Soit \(x\) un réel.

• \(f(x)=(2x+3)^2=(2x)^2+2\times 2x \times 3 + 3^2=4x^2+12x+9\)
• \(g(x)=(3x-4)(3x+4)=(3x)^2-4^2=9x^2-16\)
• \(h(x)=\left(\dfrac{3}{2}x+\dfrac{4}{3}\right)^2=\left(\dfrac{3}{2}x\right)^2+2\times \dfrac{3}{2}x\times \dfrac{4}{3}+\left( \dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{9}{4}x^2+4x+\dfrac{16}{9}\)
• \(i(x)=(2x-1)^2+3=(2x)^2-2\times 2x \times 1 + 1^2+3 = 4x^2-4x+1+3 = 4x^2-4x+4\)
• \(j(x)=(5x+9)^2+\sqrt{7}^2=(5x)^2+2\times 5x \times 9 +9^2+7=25x^2+90x+88\)
• \(k(x)=(2x+\sqrt{5})^2+(3x)^2=(2x)^2+2\times 2x \times \sqrt{5}+\sqrt{5}^2+9x^2=13x^2+4\sqrt{5}x+5\)

1. L’adolescent laisse échapper son portable à \(t=0\). La hauteur vaut alors \(h(0) = 15\) mètres.
2. On résout l’équation \(h(t)=0\). Soit \(t\) un réel.
   \[h(t)=0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}gt^2+15=0\Leftrightarrow t^2=\dfrac{30}{g}\]
   L’équation admet deux solutions, \(t_1=\sqrt{\dfrac{30}{g}}\simeq 1.75\) et \(t_2=-\sqrt{\dfrac{30}{g}}\simeq-1.75\). A moins de vouloir remonter le temps, c’est la solution positive qui nous intéresse. Le téléphone s’écrasera au sol après environ 1.75 secondes.

1. On a \(f(-2)=(-2)^2+b\times(-2)+c=4-2b+c\) et \(f(3)=3^2+3b+c=9+3b+c\).
2. Il faut résoudre le système :
   \(\left\{\begin{array}{rcl}4-2b+c&=&4\\9+3b+c&=&7\\\end{array} \right.\)
   \[\left\{\begin{array}{rcl}4-2b+c&=&4\\9+3b+c&=&7\\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c&=&2b\\9+3b+2b&=&7\\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c&=&-\dfrac{4}{5}\\[0.5em]b&=&-\dfrac{2}{5}\\\end{array} \right.\]
   Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=x^2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{4}{5}\).

Pour tout réel \(x\), on a
\[f(x)= x^2+12x+15 = x^2+2\times 6 \times x + 36 -36 +15 = (x+6)^2-21\]

Pour tout réel \(x\), on a :
\(\begin{array}{rcl}f(x)&=& 3x^2+24x+45\\& =& 3(x^2+8x+15)\\&=&3(x^2+2\times 4 \times x + 16-16+15)\\&=&3((x+4)^2-1)\\
&=&3(x+4)^2-3\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2+8x-7\\&=&x^2+8x+16-16-7\\&=&(x+4)^2-23\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) : \(g(x)=(x+3)^2\). On reconnaît directement une identité remarquable, c’est donc la forme canonique recherchée.

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}h(x)&=&2x^2+16x-4\\&=&2(x^2+8x-2)\\&=&2(x^2+8x+16-16-2)\\&=&2((x+4)^2-18)\\&=&2(x+4)^2-36\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}i(x)&=&-4x^2-16x+8\\&=&-4(x^2+4x-2)\\&=&-4(x^2+4x+4-4-2)\\&=&-4((x+2)^2-6)\\&=&-4(x+2)^2+24\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}j(x)&=&3x^2+5x-7\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x-\dfrac{7}{3}\right)\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}-\dfrac{25}{36}-\dfrac{7}{3}\right)\\&=&3\left(\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{109}{36}\right)\\&=&3\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{109}{12}\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}k(x)&=&2x^2+5x\\&=&2\left(x^2+\dfrac{5}{2}x\right)\\&=&2\left(x^2+\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}-\dfrac{25}{16}\right)\\&=&2\left(\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{25}{16}\right)\\&=&2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{25}{8}\end{array}\)

\(f\) admet un minimum en 4, celui-ci vaut 7.

