Équations du second degré : exercices corrigés

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Résolution d’équations

Sans discriminant

Résoudre les équations suivantes, d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\), sans développer ou utiliser le discriminant.

  • \(6x^2+9x=0\)
  • \(2(x+1)(3x+2)+(x+1)^2=0\)
  • \((4x-5)^2-(3x+7)(4x-5)=0\)
  • \((2x+3)^2=(3x-2)^2\)
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  • Soit \(x\) un réel. On a \(6x^2+9x=x(6x+9)\), qui vaut 0 si et seulement si \(x=0\) ou si \(6x+9=0\), c’est-à-dire \(x=-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{3}{2}\)
    \[S=\left\{-\dfrac{3}{2};0\right\}\]
  • Soit \(x\) un réel.
    \[2(x+1)(3x+2)+(x+1)^2=(x+1)(2(3x+2)+(x+1))=(x+1)(7x+5)\]
    Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(x+1=0\) (c’est-à-dire \(x=-1\)) ou \(7x+5=0\) (c’est-à-dire \(x=-\dfrac{5}{7}\))
    \[S=\left\{-1,-\dfrac{5}{7}\right\}\]
  • Soit \(x\) un réel.
    \[(4x-5)^2-(3x+7)(4x-5)=(4x-5)(4x-5-(3x+7))=(4x-5)(x-12)\]
    Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(4x-5=0\) (c’est-à-dire \(x=\dfrac{5}{4}\)) ou \(x-12=0\) (c’est-à-dire \(x=12\))
    \[S=\left\{\dfrac{5}{4};12\right\}\]
  • Soit \(x\) un réel. \((2x+3)^2=(3x-2)^2\) si et seulement si \((2x+3)^2-(3x-2)^2=0\). Or, \[(2x+3)^2-(3x-2)^2=(2x+3+3x-2)(2x+3-3x+2)=(5x+1)(-x+5)\]
    Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(5x+1=0\) (c’est-à-dire \(x=-\dfrac{1}{5}\)) ou \(-x+5=0\) (c’est-à-dire \(x=5\))
    \[S=\left\{-\dfrac{1}{5};5\right\}\]

En utilisant le discriminant

Résoudre les équations suivantes, d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\)

  • \(x^2+3x+2=0\)
  • \(2x^2-4x+1=0\)
  • \(3x^2+5x+7=0\)
  • \(4x^2+12x+9=0\)
  • \(-5x^2-10x-3=0\)
  • \(-2x^2-5x+7=0\)
  • \(x^2-\sqrt{2}x-3=0\)
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  • Le discriminant du polynôme \(x^2+3x+2\) vaut \(3^2-4\times 1 \times 2 = 1\), qui est strictement positif. L’équation \(x^2+3x+2=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
    \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times 1}=-2 \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times 1}=-1\]
    \(S=\{-2;-1\}\)
  • Le discriminant du polynôme \(2x^2-4x+1=0\) vaut \((-4)^2-4\times 2 \times 1 = 8\), qui est strictement positif. L’équation \(2x^2-4x+1=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
    \[x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt{8}}{2\times 2}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt{8}}{2\times 2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\]
    \(S=\left\{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2};1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}\)
  • Le discriminant du polynôme \(3x^2+5x+7\) vaut \(5^2-4\times 3 \times 7 = -59\), qui est strictement négatif. L’équation \(3x^2+5x+7=0\) n’admet aucune solution réelle.
    \(S=\varnothing\)
  • On peut remarquer que pour tout réel \(x\), \(4x^2+12x+9=(2x+3)^2\). Sinon, on résout avec le discriminant.Le discriminant du polynôme \(4x^2+12x+9\) vaut \(12^2-4\times 4 \times 9 = 0\), L’équation \(4x^2+12x+9=0\) admet une unique solution. \(S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\)
  • Le discriminant du polynôme \(-5x^2-10x-3\) vaut \((-10)^2-4\times (-3) \times (-5) = 40\), qui est strictement positif. L’équation \(-5x^2-10x-3=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
    \[x_1=\dfrac{-(-10)-\sqrt{40}}{2\times (-5)}=-1+\dfrac{\sqrt{10}}{5} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-10)+\sqrt{40}}{2\times 5}=-1-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\]
    \(S=\left\{-1-\dfrac{\sqrt{10}}{5};-1+\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right\}\)
  • Le discriminant du polynôme \(-2x^2+5x+7\) vaut \(5^2-4\times (-2) \times 7 = 81\), qui est strictement positif. L’équation \(-2x^2+5x+7=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
    \[x_1=\dfrac{-5-\sqrt{81}}{2\times (-2)}=-\dfrac{7}{2} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-5+\sqrt{81}}{2\times (-2)}=-1\]
    \(S=\left\{-\dfrac{7}{2};-1\right\}\)
  • Le discriminant du polynôme \(x^2-\sqrt{2}x-3\) vaut \((-\sqrt{2})^2-4\times 1 \times (-3) = 14\), qui est strictement positif. L’équation \(x^2-\sqrt{2}x-3=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
    \[x_1=\dfrac{-(-\sqrt{2})-\sqrt{14}}{2}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-\sqrt{2})+\sqrt{14}}{2}\]
    \(S=\left\{\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2};\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}\right\}\)

