• Soit \(x\) un réel. On a \(6x^2+9x=x(6x+9)\), qui vaut 0 si et seulement si \(x=0\) ou si \(6x+9=0\), c’est-à-dire \(x=-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{3}{2}\).
  \[S=\left\{-\dfrac{3}{2};0\right\}\]
• Soit \(x\) un réel.
  \[2(x+1)(3x+2)+(x+1)^2=(x+1)(2(3x+2)+(x+1))=(x+1)(7x+5)\]
  Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(x+1=0\) (c’est-à-dire \(x=-1\)) ou \(7x+5=0\) (c’est-à-dire \(x=-\dfrac{5}{7}\)).
  \[S=\left\{-1;-\dfrac{5}{7}\right\}\]
• Soit \(x\) un réel.
  \[(4x-5)^2-(3x+7)(4x-5)=(4x-5)(4x-5-(3x+7))=(4x-5)(x-12)\]
  Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(4x-5=0\) (c’est-à-dire \(x=\dfrac{5}{4}\)) ou \(x-12=0\) (c’est-à-dire \(x=12\)).
  \[S=\left\{\dfrac{5}{4};12\right\}\]
• Soit \(x\) un réel. \((2x+3)^2=(3x-2)^2\) si et seulement si \((2x+3)^2-(3x-2)^2=0\). Or :
  \[(2x+3)^2-(3x-2)^2=(2x+3+3x-2)(2x+3-3x+2)=(5x+1)(-x+5)\]
  Cette quantité vaut 0 si et seulement si \(5x+1=0\) (c’est-à-dire \(x=-\dfrac{1}{5}\)) ou \(-x+5=0\) (c’est-à-dire \(x=5\)).
  \[S=\left\{-\dfrac{1}{5};5\right\}\]

• Le discriminant du polynôme \(x^2+3x+2\) vaut \(3^2-4\times 1 \times 2 = 1\), qui est strictement positif. L’équation \(x^2+3x+2=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times 1}=-2 \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times 1}=-1\]
  \(S=\{-2;-1\}\)
• Le discriminant du polynôme \(2x^2-4x+1\) vaut \((-4)^2-4\times 2 \times 1 = 8\), qui est strictement positif. L’équation \(2x^2-4x+1=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt{8}}{2\times 2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt{8}}{2\times 2}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\]
  \(S=\left\{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; 1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}\)
• Le discriminant du polynôme \(3x^2+5x+7\) vaut \(5^2-4\times 3 \times 7 = -59\), qui est strictement négatif. L’équation \(3x^2+5x+7=0\) n’admet aucune solution réelle.
  \(S=\varnothing\)
• On peut remarquer que pour tout réel \(x\), \(4x^2+12x+9=(2x+3)^2\). Sinon, on résout avec le discriminant : \(\Delta = 12^2-4\times 4 \times 9 = 0\). L’équation \(4x^2+12x+9=0\) admet une unique solution.
  \(S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\)
• Le discriminant du polynôme \(-5x^2-10x-3\) vaut \((-10)^2-4\times (-3) \times (-5) = 40\), qui est strictement positif. L’équation \(-5x^2-10x-3=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-(-10)-\sqrt{40}}{2\times (-5)}=-1+\dfrac{\sqrt{10}}{5} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-10)+\sqrt{40}}{2\times (-5)}=-1-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\]
  \(S=\left\{-1-\dfrac{\sqrt{10}}{5} ; -1+\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right\}\)
• Le discriminant du polynôme \(-2x^2+5x+7\) vaut \(5^2-4\times (-2) \times 7 = 81\), qui est strictement positif. L’équation \(-2x^2+5x+7=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-5-\sqrt{81}}{2\times (-2)}=\dfrac{-14}{-4}=\dfrac{7}{2} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-5+\sqrt{81}}{2\times (-2)}=\dfrac{4}{-4}=-1\]
  \(S=\left\{-1;\dfrac{7}{2}\right\}\)
• Le discriminant du polynôme \(x^2-\sqrt{2}x-3\) vaut \((-\sqrt{2})^2-4\times 1 \times (-3) = 14\), qui est strictement positif. L’équation \(x^2-\sqrt{2}x-3=0\) admet donc deux solutions réelles distinctes :
  \[x_1=\dfrac{-(-\sqrt{2})-\sqrt{14}}{2}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-\sqrt{2})+\sqrt{14}}{2}\]
  \(S=\left\{\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2};\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}\right\}\)

• Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(4x^2+3x-1\) est \(\Delta = 3^2-4\times 4\times(-1)=25\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont :
  \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times 4}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times 4}=\dfrac{1}{4}\]
  Ces deux racines font partie du domaine de résolution.
  \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{4}\right\}\).
• Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \{-3;3\}\). Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(x^2-5x+6\) est \(\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 6=1\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont :
  \[x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1}=2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1}=3\]
  Or, \(3\) ne fait pas partie du domaine de résolution.
  \(S=\left\{2\right\}\).
• Pour déterminer le domaine de résolution, on cherche les racines du polynôme au dénominateur. Le discriminant du polynôme \(x^2+3x-4\) est \(3^2-4\times 1\times (-4)=25\). Le polynôme \(x^2+3x-4\) admet deux racines :
  \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times 1}=-4\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times 1}=1\]
  Le domaine de résolution est donc \(\mathbb{R}\setminus \{-4;1\}\).
  Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(-8x^2+6x+2\) est \(\Delta = 6^2-4\times (-8)\times 2=100\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont :
  \[x_1=\dfrac{-6-\sqrt{100}}{2\times (-8)}=1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2\times (-8)}=-\dfrac{1}{4}\]
  Or, \(1\) ne fait pas partie du domaine de résolution.
  \(S=\left\{-\dfrac{1}{4}\right\}\).
• Le domaine de résolution est \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2};1\right\}\).
  Pour tout réel \(x\in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2};1\right\}\) :
  \[\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{4x}{2x-1} = \dfrac{3(2x-1)+4x(x-1)}{(x-1)(2x-1)}=\dfrac{6x-3+4x^2-4x}{(x-1)(2x-1)}=\dfrac{4x^2+2x-3}{(x-1)(2x-1)}\]
  Cherchons maintenant les racines du polynôme au numérateur. Le discriminant de \(4x^2+2x-3\) est \(\Delta = 2^2- 4\times 4\times(-3)=52\). Ce polynôme admet donc deux racines qui sont :
  \[x_1=\dfrac{-2-\sqrt{52}}{2\times 4}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{13}}{4} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-2+\sqrt{52}}{2\times 4}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{13}}{4}\]
  (On remarque que \(\sqrt{52}=\sqrt{4\times 13}=\sqrt{4} \times \sqrt{13}=2\sqrt{13}\)).
  Ces racines font bien partie du domaine de résolution.
  \(S=\left\{-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{13}}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{13}}{4}\right\}\).

1. Si \(X=x^2\), alors \(X^2=x^4\). L’équation \((E)\) peut être réécrite sous la forme :
   \[ (E’)\quad:\quad 3X^2+5X-12=0 \]
2. Calculons le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(3X^2+5X-12\). \(\Delta=5^2-4\times 3 \times (-12)=169\) qui est strictement positif. Le polynôme admet donc deux racines :
   \[X_1=\dfrac{-5-\sqrt{169}}{2\times 3}=-3\quad \text{et}\quad X_2=\dfrac{-5+\sqrt{169}}{2\times 3}=\dfrac{4}{3}\]
   L’ensemble des solutions de \((E’)\) est \(S=\left\{-3;\dfrac{4}{3}\right\}\).
3. On sait que \(3X^2+5X-12=0\) si et seulement si \(X=-3\) ou \(X=\dfrac{4}{3}\). Or, on a posé \(X=x^2\). \(x\) est donc solution de l’équation \(3x^4+5x^2-12=0\) si et seulement si \(x^2=-3\) ou \(x^2=\dfrac{4}{3}\).
   Le premier cas est impossible, le deuxième admet deux solutions : \(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) et \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
   L’ensemble des solutions de l’équation \((E)\) est donc \(S=\left\{ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right\}\).

