Soit \(x\) un réel.

• \(f_1(x)=(2x+3)^2=(2x)^2+2\times 2x \times 3 + 3^2=4x^2+12x+9\)
• \(f_2(x)=(3x-4)(3x+4)=(3x)^2-4^2=9x^2-16\)
• \(f_3(x)=\left(\dfrac{3}{2}x+\dfrac{4}{3}\right)^2=\left(\dfrac{3}{2}x\right)^2+2\times \dfrac{3}{2}x\times \dfrac{4}{3}+\left( \dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{9}{4}x^2+4x+\dfrac{16}{9}\)
• \(f_4(x)=(2x-1)^2+3=(2x)^2-2\times 2x \times 1 + 1^2-3)4x^2-4x-2\)
• \(f_5(x)=(5x+9)^2+\sqrt{7}^2=(5x)^2+2\times 5x \times 9 +9^2+7=25x^2+90x+88\)
• \(f_6(x)=(2x+\sqrt{5})^2+(3x)^2=(2x)^2+2\times 2x \times \sqrt{5}+\sqrt{5}^2+9x^2=13x^2+4\sqrt{5}x+5\)

1. L’adolescent laisse échapper son portable à \(t=0\). La hauteur vaut alors 15 mètres.
2. On résout l’équation \(h(t)=0\). Soit \(t\) un réel.
   \[h(t)=0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}gt^2+15=0\Leftrightarrow t^2=\dfrac{30}{g}\]
   L’équation admet deux solutions, \(t_1=\sqrt{\dfrac{30}{g}}\simeq 1.75\) et \(t_2=-\sqrt{\dfrac{30}{g}}\simeq-1.75\). A moins de vouloir remonter le temps, c’est la solution positive qui nous intéresse.

   Le téléphone s’écrasera au sol après environ 1.75 secondes.

1. On a \(f(-2)=(-2)^2+b\times(-2)+c=4-2b+c\) et \(f(3)=3^2+3b+c=9+3b+c\).
2. Il faut résoudre le système
   \(\left\{\begin{array}{rcl}4-2b+c&=&4\\9+3b+c&=&7\\\end{array} \right.\)

   \[\left\{\begin{array}{rcl}4-2b+c&=&4\\9+3b+c&=&7\\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c&=&2b\\3b+2b&=&-2\\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c&=&-\dfrac{4}{5}\\b&=&-\dfrac{2}{5}\\\end{array} \right.\]

   Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=x^2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{4}{5}\).

Pour tout réel \(x\), on a
\[f(x)= x^2+12x+15 = x^2+2\times 6 \times x + 36 -36 +15 = (x+6)^2-21\]

Pour tout réel \(x\), on a

\(\begin{array}{rcl}f(x)&=& 3x^2+24x+45\\& =& 3(x^2+8x+15)\\&=&3(x^2+2\times 4 \times x + 16-16+15)\\&=&3((x+4)^2-1)\\
&=&3(x+4)^2-3\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2+8x+7\\&=&x^2+8x+16-16+7\\&=&(x+4)^2-9\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) : \(g(x)=(x+3)^2\). On reconnaît directement une identité remarquable, c’est donc la forme canonique recherchée.

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}h(x)&=&2x^2+16x-4\\&=&2(x^2+8x-2)\\&=&2(x^2+8x+16-16-2)\\&=&2((x+4)^2-18)\\&=&2(x+4)^2-36\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}i(x)&=&-4x^2-16x+8\\&=&-4(x^2+4x-2)\\&=&-4(x^2+4x+4-4-2)\\&=&-4((x+2)^2-6)\\&=&-4(x+2)^2+24\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}j(x)&=&3x^2+5x-7\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x-\dfrac{7}{3}\right)\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}-\dfrac{25}{36}-\dfrac{7}{3}\right)\\&=&3\left(\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{109}{36}\right)\\&=&\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{109}{12}\end{array}\)

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}k(x)&=&2x^2+5x\\&=&2\left(x^2+\dfrac{5}{2}x\right)\\&=&2\left(x^2+\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}-\dfrac{25}{16}\right)\\&=&2\left(\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{25}{16}\right)\\&=&2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{25}{8}\end{array}\)

\(f\) admet un minimum en 4, celui-ci vaut 7

\(g\) admet un maximum en 5, celui-ci vaut -3

\(h\) admet un minimum en \(\dfrac{6}{5}\), celui-ci vaut \(\dfrac{3}{2}\)

