Fonctions du second degré : exercices corrigés

Pour bien commencer…

Les fonctions suivantes sont des fonctions polynômes du second degré, définies sur \(\mathbb{R}\). Donner leur forme développée.

\(f:x\mapsto (2x+3)^2\) \(g:x\mapsto (3x-4)(3x+4)\)
\(h:x\mapsto \left(\dfrac{3}{2}x+\dfrac{4}{3}\right)^2\) \(i:x\mapsto (2x-1)^2+3\)
\(j:x \mapsto (5x+9)^2+\sqrt{7}^2\) \(k:x\mapsto (2x+\sqrt{5})^2+(3x)^2\)
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Soit \(x\) un réel.

  • \(f_1(x)=(2x+3)^2=(2x)^2+2\times 2x \times 3 + 3^2=4x^2+12x+9\)
  • \(f_2(x)=(3x-4)(3x+4)=(3x)^2-4^2=9x^2-16\)
  • \(f_3(x)=\left(\dfrac{3}{2}x+\dfrac{4}{3}\right)^2=\left(\dfrac{3}{2}x\right)^2+2\times \dfrac{3}{2}x\times \dfrac{4}{3}+\left( \dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{9}{4}x^2+4x+\dfrac{16}{9}\)
  • \(f_4(x)=(2x-1)^2+3=(2x)^2-2\times 2x \times 1 + 1^2-3)4x^2-4x-2\)
  • \(f_5(x)=(5x+9)^2+\sqrt{7}^2=(5x)^2+2\times 5x \times 9 +9^2+7=25x^2+90x+88\)
  • \(f_6(x)=(2x+\sqrt{5})^2+(3x)^2=(2x)^2+2\times 2x \times \sqrt{5}+\sqrt{5}^2+9x^2=13x^2+4\sqrt{5}x+5\)
Un adolescent laisse malencontreusement échapper son téléphone portable depuis le balcon du 5ème étage d’un immeuble. Après \(t\) secondes de chute, la hauteur \(h\), en mètres, du téléphone par rapport au sol vaut
\[ h(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2+15\]
où \(g\) est l’accélération de la pesanteur. \(g\simeq 9.8 m.s^{-2}\)

  1. A quelle hauteur se trouve le 5ème étage de l’immeuble ?
  2. Combien de temps mettra le téléphone avant de s’écraser lamentablement au sol ?
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  1. L’adolescent laisse échapper son portable à \(t=0\). La hauteur vaut alors 15 mètres.
  2. On résout l’équation \(h(t)=0\). Soit \(t\) un réel.
    \[h(t)=0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}gt^2+15=0\Leftrightarrow t^2=\dfrac{30}{g}\]
    L’équation admet deux solutions, \(t_1=\sqrt{\dfrac{30}{g}}\simeq 1.75\) et \(t_2=-\sqrt{\dfrac{30}{g}}\simeq-1.75\). A moins de vouloir remonter le temps, c’est la solution positive qui nous intéresse.

    Le téléphone s’écrasera au sol après environ 1.75 secondes.

Soit \(b\) et \(c\) deux réels et \(f:x\mapsto x^2+bx+c\) une fonction polynôme du second degré, définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Exprimer \(f(-2)\) et \(f(3)\) en fonction des réels \(b\) et \(c\).
  2. On suppose que \(f(-2)=4\) et \(f(3)=7\). En déduire les valeurs des réels \(b\) et \(c\).
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  1. On a \(f(-2)=(-2)^2+b\times(-2)+c=4-2b+c\) et \(f(3)=3^2+3b+c=9+3b+c\).
  2. Il faut résoudre le système
    \(\left\{\begin{array}{rcl}4-2b+c&=&4\\9+3b+c&=&7\\\end{array} \right.\)

    \[\left\{\begin{array}{rcl}4-2b+c&=&4\\9+3b+c&=&7\\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c&=&2b\\3b+2b&=&-2\\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c&=&-\dfrac{4}{5}\\b&=&-\dfrac{2}{5}\\\end{array} \right.\]

    Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=x^2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{4}{5}\).