Posons \(X=\dfrac{1}{x-1}\). L’équation \((E)\) devient :
\[ (E’)\quad :\quad -9X^2+6X+3 = 0\]
Résolvons cette équation. Le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(-9X^2+6X+3\) vaut \(\Delta=6^2-4\times (-9) \times 3=144\) qui est strictement positif. Il y a donc deux racines à ce polynôme :
\[X_1=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{2\times (-9)}=1\quad \text{et}\quad X_2=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{2\times (-9)}=-\dfrac{1}{3}\]
Ainsi, \(-9X^2+6X+3 = 0\) si et seulement si \(X=1\) ou \(X=-\dfrac{1}{3}\).

En revenant à l’équation de départ, cela signifie que \(-\dfrac{9}{(x-1)^2}+\dfrac{6}{x-1}+3 = 0\) si et seulement si :

• \(\dfrac{1}{x-1}=1\), c’est-à-dire \(x-1=1\), soit \(x=2\)
• \(\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{3}\), c’est-à-dire \(x-1=-3\), soit \(x=-2\)

Les solutions de l’équation \((E)\) sont donc \(-2\) et \(2\).

1. Si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, cela signifie que le produit \(ac\) est strictement négatif (\(ac < 0\)). Par conséquent, \(-4ac > 0\). On a donc \(\Delta = b^2 – 4ac > 0\) car c’est la somme d’un réel positif ou nul (\(b^2\)) et d’un réel strictement positif (\(-4ac\)). Le discriminant étant strictement positif, l’équation \((E)\) admet bien deux solutions réelles distinctes.
2. La réciproque est fausse : le polynôme \(x^2+3x+1\) possède deux racines distinctes (son discriminant vaut \(\Delta = 3^2 – 4(1)(1) = 5 > 0\)) mais ses coefficients extrêmes \(a\) et \(c\) sont tous les deux positifs.

• Courbe 1 : La fonction est décroissante puis croissante (parabole tournée vers le haut) : \(a > 0\).
  La courbe coupe deux fois l’axe des abscisses, il y a donc 2 racines : \(\Delta > 0\).
• Courbe 2 : La fonction est décroissante puis croissante (parabole tournée vers le haut) : \(a > 0\).
  La courbe ne coupe pas l’axe des abscisses, il n’y a donc pas de racine réelle : \(\Delta < 0\).
• Courbe 3 : La fonction est croissante puis décroissante (parabole tournée vers le bas) : \(a < 0\).
  La courbe effleure l’axe des abscisses en un unique point de contact (sommet de la parabole), il y a donc 1 racine double : \(\Delta = 0\).

1. La fonction \(g\) est une fonction affine du premier degré, sa courbe représentative est donc la droite (en bleu). L’autre courbe (la parabole) est celle de la fonction du second degré \(f\).
2. Graphiquement, la courbe de \(f\) coupe l’axe des abscisses en \(x=-1\) et \(x=2\).
   Par le calcul : on résout \(f(x)=x^2-x-2=0\). Le discriminant vaut \((-1)^2-4\times 1 \times (-2)=9\). L’équation possède deux solutions :
   \[x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\times 1}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times 1}=2\]
3. Graphiquement, la parabole ne descend jamais jusqu’à la droite horizontale \(y=-3\). L’équation \(f(x)=-3\) semble ne pas avoir de solutions sur \(\mathbb{R}\).
   Par le calcul : on résout \(f(x)=x^2-x-2=-3\), c’est-à-dire \(x^2-x+1=0\). Le discriminant vaut \((-1)^2 – 4 \times 1 \times 1 = -3\), qui est strictement négatif. Cette équation ne possède donc pas de solution réelle.
4. Graphiquement, les courbes de \(f\) et \(g\) se coupent en \(x=-1\) et \(x=4\).
5. Par le calcul : on résout l’équation \(f(x)=g(x)\), c’est-à-dire \(x^2-x-2=2x+2\), soit \(x^2-3x-4=0\).
   Le discriminant de \(x^2-3x-4\) vaut \(\Delta = (-3)^2-4\times 1 \times (-4)=25\). L’équation admet donc deux solutions :
   \[x_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\times 1}=-1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\times 1}=4\]

