5)^2-4\times1\times 6=1\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont
  \[x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1}=2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1}=3\]
  Or, 3 ne fait pas partie du domaine de résolution.
  \(S=\left\{2\right\}\)
• Pour déterminer le domaine de résolution, on cherche les racines du polynôme au dénominateur. Le discriminant du polynôme \(x^2+3x-4\) est \(3^2-4\times 1\times (-4)=25\) qui est strictement positif. Le polynôme \(x^2+3x-4\) admet deux racines
  \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times 1}=-4\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times 1}=1\]
  Le domaine de résolution est donc \(\mathbb{R}\setminus \{-4;1\}\).Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(-8x^2+6x+2\) est \(\Delta = 6^2-4\times (-8)\times 2=100\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont
  \[x_1=\dfrac{-6-\sqrt{100}}{2\times (-8)}=1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2\times (-8)}=-\dfrac{1}{4}\]
  Or, \(1\) ne fait pas partie du domaine de résolution.
  \(S=\left\{-\dfrac{1}{4}\right\}\)
• Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2};1\right\}\).
  Pour tout réel \(x\in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2};1\right\}\)\[\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{4x}{2x-1} = \dfrac{3(2x-1)+4x(x-1)}{(x-1)(2x-1)}=\dfrac{6x-3+4x^2-4x}{(x-1)(2x-1)}=\dfrac{4x^2+2x-3}{(x-1)(2x-1)}\]

  Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(4x^2+2x-3\) est \(\Delta = 2^2- 4\times 4\times(-3)=52\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont
  \[x_1=\dfrac{-2-\sqrt{52}}{2\times 4}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{13}}{4} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-2+\sqrt{52}}{2\times 4}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{13}}{4}\]
  (On remarque que \(\sqrt{52}=\sqrt{4\times 13}=\sqrt{4} \times \sqrt{13}=2\sqrt{13}\)).

  Ces racines font bien partie du domaine de résolution.
  \(S=\left\{-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{13}}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{13}}{4}\right\}\)

1. Si \(X=x^2\), alors \(X^2=x^4\). L’équation \((E)\) peut être réécrite sous la forme :
   \[ (E’)\quad:\quad 3X^2+5X-12=0 \]
2. Calculons le déterminant \(\Delta\) du polynôme \(3X^2+5X-12\). \(\Delta=5^2-4\times 3 \times (-12)=169\) qui est strictement positif. Le polynôme admet donc deux racines
   \[X_1=\dfrac{-5-\sqrt{169}}{2\times 3}=-3\quad \text{et}\quad X_2=\dfrac{-5+\sqrt{169}}{2\times 3}=\dfrac{4}{3}\]
   L’ensemble des solutions de \((E’)\) est \(S=\left\{-3;\dfrac{4}{3}\right\}\)
3. On sait que \(3X^2+5X-12=0\) si et seulement si \(X=-3\) ou \(X=\dfrac{4}{3}\). Or, on a posé \(X=x^2\). \(x\) est donc solution de l’équation \(3x^4+5x^2-12=0\) si et seulement si \(x^2=-3\) ou \(x^2=\dfrac{4}{3}\).Le premier cas est impossible, le deuxième admet deux solutions : \(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) et \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
   L’ensemble des solutions de l’équation \((E)\) est donc \(S=\left\{ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right\}\).

Posons \(X=\dfrac{1}{x-1}\). L’équation \((E)\) devient :
\[ (E’)\quad :\quad -9X^2+6X+3 = 0\]
Résolvons cette équation. Le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(-9X^2+6X+3\) vaut \(\Delta=6^2-4\times 3 \times (-9)=144\) qui est strictement positif. Il y a donc deux racines à ce polynôme :
\[X_1=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{2\times (-9)}=1\quad \text{et}\quad X_2=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{2\times (-9)}=-\dfrac{1}{3}\]
Ainsi, \(-9X^2+6X+3 = 0\) si et seulement si \(X=1\) ou \(X=-\dfrac{1}{3}\).

En revenant à l’équation de départ, cela signifie que \(-\dfrac{9}{(x-1)^2}+\dfrac{6}{x-1}+3 = 0\) si et seulement si

• \(\dfrac{1}{x-1}=1\), c’est-à-dire \(x-1=1\), soit \(x=2\)
• \(\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{3}\), c’est-à-dire \(x-1=-3\), soit \(x=-2\)

Les solutions de l’équation \((E)\) sont donc \(-2\) et \(2\).