Avec des quotients

Donner les domaines de résolution puis résoudre les équations suivantes, d’inconnue \(x\in \mathbb{R}\)

  • \(\dfrac{4x^2+3x-1}{x+2}=0\)
  • \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-9}=0\)
  • \(\dfrac{-8x^2+6x+2}{x^2+3x-4}=0\)
  • \(\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{4x}{2x-1}=0\)
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  • Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(4x^2+3x-1\) est \(\Delta = 3^2-4\times4\times(-1)=25\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont
    \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times 4}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times 4}=\dfrac{1}{4}\]
    Ces deux racines font partie du domaine de résolution.
    \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{4}\right\}\).
  • Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \{-3;3\}\).Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(x^2-5x+6\) est \(\Delta = (-5)^2-4\times1\times 6=1\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont
    \[x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1}=2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1}=3\]
    Or, 3 ne fait pas partie du domaine de résolution.
    \(S=\left\{2\right\}\)
  • Pour déterminer le domaine de résolution, on cherche les racines du polynôme au dénominateur. Le discriminant du polynôme \(x^2+3x-4\) est \(3^2-4\times 1\times (-4)=25\) qui est strictement positif. Le polynôme \(x^2+3x-4\) admet deux racines
    \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times 1}=-4\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times 1}=1\]
    Le domaine de résolution est donc \(\mathbb{R}\setminus \{-4;1\}\).Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(-8x^2+6x+2\) est \(\Delta = 6^2-4\times (-8)\times 2=100\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont
    \[x_1=\dfrac{-6-\sqrt{100}}{2\times 8}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2\times 8}=\dfrac{1}{4}\]
    Or, \(-1\) ne fait pas partie du domaine de résolution.
    \(S=\left\{\dfrac{1}{4}\right\}\)
  • Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2};1\right\}\).
    Pour tout réel \(x\in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2};1\right\}\)\[\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{4x}{2x-1} = \dfrac{3(2x-1)+4x(x-1)}{(x-1)(2x-1)}=\dfrac{6x-3+4x^2-4x}{(x-1)(2x-1)}=\dfrac{4x^2+2x-3}{(x-1)(2x-1)}\]

    Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(4x^2+2x-3\) est \(\Delta = 2^2- 4\times 4\times(-3)=52\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont
    \[x_1=\dfrac{-2-\sqrt{52}}{2\times 4}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{13}}{4} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-2+\sqrt{52}}{2\times 4}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{13}}{4}\]
    (On remarque que \(\sqrt{52}=\sqrt{4\times 13}=\sqrt{4} \times \sqrt{13}=2\sqrt{13}\)).