\(i\) admet un maximum en 9, celui-ci vaut 0

Puisque \(5 > 4\) , on a alors, par croissance de la fonction Racine carrée sur \(\mathbb{R}+\), \(\sqrt{5}>\sqrt{4}\), c’est-à-dire \(\sqrt{5}>2\), soit \(\sqrt{5}-2>0\).
\(j\) admet un minimum en 2, celui-ci vaut 1

\(k\) admet un minimum en 0, celui-ci vaut 9

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2+6x+7\\&=&x^2+6x+9-9+7\\&=&(x+3)^2-2\end{array}\)

\(f\) admet un minimum en -3, celui-ci vaut -2

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}g(x)&=&-2x^2-4x+20\\&=&-2(x^2+2x-10)\\&=&-2(x^2+2x+1-1-10)\\&=&-2((x+1)^2-11)\\&=&-2(x+1)^2+22\end{array}\)

\(g\) admet un maximum en -1, celui-ci vaut 22.

Pour tout réel \(x\) :
\(\begin{array}{rcl}h(x)&=&3x^2+5x+14\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{14}{3}\right)\\&=&3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}-\dfrac{25}{36}+\dfrac{14}{3}\right)\\&=&3\left(\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{143}{36}\right)\\&=&3\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{143}{12}\\\end{array}\)

\(h\) admet un minimum en \(-\dfrac{5}{6}\), celui-ci vaut \(\dfrac{143}{12}\).

Pour tout réel \(x\) :

\(\begin{array}{rcl}i(x)&=&-5x^2+12x\\&=&-5\left(x^2-\dfrac{12}{5}x\right)\\&=&-5\left(x^2-\dfrac{12}{5}x+\dfrac{36}{25}-\dfrac{36}{25}\right)\\&=&-5\left(\left(x-\dfrac{6}{5}x\right)^2-\dfrac{36}{25}\right)\\&=&-5\left(x-\dfrac{6}{5}\right)^2+\dfrac{36}{5}\end{array}\)

\(i\) admet un maximum en \(\dfrac{6}{5}\), celui-ci vaut \(\dfrac{36}{5}\).

Courbe 1 : Appelons \(f\) la fonction représentée. On remarque que \(f\) admet un minimum en \(x=2\), ce minimum vaut \(-1\). La forme canonique de \(f(x)\) est donc de la forme \(a(x-2)^2-1\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

• D’après la courbe, \(f(0)=3\).
• D’après la formule, \(f(0)=a(0-2)^2-1=4a-1\).
• Ainsi, \(4a-1=3\), c’est-à-dire \(a=1\)

Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-2)^2-1\).

Courbe 2 : Appelons \(g\) la fonction représentée. On remarque que \(g\) admet un minimum en \(x=-1\), ce minimum vaut \(-2\). La forme canonique de \(g(x)\) est donc de la forme \(a(x+1)^2-2\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

• D’après la courbe, \(g(1)=0\).
• D’après la formule, \(g(1)=a(1+1)^2-2=4a-2\).
• Ainsi, \(4a-2=0\), c’est-à-dire \(a=\dfrac{1}{2}\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(g(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-2\).

Courbe 3 : Appelons \(h\) la fonction représentée. On remarque que \(h\) admet un maximum en \(x=1\), ce maximum vaut \(4\). La forme canonique de \(g(x)\) est donc de la forme \(a(x-1)^2+4\). Il reste à déterminer la valeur de \(a\).

• D’après la courbe, \(h(0)=2\).
• D’après la formule, \(h(0)=a(0-1)^2+4=a+4\).
• Ainsi, \(a+4=2\), c’est-à-dire \(a=-2\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(g(x)=-2(x-1)^2+4\).

1. La fonction est croissante puis décroissante. \(a\) est donc strictement négatif.
2. On remarque que \(f\) admet un maximum en \(x=4\). Ce maximum vaut \(5\). La forme canonique de \(f(x)\) est donc de la forme \(a(x-4)^2+5\). Reste à déterminer la valeur de \(a\).
   • D’après le tableau, \(f(6)=3\).
   • D’après la formule, \(f(6)=a(6-4)^2+5=4a+5\)
   • Ainsi, \(4a+5=3\), soit \(a=-\dfrac{1}{2}\)

   On a donc, pour tout réel \(x\), \(f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+5\)

3. Pour tout réel \(x\),

   \[f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+5=-\dfrac{1}{2}x^2+4x+3\]