1. Si \(a\) et \(c\) sont de signes distincts, cela signifie que \(ac<0\), et donc \(-4ac>0\). On a donc \(\Delta=b^2-4ac>0\) car c’est la somme de réels positifs dont l’un est strictement positif. On a donc deux solutions à l’équation \((E)\).
2. La réciproque est fausse : le polynôme \(x^2+3x+1\) possède deux racines (son discriminant vaut 8) mais tous ses coefficients sont positifs.

• Courbe 1: La fonction est décroissante puis croissante : \(a>0\)
  La courbe coupe deux fois l’axe des abscisses : \(\Delta >0\)
• Courbe 2: La fonction est décroissante puis croissante : \(a>0\)
  La courbe ne coupe pas l’axe des abscisses : \(\Delta <0\)
• Courbe 3: La fonction est croissante puis décroissante : \(a<0\)
  La courbe coupe une unique fois l’axe des abscisses : \(\Delta =0\)

1. La fonction \(g\) est une fonction affine, sa courbe représentative est donc la droite. L’autre courbe est celle de la fonction \(f\).
2. La courbe de \(f\) coupe l’axe des abscisses en \(x=-1\) et \(x=2\).On veut résoudre \(f(x)=x^2-x-2=0\). Le discriminant du polynôme \(x^2-x-2\) vaut \((-1)^2-4\times 1 \times (-2)=9\). L’équation possède donc deux solutions :
   \[x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\times 1}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times 1}=2\]
3. L’équation \(f(x)=-3\) semble ne pas avoir de solutions sur \(\mathbb{R}\). Retrouvons ce résultat par le calcul : on veut résoudre \(f(x)=x^2-x-2=-3\), c’est-à-dire \(x^2-x+1=0\). Le discriminant du polynôme \(x^2-x+1\) vaut -3, qui est strictement négatif. Cette équation ne possède donc pas de solution sur \(\mathbb{R}\)
4. Les courbes de \(f\) et \(g\) se coupent en \(x=-1\) et \(x=4\)
5. On souhaite résoudre l’équation \(f(x)=g(x)\), c’est-à-dire \(x^2-x-2=2x+2\), soit \(x^2-3x-4=0\).Le discriminant de \(x^2-3x-4\) vaut \(\Delta = (-3)^2-4\times 1 \times (-4)=25\). L’équation admet donc deux solutions
   \[x_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\times 1}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\times 1}=4\]

Calculons le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(3x^2+8x+4\). \(\Delta=8^2-4\times 4 \times 3 = 16\) qui est strictement positif. Ce polynôme admet donc deux racines :
\[x_1=\dfrac{-8-\sqrt{16}}{2\times 3}=-2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-8+\sqrt{16}}{2\times 3}=-\dfrac{2}{3}\]

Pour tout réel \(x\), \(3x^2+8x+4=3(x+2)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)\)

1. \(f(2)=8\times 2^3-14\times 2^2-7\times 2 + 6=64-56-14+6=0\)
2. Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels.Pour tout réel \(x\), \[(x-2)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\]
   On identifie les coefficients de ce polynôme avec ceux du polynôme \(8x^3-14x^2-7x+6\). On obtient ainsi :
   • \(a=8\)
   • \(b-2a=-14\), c’est-à-dire \(b=2\)
   • \(c-2b=-7\), c’est-à-dire \(c=-3\)
   • On vérifie bien que \(-2c=-6\)

   Réciproquement, on vérifie en développant qu’on a bien \((x-2)(8x^2+2x-3) =8x^3-14x^2-7x+6 \)

   Pour tout réel \(x\), on a donc \(f(x)=(x-2)(8x^2+2x-3)\)

3. Soit \(x\) un réel. \(f(x)=0\) si et seulement si \((x-2)(8x^2+2x-3)=0\), si et seulement si \(x-2=0\) ou \(8x^2+2x-3=0\). Le premier cas nous donne \(x=2\) pour solution. Cherchons donc les racines du poynôme \(8x^2+2x-3\). Son discriminant vaut \(2^2 – 4 \times 8 \times (-3) = 100\) qui est strictement positif. Ce polynôme admet donc deux racines qui sont\[x_1=\dfrac{-2-\sqrt{100}}{2\times 8}=-\dfrac{3}{4}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-2+\sqrt{100}}{2\times 8}=\dfrac{1}{2}\]