1. Calculons le discriminant \(\Delta\) du polynôme \(3x^2+8x+4\). \(\Delta=8^2-4\times 4 \times 3 = 16\) qui est strictement positif. Ce polynôme admet donc deux racines :
   \[x_1=\dfrac{-8-\sqrt{16}}{2\times 3}=-2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-8+\sqrt{16}}{2\times 3}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}\]
2. Pour tout réel \(x\), la forme factorisée est \(a(x-x_1)(x-x_2)\), soit :
   \[ 3x^2+8x+4 = 3(x+2)\left(x+\dfrac{2}{3}\right) \]

1. \(f(2)=8\times 2^3-14\times 2^2-7\times 2 + 6=64-56-14+6=0\).
2. Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. Pour tout réel \(x\), on développe :
   \[(x-2)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\]
   On identifie les coefficients de ce polynôme avec ceux du polynôme \(8x^3-14x^2-7x+6\). On obtient ainsi :
   • \(a=8\)
   • \(b-2a=-14\), c’est-à-dire \(b-16=-14 \Rightarrow b=2\)
   • \(c-2b=-7\), c’est-à-dire \(c-4=-7 \Rightarrow c=-3\)
   • On vérifie bien pour le terme constant que \(-2c = -2(-3) = 6\).

   Pour tout réel \(x\), on a donc \(f(x)=(x-2)(8x^2+2x-3)\).

3. Soit \(x\) un réel. \(f(x)=0\) si et seulement si \((x-2)(8x^2+2x-3)=0\), c’est-à-dire si \(x-2=0\) ou \(8x^2+2x-3=0\).
   Le premier cas nous donne \(x=2\).
   Cherchons les racines du polynôme du second degré \(8x^2+2x-3\). Son discriminant vaut \(2^2 – 4 \times 8 \times (-3) = 100\) qui est strictement positif. Ce polynôme admet deux racines qui sont :
   \[x_1=\dfrac{-2-\sqrt{100}}{2\times 8}=-\dfrac{12}{16}=-\dfrac{3}{4}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-2+\sqrt{100}}{2\times 8}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\]
   Les solutions de l’équation \(f(x)=0\) sont donc \(2\), \(-\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{1}{2}\).

   Une forme factorisée complète est donc :
   \[ f(x) = (x-2) \times 8 \left(x+\dfrac{3}{4}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \]

• La courbe \(f\) s’annule en \(x=1\) et en \(x=3\). Son expression est donc de la forme \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(f(2)=-1\), donc \(a(2-1)(2-3)=-1\) soit \(-a=-1 \Rightarrow a=1\).
  Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-1)(x-3)\).
• La courbe \(g\) s’annule en \(x=-2\) et en \(x=2\). Son expression est donc de la forme \(g(x)=a(x-2)(x+2)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(g(0)=-2\), donc \(a(0-2)(0+2)=-2\) soit \(-4a=-2 \Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\).
  Finalement, pour tout réel \(x\), \(g(x)=\dfrac{1}{2}(x-2)(x+2)\).
• La courbe \(h\) s’annule en \(x=-1\) et en \(x=3\). Son expression est donc de la forme \(h(x)=a(x+1)(x-3)\). Par ailleurs, on voit graphiquement que \(h(0)=3\), donc \(a(0+1)(0-3)=3\) soit \(-3a=3 \Rightarrow a=-1\).
  Finalement, pour tout réel \(x\), \(h(x)=-(x+1)(x-3)\).

• Le discriminant du polynôme \(x^2-5x+6\) vaut \((-5)^2-4 \times 1 \times 6 = 1\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont :
  \[x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1}=2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1}=3\]
  Construisons le tableau de signes de \(x^2-5x+6\). Son coefficient dominant vaut \(1\) qui est strictement positif.

  

  Ainsi, l’ensemble des solutions de \(x^2-5x+6 > 0\) est \(S=\mathopen]-\infty;2\mathclose[ \cup \mathopen]3;+\infty \mathclose[\).