Forme canonique

Soit \(f:x\mapsto x^2+12x+15\). Montrer que pour tout réel \(x\), \(f(x)\) s’écrit sous forme canonique \(f(x)=(x+6)^2-21\)
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Pour tout réel \(x\), on a
\[f(x)= x^2+12x+15 = x^2+2\times 6 \times x + 36 -36 +15 = (x+6)^2-21\]

Soit \(f:x\mapsto 3x^2+24x+45\). Montrer que pour tout réel \(x\), \(f(x)\) s’écrit sous forme canonique \(f(x)=3(x+4)^2-3\)
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Pour tout réel \(x\), on a

\(\begin{array}{rcl}f(x)&=& 3x^2+24x+45\\& =& 3(x^2+8x+15)\\&=&3(x^2+2\times 4 \times x + 16-16+15)\\&=&3((x+4)^2-1)\\
&=&3(x+4)^2-3\end{array}\)

Ecrire sous forme canonique les expressions des fonctions polynômes du second degré suivantes

\(f:x\mapsto x^2+8x-7\) \(g:x\mapsto x^2+6x+9\)
\(h:x\mapsto 2x^2+16x-4\) \(i:x\mapsto -4x^2-16x+8\)
\(j:x\mapsto 3x^2+5x-7\) \(k:x\mapsto 2x^2+5x\)
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Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2+8x+7\\&=&x^2+8x+16-16+7\\&=&(x+4)^2-9\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) : \(g(x)=(x+3)^2\). On reconnaît directement une identité remarquable, c’est donc la forme canonique recherchée.

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}h(x)&=&2x^2+16x-4\\&=&2(x^2+8x-2)\\&=&2(x^2+8x+16-16-2)\\&=&2((x+4)^2-18)\\&=&2(x+4)^2-36\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}i(x)&=&-4x^2-16x+8\\&=&-4(x^2+4x-2)\\&=&-4(x^2+4x+4-4-2)\\&=&-4((x+2)^2-6)\\&=&-4(x+2)^2+24\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}j(x)&=&3x^2+5x-7\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x-\dfrac{7}{3}\right)\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}-\dfrac{25}{36}-\dfrac{7}{3}\right)\\&=&3\left(\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{109}{36}\right)\\&=&\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{109}{12}\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}k(x)&=&2x^2+5x\\&=&2\left(x^2+\dfrac{5}{2}x\right)\\&=&2\left(x^2+\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}-\dfrac{25}{16}\right)\\&=&2\left(\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{25}{16}\right)\\&=&2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{25}{8}\end{array}\)

Applications de la forme canonique

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur \(\mathbb{R}\), dresser les tableaux de variation et indiquer si la fonction admet un minimum ou un maximum sur son ensemble de définition.

\(f:x\mapsto 3(x-4)^2+7\) \(g:x\mapsto -2(x-5)^2-3\)
\(h:x\mapsto \dfrac{5}{3}\left(x-\dfrac{6}{5}\right)^2+\dfrac{3}{2}\) \(i:x\mapsto -5(x-9)^2\)
\(j:x\mapsto (\sqrt{5}-2)(x-2)^2+1\) \(k:x \mapsto x^2+9\)
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\(f\) admet un minimum en 4, celui-ci vaut 7

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\(g\) admet un maximum en 4, celui-ci vaut -3

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\(h\) admet un minimum en \(\dfrac{6}{5}\), celui-ci vaut \(\dfrac{3}{2}\)

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\(i\) admet un maximum en 9, celui-ci vaut 0

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Puisque \(5 > 4\) , on a alors, par croissance de la fonction Racine carrée sur \(\mathbb{R}+\), \(\sqrt{5}>\sqrt{4}\), c’est-à-dire \(\sqrt{5}>2\), soit \(\sqrt{5}-2>0\).
\(j\) admet un minimum en 2, celui-ci vaut 1

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\(k\) admet un minimum en 0, celui-ci vaut 9

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur \(\mathbb{R}\), déterminer la forme canonique, puis dresser les tableaux de variation et indiquer si la fonction admet un minimum ou un maximum sur son ensemble de définition.

\(f:x\mapsto x^2+6x+7\) \(g:x\mapsto -2x^2-4x+20\)
\(h:x\mapsto 3x^2+5x+14\) \(i:x\mapsto -5x^2+12x\)
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Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2+6x+7\\&=&x^2+6x+9-9+7\\&=&(x+3)^2-2\end{array}\)

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\(f\) admet un minimum en -3, celui-ci vaut -2

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}g(x)&=&-2x^2-4x+20\\&=&-2(x^2+2x-10)\\&=&-2(x^2+2x+1-1-10)\\&=&-2((x+1)^2-11)\\&=&-2(x+1)^2+22\end{array}\)

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\(g\) admet un maximum en -1, celui-ci vaut 22.