   Les solutions de l’équation \(f(x)=0\) sont donc \(2\), \(-\frac{3}{4}\) et \(\dfrac{1}{2}\)

• La fonction s’annule en \(1\) et en \(3\). Son expression est donc de la forme \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(f(2)=-1\) et donc \(a(2-1)(2-3)=-1\) soit \(a=1\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-1)(x-3)\)
• La fonction s’annule en \(-2\) et en \(2\). Son expression est donc de la forme \(g(x)=a(x-2)(x+2)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(f(0)=-2\) et donc \(a(0-2)(0+2)=-2\) soit \(-4a=-2\) et donc \(a=\dfrac{1}{2}\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(g(x)=\dfrac{1}{2}(x-2)(x+2)\)
• La fonction s’annule en \(-1\) et en \(3\). Son expression est donc de la forme \(h(x)=a(x+1)(x-3)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(h(0)=3\) et donc \(a(0-1)(0+3)=3\) soit \(-3a=3\) et donc \(a=-1\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(h(x)=-(x+1)(x-3)\)

• Le discriminant du polynôme \(x^2-5x+6\) vaut \(5^2-4 \times 6 \times 1 = 1\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont
  \[x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1}=2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1}=3\]
  Construisons le tableau de signes de \(x^2-5x+6\). Son coefficient dominant vaut 1 qui est positif.

  

  Ainsi, les solutions de \(x^2-5x+6>0\) sont \(S=\mathopen]-\infty;2\mathclose[ \cup \mathopen]3;+\infty \mathclose[\).

• Le discriminant du polynôme \(2x^2+3x-5\) vaut \(3^2-4 \times 2 \times (-5) = 49\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont
  \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2\times 2}=-\dfrac{5}{2}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2\times 2}=1\]
  Construisons le tableau de signes de \(2x^2+3x-5\). Son coefficient dominant vaut 2 qui est positif.

  

  Ainsi, les solutions de \(2x^2+3x-5 \leqslant 0\) sont \(S=\left[-\dfrac{5}{2}\,;\,1\right]\).

• Le discriminant du polynôme \(-5x^2+6x-1\) vaut \(6^2-4 \times (-5) \times (-1) = 16\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont
  \[x_1=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{2\times (-5)}=1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{2\times (-5)}=\dfrac{1}{5}\]
  Construisons le tableau de signes de \(-5x^2+6x-1\). Son coefficient dominant vaut -5 qui est négatif.

  

  Ainsi, les solutions de \(-5x^2+6x-1\geqslant 0\) sont \(S=\left[\dfrac{1}{5}\, ; \, 1 \right]\).

• Le discriminant du polynôme \(-8x^2+7x-4\) vaut \(7^2-4 \times (-8) \times (-4) = -15\). Ce polynôme n’admet donc aucune racine réelle. Son coefficient dominant vaut \(-8\) qui est négatif.

  

  Ainsi, il n’y a aucune solution à l’équation \(-8x^2+7x-4 > 0\). \(S=\varnothing\).

• \(\sqrt{ 2x^2+7x+3}\) n’est définie que si \(2x^2+7x+3 \geqslant 0\). Le discriminant du polynôme \(2x^2+7x+3\) vaut \(7^2-4 \times 2 \times 3 = 25\). Les racines de ce polynôme sont donc\[x_1=\dfrac{-7-\sqrt{25}}{2\times 2}=-3\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-7+\sqrt{25}}{2\times 2}=-\dfrac{1}{2}\]

  Construisons alors le tableau de signes de \(2x^2+7x+3\). Son coefficient dominant vaut 2, qui est positif.

  

  Ainsi, le domaine de définition de \(f\) est \(\mathopen]-\infty \, ; \, -3\mathclose] \cup \left[-\dfrac{1}{2} \, ; \, +\infty \right[\).

• \(\dfrac{3x+7}{\sqrt{-2x^2-9x+11}}\) n’est définie que si \(-2x^2-9x+11 > 0\) (cette quantité est au dénominateur, il ne faut pas qu’elle vaille 0). Le discriminant du polynôme \(-2x^2-9x+11\) vaut \((-9)^2-4 \times (-2)\times 11 = 169\). Les racines de ce polynôme sont donc\[x_1=\dfrac{-(-9)-\sqrt{169}}{2\times (-2)}=1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-9)+\sqrt{169}}{2\times (-2)}=-\dfrac{11}{2}\]

  Construisons alors le tableau de signes de \(-2x^2-9x+11\). Son coefficient dominant vaut \(-2\), qui est négatif.