    Ces racines font bien partie du domaine de résolution.
    \(S=\left\{-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{13}}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{13}}{4}\right\}\)

Changement de variable (1)

On considère l’équation \((E)\), d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\) suivante
\[ (E)\quad:\quad 3x^4+5x^2-12 =0\]

  1. Pour \(x\) un réel, on pose \(X=x^2\). Réécrire l’équation \((E)\) sous la forme d’une nouvelle équation \((E’)\), d’inconnue \(X\).
  2. Résoudre l’équation \((E’)\).
  3. En déduire les solutions de l’équation \((E)\) sur \(\mathbb{R}\).
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  1. Si \(X=x^2\), alors \(X^2=x^4\). L’équation \((E)\) peut être réécrite sous la forme :
    \[ (E’)\quad:\quad 3X^2+5X-12=0 \]
  2. Calculons le déterminant \(\Delta\) du polynôme \(3X^2+5X-12\). \(\Delta=5^2-4\times 3 \times (-12)=169\) qui est strictement positif. Le polynôme admet donc deux racines
    \[X_1=\dfrac{-5-\sqrt{169}}{2\times 3}=-3\quad \text{et}\quad X_2=\dfrac{-5+\sqrt{169}}{2\times 3}=\dfrac{4}{3}\]
    L’ensemble des solutions de \((E’)\) est \(S=\left\{-3;\dfrac{4}{3}\right\}\)
  3. On sait que \(3X^2+5X-12=0\) si et seulement si \(X=-3\) ou \(X=\dfrac{4}{3}\). Or, on a posé \(X=x^2\). \(x\) est donc solution de l’équation \(3x^4+5x^2-12=0\) si et seulement si \(x^2=-3\) ou \(x^2=\dfrac{4}{3}\).Le premier cas est impossible, le deuxième admet deux solutions : \(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) et \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
    L’ensemble des solutions de l’équation \((E)\) est donc \(S=\left\{ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right\}\).

Changement de variable (2)

Résoudre l’équation \((E)\), d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\setminus \{1\}\) :
\[ (E)\quad :\quad -\dfrac{9}{(x-1)^2}+\dfrac{6}{x-1}+3 = 0\]
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Posons \(X=\dfrac{1}{x-1}\). L’équation \((E)\) devient :
\[ (E’)\quad :\quad -9X^2+6X+3 = 0\]
Résolvons cette équation. Le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(-9X^2+6X+3\) vaut \(\Delta=6^2-4\times 3 \times (-9)=144\) qui est strictement positif. Il y a donc deux racines à ce polynôme :
\[X_1=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{2\times (-9)}=1\quad \text{et}\quad X_2=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{2\times (-9)}=-\dfrac{1}{3}\]
Ainsi, \(-9X^2+6X+3 = 0\) si et seulement si \(X=1\) ou \(X=-\dfrac{1}{3}\).

En revenant à l’équation de départ, cela signifie que \(-\dfrac{9}{(x-1)^2}+\dfrac{6}{x-1}+3 = 0\) si et seulement si

  • \(\dfrac{1}{x-1}=1\), c’est-à-dire \(x-1=1\), soit \(x=2\)
  • \(\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{3}\), c’est-à-dire \(x-1=-3\), soit \(x=-2\)

Les solutions de l’équation \((E)\) sont donc \(-2\) et \(2\).

On considère 3 réels \(a\), \(b\) et \(c\), avec \(a\) et \(c\) non nuls. On s’intéresse à l’équation d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\) suivante :
\[(E)\quad:\quad ax^2+bx+c=0\]

  1. Montrer que si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, alors l’équation \((E)\) admet deux solutions distinctes.
  2. La réciproque est-elle vraie ?
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  1. Si \(a\) et \(c\) sont de signes distincts, cela signifie que \(ac<0\), et donc \(-4ac>0\). On a donc \(\Delta=b^2-4ac>0\) car c’est la somme de réels positifs dont l’un est strictement positif. On a donc deux solutions à l’équation \((E)\).
  2. La réciproque est fausse : le polynôme \(x^2+3x+1\) possède deux racines (son discriminant vaut 8) mais tous ses coefficients sont positifs.

Interpération graphique

Signe du discriminant

Les fonctions, dont les courbes sont tracées ci-dessous dans un repère orthonormé, sont toutes des fonctions polynomiales du second degré. Dans chacun des cas, déterminer graphiquement le signe du coefficient \(a\) de \(x^2\), ainsi que le signe du discriminant du polynôme.