• Le discriminant du polynôme \(2x^2+3x-5\) vaut \(3^2-4 \times 2 \times (-5) = 49\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont :
  \[x_1=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2\times 2}=-\dfrac{5}{2}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2\times 2}=1\]
  Construisons le tableau de signes de \(2x^2+3x-5\). Son coefficient dominant vaut \(2\) qui est strictement positif.

  

  Ainsi, l’ensemble des solutions de \(2x^2+3x-5 \leqslant 0\) est \(S=\left[-\dfrac{5}{2}\,;\,1\right]\).

• Le discriminant du polynôme \(-5x^2+6x-1\) vaut \(6^2-4 \times (-5) \times (-1) = 16\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont :
  \[x_1=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{2\times (-5)}=1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{2\times (-5)}=\dfrac{1}{5}\]
  Construisons le tableau de signes de \(-5x^2+6x-1\). Son coefficient dominant vaut \(-5\) qui est strictement négatif.

  

  Ainsi, l’ensemble des solutions de \(-5x^2+6x-1 \geqslant 0\) est \(S=\left[\dfrac{1}{5}\, ; \, 1 \right]\).

• Le discriminant du polynôme \(-8x^2+7x-4\) vaut \(7^2-4 \times (-8) \times (-4) = 49 – 128 = -79\). Ce polynôme n’admet donc aucune racine réelle. Son coefficient dominant vaut \(-8\) qui est strictement négatif, le polynôme est donc toujours négatif sur \(\mathbb{R}\).

  

  Ainsi, il n’y a aucune solution à l’inéquation \(-8x^2+7x-4 > 0\). \(S=\varnothing\).

• \(\sqrt{ 2x^2+7x+3}\) n’est définie que si \(2x^2+7x+3 \geqslant 0\).
  Le discriminant du polynôme \(2x^2+7x+3\) vaut \(7^2-4 \times 2 \times 3 = 25\). Les racines de ce polynôme sont donc :
  \[x_1=\dfrac{-7-\sqrt{25}}{2\times 2}=-3\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-7+\sqrt{25}}{2\times 2}=-\dfrac{1}{2}\]
  Construisons alors le tableau de signes de \(2x^2+7x+3\). Son coefficient dominant vaut \(2\), qui est positif.

  

  Ainsi, le domaine de définition de \(f\) est \(\mathcal{D}_f = \mathopen]-\infty \, ; \, -3\mathclose] \cup \left[-\dfrac{1}{2} \, ; \, +\infty \right[\).

• \(\dfrac{3x+7}{\sqrt{-2x^2-9x+11}}\) n’est définie que si \(-2x^2-9x+11 > 0\) (la quantité sous la racine doit être positive ou nulle, mais comme elle est au dénominateur, elle ne doit pas valoir 0).
  Le discriminant du polynôme \(-2x^2-9x+11\) vaut \((-9)^2-4 \times (-2)\times 11 = 169\). Les racines de ce polynôme sont donc :
  \[x_1=\dfrac{-(-9)-\sqrt{169}}{2\times (-2)}=1\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-9)+\sqrt{169}}{2\times (-2)}=-\dfrac{11}{2}\]
  Construisons alors le tableau de signes de \(-2x^2-9x+11\). Son coefficient dominant vaut \(-2\), qui est négatif.

  

  Ainsi, le domaine de définition de \(g\) est l’intervalle où le polynôme est strictement positif : \(\mathcal{D}_g = \left]-\dfrac{11}{2} \, ; \, 1 \right[\).

Le discriminant du polynôme de variable $x$ vaut :
\[ \Delta = m^2 – 4 \times 2 \times \left(m+\dfrac{5}{2}\right) = m^2 -8m -20 \]
Il faut donc étudier le signe de ce discriminant pour déterminer le nombre de solutions de l’équation \((E)\).

Il s’agit d’étudier un nouveau polynôme du second degré en variable \(m\). Le discriminant de ce nouveau polynôme vaut \((-8)^2-4\times 1 \times (-20) = 64 + 80 = 144\). Les racines de \(m^2 -8m -20\) sont donc :
\[m_1=\dfrac{-(-8)-\sqrt{144}}{2\times 1}=-2\quad \text{et}\quad m_2=\dfrac{-(-8)+\sqrt{144}}{2\times 1}=10\]
On peut alors construire le tableau de signes de \(m^2 -8m -20\). Son coefficient dominant vaut \(1\) qui est positif.