  

  Ainsi, le domaine de définition de \(g\) est \(\left]-\dfrac{11}{2} \, ; \, 1 \right[\)

Le discriminant du polynôme \(2x^2+mx+m+\dfrac{5}{2}\) vaut \(m^2 – 4 \times 2 \times \left(m+\dfrac{5}{2}\right) = m^2 -8m -20\). Il faut donc étudier le signe de ce discriminant pour déterminer le nombre de solutions de l’équation \((E)\).

Il s’agit d’un nouveau polynôme du second degré, dont le discriminant vaut cette fois \((-8)^2-4\times 1 \times (-20)=144\). Les racines du polynôme \(m^2 -8m -20\) sont donc

\[m_1=\dfrac{-(-8)-\sqrt{144}}{2\times 1}=-2\quad \text{et}\quad m_2=\dfrac{-(-8)+\sqrt{144}}{2\times 1}=10\]

On peut alors construire le tableau de signes de \(m^2 -8m -20\). Son coefficient dominant vaut 1 qui est positif.

Ainsi

• Lorsque \(m\in\left]-\infty ; 2 \right[ \cup \left]10 ; +\infty \right[\), l’équation \((E)\) admet deux solutions.
• Lorsque \(m=-2\) ou \(m=10\), l’équation \((E)\) admet une unique solution.
• Lorsque \(m\in\left] 2 \, ; \, 10 \right[\), l’équation \((E)\) ne possède aucune solution

• 1 est une racine évidente de \(3x^2-5x+2\). Notons \(x_2\) la deuxième racine. On a alors \(1 \times x_2 = \dfrac{2}{3}\) et donc \(x_2=\dfrac{2}{3}\). Ainsi, \(S=\left\{\dfrac{2}{3},1\right\}\).
• 1 est une racine évidente de \(2x^2-8x+6\). Notons \(x_2\) la deuxième racine. On a alors \(1 \times x_2 = \dfrac{6}{2}=3\) et donc \(x_2=3\). Ainsi, \(S=\left\{1\; ;\; 3\right\}\).
• \(-1\) est une racine évidente de \(4x^2 +11x+ 7\). Notons \(x_2\) la deuxième racine. On a alors \(-1 \times x_2 = \dfrac{7}{4}\) et donc \(x_2=-\dfrac{7}{4}\). Ainsi, \(S=\left\{-\dfrac{7}{4}\; ;\; -1\right\}\).

Notons \(x_1\) et \(x_2\) ces réels. Ce sont les solutions de l’équation \(x^2-10x+13=0\). Le discriminant du polynôme \(x^2-10x+13\) vaut \((-10)^2-4\times 1 \times 13 = 48\). Les deux nombres recherchés sont donc

\[x_1=\dfrac{-(-10)-\sqrt{48}}{2\times 1}=5-2\sqrt{3}\quad \text{et}\quad \dfrac{-(-10)+\sqrt{48}}{2\times 1}=5+2\sqrt{3}\]

Notons \(x_1\) est \(x_2\) les éventuelles solutions de ce problème : ce sont les solutions de l’équation \(x^2-9x+27=0\). Or, le discriminant de \(x^2-9x+27\) vaut \(9^2-4\times 1 \times 27 = -27\), qui est strictement négatif. L’équation \(x^2-9x+27=0\) n’admet donc aucune solution réelle. Il n’existe pas de couples de réels dont la somme vaut 9 et le produit 27.

Notons \(x_1\) et \(x_2\) les dimensions de ce grillage, en m. On a \(x_1x_2=32\) et \(2(x_1+x_2)=36\) soit \(x_1+x_2=18\). \(x_1\) et \(x_2\) sont donc les solutions de l’équation \(x^2-18x+32=0\).

Le discriminant du polynôme \(x^2-18x+32\) vaut \(18^2-4 \times 1 \times 32 = 196\). Ainsi,

\[x_1=\dfrac{-(-18)-\sqrt{196}}{2\times 1}=2\quad \text{et}\quad \dfrac{-(-18)+\sqrt{196}}{2\times 1}=16\]

Les dimensions du jardinet sont de 2m par 16m.