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}h(x)&=&3x^2+5x+14\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{14}{3}\right)\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}-\dfrac{25}{36}+\dfrac{14}{3}\right)\\&=&3\left(\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{143}{36}\right)\\&=&3\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{143}{12}\\\end{array}\)

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\(h\) admet un minimum en \(-\dfrac{5}{6}\), celui-ci vaut \(\dfrac{143}{12}\).

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}i(x)&=&-5x^2+12x\\&=&-5\left(x^2-\dfrac{12}{5}x\right)\\&=&-5\left(x^2-\dfrac{12}{5}x+\dfrac{36}{25}-\dfrac{36}{25}\right)\\&=&-5\left(\left(x-\dfrac{6}{5}x\right)^2-\dfrac{36}{25}\right)\\&=&-5\left(x-\dfrac{6}{5}\right)^2+\dfrac{36}{5}\end{array}\)

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\(i\) admet un maximum en \(\dfrac{6}{5}\), celui-ci vaut \(\dfrac{36}{5}\).

Les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynômes du second degré sont représentées ci-dessous. Dans chaque cas, déterminer une expression algébrique de la fonction, selon la variable réelle \(x\).

Fonction 1

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Fonction 2

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Fonction 3

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Courbe 1 : Appelons \(f\) la fonction représentée. On remarque que \(f\) admet un minimum en \(x=2\), ce minimum vaut \(-1\). La forme canonique de \(f(x)\) est donc de la forme \(a(x-2)^2-1\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

  • D’après la courbe, \(f(0)=3\).
  • D’après la formule, \(f(0)=a(0-2)^2-1=4a-1\).
  • Ainsi, \(4a-1=3\), c’est-à-dire \(a=1\)

Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-2)^2-1\).

Courbe 2 : Appelons \(g\) la fonction représentée. On remarque que \(g\) admet un minimum en \(x=-1\), ce minimum vaut \(-2\). La forme canonique de \(g(x)\) est donc de la forme \(a(x+1)^2-2\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

  • D’après la courbe, \(g(1)=0\).
  • D’après la formule, \(g(1)=a(1+1)^2-2=4a-2\).
  • Ainsi, \(4a-2=0\), c’est-à-dire \(a=\dfrac{1}{2}\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(g(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-2\).

Courbe 3 : Appelons \(h\) la fonction représentée. On remarque que \(h\) admet un maximum en \(x=1\), ce maximum vaut \(4\). La forme canonique de \(g(x)\) est donc de la forme \(a(x-1)^2+4\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

  • D’après la courbe, \(h(0)=2\).
  • D’après la formule, \(h(0)=a(0-1)^2+4=a+4\).
  • Ainsi, \(a+4=2\), c’est-à-dire \(a=-2\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(g(x)=-2(x-1)^2+4\).

On choisit \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels, tels que \(a\neq 0\). On considère la fonction \(f:x\mapsto ax^2+bx+c\) dont le tableau de variations est donné ci-dessous

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  1. Quel est le signe de \(a\) ? Justifier.
  2. Pour tout réel \(x\), exprimer \(f(x)\) sous forme canonique.
  3. En déduire la forme développée de \(f(x)\)
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  1. La fonction est croissante puis décroissante. \(a\) est donc strictement négatif.
  2. On remarque que \(f\) admet un maximum en \(x=4\). Ce maximum vaut \(5\). La forme canonique de \(f(x)\) est donc de la forme \(a(x-4)^2+4\). Reste à déterminer la valeur de \(a\).
    • D’après le tableau, \(f(6)=3\).
    • D’après la formule, \(f(6)=a(6-4)^2+5=4a+5\)
    • Ainsi, \(4a+5=3\), soit \(a=-\dfrac{1}{2}\)

    On a donc, pour tout réel \(x\), \(f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+5\)

  3. Pour tout réel \(x\),

    \[f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+5=-\dfrac{1}{2}x^2+4x+3\]

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