\(g\) admet un maximum en 5, celui-ci vaut -3.

\(h\) admet un minimum en \(\dfrac{6}{5}\), celui-ci vaut \(\dfrac{3}{2}\).

\(i\) admet un maximum en 9, celui-ci vaut 0.

Puisque \(5 > 4\) , on a alors, par croissance de la fonction Racine carrée sur \(\mathbb{R}_+\), \(\sqrt{5}>\sqrt{4}\), c’est-à-dire \(\sqrt{5}>2\), soit \(\sqrt{5}-2>0\).
\(j\) admet un minimum en 2, celui-ci vaut 1.

\(k\) admet un minimum en 0, celui-ci vaut 9.

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2+6x+7\\&=&x^2+6x+9-9+7\\&=&(x+3)^2-2\end{array}\)

\(f\) admet un minimum en -3, celui-ci vaut -2.

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}g(x)&=&-2x^2-4x+20\\&=&-2(x^2+2x-10)\\&=&-2(x^2+2x+1-1-10)\\&=&-2((x+1)^2-11)\\&=&-2(x+1)^2+22\end{array}\)

\(g\) admet un maximum en -1, celui-ci vaut 22.

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}h(x)&=&3x^2+5x+14\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{14}{3}\right)\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}-\dfrac{25}{36}+\dfrac{14}{3}\right)\\&=&3\left(\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{143}{36}\right)\\&=&3\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{143}{12}\end{array}\)

\(h\) admet un minimum en \(-\dfrac{5}{6}\), celui-ci vaut \(\dfrac{143}{12}\).

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}i(x)&=&-5x^2+12x\\&=&-5\left(x^2-\dfrac{12}{5}x\right)\\&=&-5\left(x^2-\dfrac{12}{5}x+\dfrac{36}{25}-\dfrac{36}{25}\right)\\&=&-5\left(\left(x-\dfrac{6}{5}\right)^2-\dfrac{36}{25}\right)\\&=&-5\left(x-\dfrac{6}{5}\right)^2+\dfrac{36}{5}\end{array}\)

\(i\) admet un maximum en \(\dfrac{6}{5}\), celui-ci vaut \(\dfrac{36}{5}\).

Courbe 1 : Appelons \(f\) la fonction représentée. On remarque que \(f\) admet un minimum en \(x=2\), ce minimum vaut \(-1\). La forme canonique de \(f(x)\) est donc de la forme \(a(x-2)^2-1\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

• D’après la courbe, \(f(0)=3\).
• D’après la formule, \(f(0)=a(0-2)^2-1=4a-1\).
• Ainsi, \(4a-1=3\), c’est-à-dire \(a=1\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-2)^2-1\).

Courbe 2 : Appelons \(g\) la fonction représentée. On remarque que \(g\) admet un minimum en \(x=-1\), ce minimum vaut \(-2\). La forme canonique de \(g(x)\) est donc de la forme \(a(x+1)^2-2\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

• D’après la courbe, \(g(1)=0\).
• D’après la formule, \(g(1)=a(1+1)^2-2=4a-2\).
• Ainsi, \(4a-2=0\), c’est-à-dire \(a=\dfrac{1}{2}\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(g(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-2\).

Courbe 3 : Appelons \(h\) la fonction représentée. On remarque que \(h\) admet un maximum en \(x=1\), ce maximum vaut \(4\). La forme canonique de \(h(x)\) est donc de la forme \(a(x-1)^2+4\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

• D’après la courbe, \(h(0)=2\).
• D’après la formule, \(h(0)=a(0-1)^2+4=a+4\).
• Ainsi, \(a+4=2\), c’est-à-dire \(a=-2\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(h(x)=-2(x-1)^2+4\).

1. La fonction est croissante puis décroissante. \(a\) est donc strictement négatif.
2. On remarque que \(f\) admet un maximum en \(x=4\). Ce maximum vaut \(5\). La forme canonique de \(f(x)\) est donc de la forme \(a(x-4)^2+5\). Reste à déterminer la valeur de \(a\).
   • D’après le tableau, \(f(6)=3\).
   • D’après la formule, \(f(6)=a(6-4)^2+5=4a+5\).
   • Ainsi, \(4a+5=3\), soit \(a=-\dfrac{1}{2}\).