Fonction 1

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Fonction 2

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Fonction 3

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  • Courbe 1: La fonction est décroissante puis croissante : \(a>0\)
    La courbe coupe deux fois l’axe des abscisses : \(\Delta >0\)
  • Courbe 2: La fonction est décroissante puis croissante : \(a>0\)
    La courbe ne coupe pas l’axe des abscisses : \(\Delta <0\)
  • Courbe 3: La fonction est croissante puis décroissante : \(a<0\)
    La courbe coupe une unique fois l’axe des abscisses : \(\Delta =0\)

Intersection de courbes

On considère les fonctions \(f:x\mapsto x^2-x-2\) et \(g:x\mapsto 2x+2\), toutes deux définies sur \(\mathbb{R}\). Les courbes des fonctions \(f\) et \(g\) sont données ci-dessous, tracée sdans un repère orthonormé.

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  1. Quelle est la courbe de la fonction \(f\) ? Celle de la fonction \(g\) ?
  2. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l’équation \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\).
  3. L’équation \(f(x)=-3\) semble-t-elle avoir des solutions sur \(\mathbb{R}\) ? Retrouver ce résultat par le calcul.
  4. Dans ce même repère, tracer la courbe représentative de la fonction \(g\).
  5. Résoudre graphiquement \(f(x)=g(x)\) sur \(\mathbb{R}\)
  6. Retrouver ces résultats par le calcul.
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  1. La fonction \(g\) est une fonction affine, sa courbe représentative est donc la droite. L’autre courbe est celle de la fonction \(f\).
  2. La courbe de \(f\) coupe l’axe des abscisses en \(x=-1\) et \(x=2\).On veut résoudre \(f(x)=x^2-x-2=0\). Le discriminant du polynôme \(x^2-x-2\) vaut \((-1)^2-4\times 1 \times (-2)=9\). L’équation possède donc deux solutions :
    \[x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\times 1}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times 1}=2\]
  3. L’équation \(f(x)=-3\) semble ne pas avoir de solutions sur \(\mathbb{R}\). Retrouvons ce résultat par le calcul : on veut résoudre \(f(x)=x^2-x-2=-3\), c’est-à-dire \(x^2-x+1=0\). Le discriminant du polynôme \(x^2-x+1\) vaut -3, qui est strictement négatif. Cette équation ne possède donc pas de solution sur \(\mathbb{R}\)
  4. Les courbes de \(f\) et \(g\) se coupent en \(x=-1\) et \(x=4\)
  5. On souhaite résoudre l’équation \(f(x)=g(x)\), c’est-à-dire \(x^2-x-2=2x+2\), soit \(x^2-3x-4=0\).Le discriminant de \(x^2-3x-4\) vaut \(\Delta = (-3)^2-4\times 1 \times (-4)=25\). L’équation admet donc deux solutions
    \[x_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\times 1}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\times 1}=4\]

Factorisation

Factoriser un polynôme

  1. Déterminer les racines du polynôme \(3x^2+8x+4\).
  2. En déduire la forme factorisée du polynôme \(3x^2+8x+4\).
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Calculons le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(3x^2+8x+4\). \(\Delta=8^2-4\times 4 \times 3 = 16\) qui est strictement positif. Ce polynôme admet donc deux racines :
\[x_1=\dfrac{-8-\sqrt{16}}{2\times 3}=-2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-8+\sqrt{16}}{2\times 3}=-\dfrac{2}{3}\]

Pour tout réel \(x\), \(3x^2+8x+4=3(x+2)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)\)

On considère la fonction \(f:x\mapsto 8x^3-14x^2-7x+6\), définie sur \(\mathbb{R}\)