Ainsi :

• Lorsque \(m\in\left]-\infty ; -2 \right[ \cup \left]10 ; +\infty \right[\), \(\Delta > 0\) et l’équation \((E)\) admet deux solutions distinctes.
• Lorsque \(m=-2\) ou \(m=10\), \(\Delta = 0\) et l’équation \((E)\) admet une unique solution (racine double).
• Lorsque \(m\in\left] -2 \, ; \, 10 \right[\), \(\Delta < 0\) et l'équation \((E)\) ne possède aucune solution réelle.

• Pour \(3x^2-5x+2=0\) : On remarque que la somme des coefficients \(3 – 5 + 2 = 0\), donc \(1\) est une racine évidente. Notons \(x_2\) la deuxième racine. Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}$, donc \(1 \times x_2 = \dfrac{2}{3}\), soit \(x_2=\dfrac{2}{3}\).
  Ainsi, \(S=\left\{\dfrac{2}{3} ; 1\right\}\).
• Pour \(2x^2-8x+6=0\) : On remarque que la somme des coefficients \(2 – 8 + 6 = 0\), donc \(1\) est une racine évidente. Notons \(x_2\) la deuxième racine. Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}$, donc \(1 \times x_2 = \dfrac{6}{2}=3\), soit \(x_2=3\).
  Ainsi, \(S=\left\{1 ; 3\right\}\).
• Pour \(4x^2 +11x+ 7=0\) : On remarque que \(4 – 11 + 7 = 0\), donc \(-1\) est une racine évidente. Notons \(x_2\) la deuxième racine. Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}$, donc \(-1 \times x_2 = \dfrac{7}{4}\), soit \(x_2=-\dfrac{7}{4}\).
  Ainsi, \(S=\left\{-\dfrac{7}{4} ; -1\right\}\).

Notons \(x_1\) et \(x_2\) ces réels. On sait qu’ils sont les solutions de l’équation du second degré \(X^2 – SX + P = 0\), soit ici : \(x^2-10x+13=0\).

Le discriminant du polynôme \(x^2-10x+13\) vaut \((-10)^2-4\times 1 \times 13 = 100 – 52 = 48\). Les deux nombres recherchés sont donc :
\[x_1=\dfrac{-(-10)-\sqrt{48}}{2\times 1}=\dfrac{10-4\sqrt{3}}{2}=5-2\sqrt{3}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-10)+\sqrt{48}}{2\times 1}=\dfrac{10+4\sqrt{3}}{2}=5+2\sqrt{3}\]

Notons \(x_1\) et \(x_2\) les éventuelles solutions de ce problème : ce sont les solutions de l’équation \(x^2-9x+27=0\).

Or, le discriminant de \(x^2-9x+27\) vaut \((-9)^2-4\times 1 \times 27 = 81 – 108 = -27\), qui est strictement négatif. L’équation \(x^2-9x+27=0\) n’admet donc aucune solution réelle.
Il n’existe donc pas de couple de réels dont la somme vaut 9 et le produit 27.

Notons \(x_1\) et \(x_2\) les dimensions de ce jardinet, en mètres. L’aire vaut 32, donc \(x_1x_2=32\). Le périmètre vaut 36, donc \(2(x_1+x_2)=36\) soit le demi-périmètre \(x_1+x_2=18\).

\(x_1\) et \(x_2\) ont pour somme 18 et pour produit 32. Ils sont donc les solutions de l’équation \(x^2-18x+32=0\).

Le discriminant du polynôme \(x^2-18x+32\) vaut \((-18)^2-4 \times 1 \times 32 = 324 – 128 = 196\). Ainsi :
\[x_1=\dfrac{-(-18)-\sqrt{196}}{2\times 1}=\dfrac{18-14}{2}=2\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-18)+\sqrt{196}}{2\times 1}=\dfrac{18+14}{2}=16\]
Les dimensions du jardinet sont de \(2\) m par \(16\) m.