   On a donc, pour tout réel \(x\), \(f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+5\).

3. Pour tout réel \(x\),
   \[f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+5=-\dfrac{1}{2}(x^2-8x+16)+5=-\dfrac{1}{2}x^2+4x-8+5=-\dfrac{1}{2}x^2+4x-3\]

1. 1. Pour 6 hectolitres produits, le coût s’élève à :
      \[ C(6) = 2 \times 6^2 + 12 \times 6 + 240 = 2 \times 36 + 72 + 240 = 72 + 72 + 240 = 384 \]
      Le coût de production est de 384 centaines d’euros, soit 38 400 €.
      La recette pour 6 hectolitres vendus à 8 000 € l’unité est :
      \[ \text{Recette} = 6 \times 8000 = 48 000 \text{ €} \]
      Remarque : exprimée en centaines d’euros, cette recette est de 480 centaines d’euros.
   2. Le profit (ou bénéfice) est la différence entre la recette et le coût :
      \[ \text{Profit} = 48 000 – 38 400 = 9 600 \text{ €} \]
      L’entreprise réalise bien un profit de 9 600 €.
2. Exprimons la recette en centaines d’euros pour conserver la même unité que le coût. Chaque hectolitre étant vendu 8 000 € (80 centaines d’euros), la recette pour \(x\) hectolitres est \(R(x) = 80x\).
   Le bénéfice est la différence entre la recette et les coûts :
   \begin{eqnarray*}
   B(x) &=& R(x) – C(x) \\
   B(x) &=& 80x – (2x^2 + 12x + 240) \\
   B(x) &=& 80x – 2x^2 – 12x – 240 \\
   B(x) &=& -2x^2 + 68x – 240
   \end{eqnarray*}
   On retrouve bien l’expression annoncée.
3. On développe l’expression proposée à l’aide de l’identité remarquable \((a-b)^2\) :
   \begin{eqnarray*}
   -2(x-17)^2 + 338 &=& -2(x^2 – 34x + 17^2) + 338 \\
   &=& -2(x^2 – 34x + 289) + 338 \\
   &=& -2x^2 + 68x – 578 + 338 \\
   &=& -2x^2 + 68x – 240
   \end{eqnarray*}
   On retrouve bien l’expression développée. Ainsi, \(B(x) = -2(x-17)^2 + 338\).
4. Dans la forme canonique de \(B\), le coefficient multiplicateur devant le carré est \(-2\). Comme il est strictement négatif, la fonction \(B\) admet un maximum.
   Ce maximum se lit directement : il vaut \(338\) et est atteint lorsque la parenthèse s’annule, c’est-à-dire pour \(x=17\).
   Le bénéfice maximal s’élève donc à 338 centaines d’euros, soit 33 800 € (pour une production de 17 hectolitres).

1. Par construction, les triangles \(ALI\), \(BIJ\), \(CJK\) et \(DKL\) sont des triangles rectangles.
   Dans le triangle \(ALI\) rectangle en \(A\), on a \(AI = x\) et \(AL = AD – DL = 1 – x\).
   On observe que ces quatre triangles rectangles possèdent les mêmes longueurs de côtés adjacents à l’angle droit (\(x\) et \(1-x\)). Ils sont donc superposables et leurs hypoténuses sont toutes de même longueur : \(LI = IJ = JK = KL\).
   Le quadrilatère \(IJKL\) a quatre côtés de même longueur, c’est donc un losange.

   De plus, dans le triangle \(ALI\), les angles aigus sont complémentaires : \(\widehat{ALI} + \widehat{AIL} = 90^{\circ}\).
   Or, les triangles étant superposables, l’angle \(\widehat{BIJ}\) a la même mesure que \(\widehat{ALI}\).
   On a donc \(\widehat{BIJ} + \widehat{AIL} = 90^{\circ}\).
   Comme les points \(A, I\) et \(B\) sont alignés :
   \[ \widehat{LIJ} = 180^{\circ} – (\widehat{AIL} + \widehat{BIJ}) = 180^{\circ} – 90^{\circ} = 90^{\circ} \]
   Le losange \(IJKL\) possède un angle droit : c’est donc un carré.