  1. Montrer que \(f(2)=0\).
  2. On cherche trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on ait
    \[ f(x)=(x-2)(ax^2+bx+c) \]
    En développant cette expression, déterminer les valeurs des réels \(a\), \(b\) et \(c\).
  3. En déduire les solutions de l’équation \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\), puis une forme factorisée, pour tout réel \(x\), de \(f(x)\).
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  1. \(f(2)=8\times 2^3-14\times 2^2-7\times 2 + 6=64-56-14+6=0\)
  2. Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels.Pour tout réel \(x\), \[(x-2)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\]
    On identifie les coefficients de ce polynôme avec ceux du polynôme \(8x^3-14x^2-7x+6\). On obtient ainsi :

    • \(a=8\)
    • \(b-2a=-14\), c’est-à-dire \(b=2\)
    • \(c-2b=-7\), c’est-à-dire \(c=-3\)
    • On vérifie bien que \(-2c=-6\)

    Réciproquement, on vérifie en développant qu’on a bien \((x-2)(8x^2+2x-3) =8x^3-14x^2-7x+6 \)

    Pour tout réel \(x\), on a donc \(f(x)=(x-2)(8x^2+2x-3)\)

  3. Soit \(x\) un réel. \(f(x)=0\) si et seulement si \((x-2)(8x^2+2x-3)=0\), si et seulement si \(x-2=0\) ou \(8x^2+2x-3=0\). Le premier cas nous donne \(x=2\) pour solution. Cherchons donc les racines du poynôme \(8x^2+2x-3\). Son discriminant vaut \(2^2 – 4 \times 8 \times (-3) = 100\) qui est strictement positif. Ce polynôme admet donc deux racines qui sont\[x_1=\dfrac{-2-\sqrt{100}}{2\times 8}=-\dfrac{3}{4}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-2+\sqrt{100}}{2\times 8}=\dfrac{1}{2}\]

    Les solutions de l’équation \(f(x)=0\) sont donc \(2\), \(-\frac{3}{4}\) et \(\dfrac{1}{2}\)

Interprétation graphique

Les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynômes du second degré sont représentées ci-dessous. Dans chaque cas, déterminer une expression algébrique de la fonction, selon la variable réelle \(x\), sous forme factorisée.

Fonction \(f\)

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Fonction \(g\)

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Fonction \(h\)

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  • La fonction s’annule en \(1\) et en \(3\). Son expression est donc de la forme \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(f(2)=-1\) et donc \(a(2-1)(2-3)=-1\) soit \(a=1\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-1)(x-3)\)
  • La fonction s’annule en \(-2\) et en \(2\). Son expression est donc de la forme \(g(x)=a(x-2)(x+2)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(f(0)=-2\) et donc \(a(0-2)(0+2)=-2\) soit \(-4a=-2\) et donc \(a=\dfrac{1}{2}\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(g(x)=\dfrac{1}{2}(x-2)(x+2)\)
  • La fonction s’annule en \(-1\) et en \(3\). Son expression est donc de la forme \(h(x)=a(x+1)(x-3)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(h(0)=3\) et donc \(a(0-1)(0+3)=3\) soit \(-3a=3\) et donc \(a=-1\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(h(x)=-(x+1)(x-3)\)

Inéquations

Résolution d’inéquations

Résoudre les inéquations suivantes sur \(\mathbb{R}\)

  • \(x^2-5x+6>0\)
  • \( 2x^2+3x-5 \leqslant 0\)
  • \(-5x^2+6x-1\geqslant 0\)
  • \(-8x^2+7x-4 > 0\)
Afficher/Masquer la solution
  • Le discriminant du polynôme \(x^2-5x+6\) vaut \(5^2-4 \times 6 \times 1 = 1\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont
    \[x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1}=2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1}=3\]
    Construisons le tableau de signes de \(x^2-5x+6\). Son coefficient dominant vaut 1 qui est positif.

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    Ainsi, les solutions de \(x^2-5x+6>0\) sont \(S=\mathopen]-\infty;2\mathclose[ \cup \mathopen]3;+\infty \mathclose[\).

  • Le discriminant du polynôme \(2x^2+3x-5\) vaut \(3^2-4 \times 2 \times (-5) = 49\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont
    \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2\times 2}=-\dfrac{5}{2}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2\times 2}=1\]
    Construisons le tableau de signes de \(2x^2+3x-5\). Son coefficient dominant vaut 2 qui est positif.