2. L’aire du carré \(IJKL\) correspond à la longueur \(LI^2\).
   Dans le triangle \(ALI\) rectangle en \(A\), le théorème de Pythagore donne :
   \begin{eqnarray*}
   LI^2 &=& AL^2 + AI^2 \\
   LI^2 &=& (1-x)^2 + x^2 \\
   LI^2 &=& (1 – 2x + x^2) + x^2 \\
   LI^2 &=& 2x^2 – 2x + 1
   \end{eqnarray*}
   L’aire du quadrilatère \(IJKL\) est donc donnée par la fonction \(\mathcal{A}(x) = 2x^2 – 2x + 1\).
3. On développe l’expression de la forme canonique :
   \begin{eqnarray*}
   2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2} &=& 2\left(x^2 – 2 \times \dfrac{1}{2} \times x + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right) + \dfrac{1}{2} \\
   &=& 2\left(x^2 – x + \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{2} \\
   &=& 2x^2 – 2x + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2} \\
   &=& 2x^2 – 2x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \\
   &=& 2x^2 – 2x + 1
   \end{eqnarray*}
   On retrouve bien l’expression de l’aire obtenue à la question 2.
4. D’après la forme canonique \(\mathcal{A}(x) = 2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2}\), le coefficient multiplicateur devant le carré est 2.
   Étant strictement positif, l’expression admet un minimum.
   Ce minimum vaut \(\dfrac{1}{2}\) et il est atteint lorsque la quantité au carré s’annule, c’est-à-dire pour \(x=\dfrac{1}{2}\).
   L’aire du quadrilatère \(IJKL\) est donc minimale pour \(x=\dfrac{1}{2}\) (les points sont placés au milieu de chaque côté).

1. Le point \(M\) appartient à la droite \((d)\), donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite : \(y_M = 3x_M – 4\).
   Exprimons le carré de la distance \(AM\) à l’aide de la formule des distances dans un repère orthonormé :
   \begin{eqnarray*}
   AM^2 &=& (x_M – x_A)^2 + (y_M – y_A)^2 \\
   AM^2 &=& (x_M – (-4))^2 + (3x_M – 4 – 4)^2 \\
   AM^2 &=& (x_M + 4)^2 + (3x_M – 8)^2
   \end{eqnarray*}
   On développe à l’aide des identités remarquables :
   \begin{eqnarray*}
   AM^2 &=& (x_M^2 + 8x_M + 16) + ((3x_M)^2 – 2 \times 3x_M \times 8 + 8^2) \\
   AM^2 &=& x_M^2 + 8x_M + 16 + 9x_M^2 – 48x_M + 64 \\
   AM^2 &=& 10x_M^2 – 40x_M + 80
   \end{eqnarray*}
   On retrouve bien le résultat demandé.
2. On développe l’expression proposée à la question 2 :
   \begin{eqnarray*}
   10(x_M-2)^2 + 40 &=& 10(x_M^2 – 4x_M + 4) + 40 \\
   &=& 10x_M^2 – 40x_M + 40 + 40 \\
   &=& 10x_M^2 – 40x_M + 80
   \end{eqnarray*}
   On obtient bien la même expression pour \(AM^2\).
3. La distance \(AM\) est toujours positive. Ainsi, le point \(M\) est le plus proche de \(A\) lorsque la distance \(AM\) est minimale, ce qui revient à chercher quand son carré \(AM^2\) est minimal.
   D’après la forme canonique validée à la question 2, le coefficient devant le carré est 10 (strictement positif). La quantité \(AM^2\) admet donc un minimum qui vaut 40, atteint pour \(x_M = 2\).
   L’abscisse du point de la droite le plus proche de \(A\) est donc 2.
   Calculons son ordonnée correspondante :
   \[ y_M = 3 \times 2 – 4 = 6 – 4 = 2 \]
   Le point de la droite \((d)\) le plus proche du point \(A\) a pour coordonnées \(M(2 ; 2)\).