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    Ainsi, les solutions de \(2x^2+3x-5 \leqslant 0\) sont \(S=\left[-\dfrac{5}{2}\,;\,1\right]\).

  • Le discriminant du polynôme \(-5x^2+6x-1\) vaut \(6^2-4 \times (-5) \times (-1) = 16\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont
    \[x_1=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{2\times (-5)}=1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{2\times (-5)}=\dfrac{1}{5}\]
    Construisons le tableau de signes de \(-5x^2+6x-1\). Son coefficient dominant vaut -5 qui est négatif.

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    Ainsi, les solutions de \(-5x^2+6x-1\geqslant 0\) sont \(S=\left[\dfrac{1}{5}\, ; \, 1 \right]\).

  • Le discriminant du polynôme \(-8x^2+7x-4\) vaut \(7^2-4 \times (-8) \times (-4) = -15\). Ce polynôme n’admet donc aucune racine réelle. Son coefficient dominant vaut \(-8\) qui est négatif.

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    Ainsi, il n’y a aucune solution à l’équation \(-8x^2+7x-4 > 0\). \(S=\varnothing\).

Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes

  • \(f:x\mapsto \sqrt{ 2x^2+7x+3}\)
  • \( g:x\mapsto \dfrac{3x+7}{\sqrt{-2x^2-9x+11}}\)
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  • \(\sqrt{ 2x^2+7x+3}\) n’est définie que si \(2x^2+7x+3 \geqslant 0\). Le discriminant du polynôme \(2x^2+7x+3\) vaut \(7^2-4 \times 2 \times 3 = 25\). Les racines de ce polynôme sont donc\[x_1=\dfrac{-7-\sqrt{25}}{2\times 2}=-3\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-7+\sqrt{25}}{2\times 2}=-\dfrac{1}{2}\]

    Construisons alors le tableau de signes de \(2x^2+7x+3\). Son coefficient dominant vaut 2, qui est positif.

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    Ainsi, le domaine de définition de \(f\) est \(\mathopen]-\infty \, ; \, -3\mathclose] \cup \left[-\dfrac{1}{2} \, ; \, +\infty \right[\).

  • \(\dfrac{3x+7}{\sqrt{-2x^2-9x+11}}\) n’est définie que si \(-2x^2-9x+11 > 0\) (cette quantité est au dénominateur, il ne faut pas qu’elle vaille 0). Le discriminant du polynôme \(-2x^2-9x+11\) vaut \((-9)^2-4 \times (-2)\times 11 = 169\). Les racines de ce polynôme sont donc\[x_1=\dfrac{-(-9)-\sqrt{169}}{2\times (-2)}=1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-9)+\sqrt{169}}{2\times (-2)}=-\dfrac{11}{2}\]

    Construisons alors le tableau de signes de \(-2x^2-9x+11\). Son coefficient dominant vaut \(-2\), qui est négatif.

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    Ainsi, le domaine de définition de \(g\) est \(\left]-\dfrac{11}{2} \, ; \, 1 \right[\)

Soit \(m\) un réel, on considère l’équation \((E)\), d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\) suivante \[ (E)\quad:\quad2x^2+mx+m+\dfrac{5}{2} = 0\]
Déterminer, selon les valeurs de \(m\), le nombre de solution de l’équation \((E)\).
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Le discriminant du polynôme \(2x^2+mx+m+\dfrac{5}{2}\) vaut \(m^2 – 4 \times 2 \times \left(m+\dfrac{5}{2}\right) = m^2 -8m -20\). Il faut donc étudier le signe de ce discriminant pour déterminer le nombre de solutions de l’équation \((E)\).

Il s’agit d’un nouveau polynôme du second degré, dont le discriminant vaut cette fois \((-8)^2-4\times 1 \times (-20)=144\). Les racines du polynôme \(m^2 -8m -20\) sont donc

\[m_1=\dfrac{-(-8)-\sqrt{144}}{2\times 1}=-2\quad \text{et}\quad m_2=\dfrac{-(-8)+\sqrt{144}}{2\times 1}=10\]

On peut alors construire le tableau de signes de \(m^2 -8m -20\). Son coefficient dominant vaut 1 qui est positif.

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Ainsi

  • Lorsque \(m\in\left]-\infty ; 2 \right[ \cup \left]10 ; +\infty \right[\), l’équation \((E)\) admet deux solutions.
  • Lorsque \(m=-2\) ou \(m=10\), l’équation \((E)\) admet une unique solution.
  • Lorsque \(m\in\left] 2 \, ; \, 10 \right[\), l’équation \((E)\) ne possède aucune solution

Coefficients et racines

Racine évidente

Pour chacune des équations suivantes, d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\), déterminer une solution évidente, puis déterminer la deuxième sans calcul du discriminant.

  • \(3x^2-5x+2=0\)
  • \(2x^2-8x+6=0\)
  • \(4x^2 +11x+ 7=0\)
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  • 1 est une racine évidente de \(3x^2-5x+2\). Notons \(x_2\) la deuxième racine. On a alors \(1 \times x_2 = \dfrac{2}{3}\) et donc \(x_2=\dfrac{2}{3}\). Ainsi, \(S=\left\{\dfrac{2}{3},1\right\}\).
  • 1 est une racine évidente de \(2x^2-8x+6\). Notons \(x_2\) la deuxième racine. On a alors \(1 \times x_2 = \dfrac{6}{2}=3\) et donc \(x_2=3\). Ainsi, \(S=\left\{1\; ;\; 3\right\}\).
  • \(-1\) est une racine évidente de \(4x^2 +11x+ 7\). Notons \(x_2\) la deuxième racine. On a alors \(-1 \times x_2 = \dfrac{7}{4}\) et donc \(x_2=-\dfrac{7}{4}\). Ainsi, \(S=\left\{-\dfrac{7}{4}\; ;\; -1\right\}\).

Somme et produit fixés (1)

Trouver deux réels dont la somme vaut 10 et dont le produit vaut 13
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Notons \(x_1\) et \(x_2\) ces réels. Ce sont les solutions de l’équation \(x^2-10x+13=0\). Le discriminant du polynôme \(x^2-10x+13\) vaut \((-10)^2-4\times 1 \times 13 = 48\). Les deux nombres recherchés sont donc

\[x_1=\dfrac{-(-10)-\sqrt{48}}{2\times 1}=5-2\sqrt{3}\quad \text{et}\quad \dfrac{-(-10)+\sqrt{48}}{2\times 1}=5+2\sqrt{3}\]

Somme et produit fixés (2)

Existe-t-il deux réels dont la somme vaut 9 et le produit vaut 27 ?
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Notons \(x_1\) est \(x_2\) les éventuelles solutions de ce problème : ce sont les solutions de l’équation \(x^2-9x+27=0\). Or, le discriminant de \(x^2-9x+27\) vaut \(9^2-4\times 1 \times 27 = -27\), qui est strictement négatif. L’équation \(x^2-9x+27=0\) n’admet donc aucune solution réelle. Il n’existe pas de couples de réels dont la somme vaut 9 et le produit 27.

Périmètre et aire

Pour placer un grillage autour d’un jardinet rectangulaire de 32 m\(^2\), un particulier a dû utiliser 36 m de grillage. Quelles sont les dimensions exactes de ce jardin ?
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Notons \(x_1\) et \(x_2\) les dimensions de ce grillage, en m. On a \(x_1x_2=32\) et \(2(x_1+x_2)=36\) soit \(x_1+x_2=18\). \(x_1\) et \(x_2\) sont donc les solutions de l’équation \(x^2-18x+32=0\).

Le discriminant du polynôme \(x^2-18x+32\) vaut \(18^2-4 \times 1 \times 32 = 196\). Ainsi,

\[x_1=\dfrac{-(-18)-\sqrt{196}}{2\times 1}=2\quad \text{et}\quad \dfrac{-(-18)+\sqrt{196}}{2\times 1}=16\]

Les dimensions du jardinet sont de 2m par 16m.