Fonctions polynômes du second degré

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Fonctions polynômes du second degré

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\). On dit que \(f\) est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombres réels, \(a\), \(b\) et \(c\), avec \(a\neq 0\), tels que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Cette forme s’appelle la forme développée de \(f\). Les réels \(a\), \(b\) et \(c\) sont les coefficients du polynôme \(ax^2+bx+c\).

Dans toute la suite du chapitre, \( a\), \( b\) et \( c\) désignent des réels tels que \(a\neq 0\).

Exemple : La fonction \(f\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=8x^2-4x+\sqrt{5}\) est une fonction polynôme du second degré.

Exemple : La fonction \(g\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(g(x)=2(x-3)(x+7)\) est une fonction polynôme du second degré. En effet, pour tout réel \(x\), \(g(x)=(2x-6)(x+7)=2x^2+14x-6x-42=2x^2+8x-42\).

On parle également de trinôme du second degré

Forme canonique

Soit \( f:x\mapsto ax^2+bx+c\) une fonction polynôme du second degré. Il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que pour tous réels \(x\), $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$ Cette forme s’appelle la forme canonique du polynôme \(ax^2+bx+c\).

Soit \(x\in\mathbb{R}\). Puisque \(a\neq 0\), on peut écrire que
$$f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$$
On va alors faire « apparaître » une identité remarquable dans la parenthèse.
$$f(x)=a\left(x^2+\color{red}{2}\times\frac{b}{\color{red}{2}a}x\color{red}{+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2}+\frac{c}{a}\right)$$
En effet, on sait que :
$$x^2+2\times\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$
Ainsi,
$$f(x)=a\left( \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right)$$
Ce qui donne en distribuant \(a\) :
$$f(x)=a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 – a\times \left( \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}\right)$$
Ou encore :
$$f(x)=a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}$$
Finalement, en posant \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \), on obtient la forme recherchée.

Exemple : Pour tout \( x\in\mathbb{R}\) , on pose \(f(x)=2x^2-12x-8\). On a alors :
\begin{eqnarray*}f(x)&=&2(x^2-6x-4)\\
&=&2(x^2-2\times 3 \times x \color{red}{+ 3^2 – 3^2} -8)\\
&=&2((x-3)^2-17)\\
&=&2(x-3)^2-34\\ \end{eqnarray*}

Cliquer ici pour s’entraîner : forme canonique

Variations et extremum

On considère deux réels \(\alpha\) et \(\beta\). Soit \(f\) une fonction définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\). \(f\) admet le tableau de variations suivant, selon le signe de \(a\) :

Si \(a>0\) Si \(a<0\)

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\(f\) admet un minimum en \(x=\alpha\). \(f\) admet un maximum en \(x=\alpha\).
Ce minimum vaut \(\beta\). Ce maximum vaut \(\beta\).

Influence des paramètres \(a\), \(\alpha\) et \(\beta\) de la forme canonique : faites varier les valeurs de ces paramètres en utilisant les curseurs ci-dessous.

On traite le cas \(a>0\). On rappelle par ailleurs ce résultat de la classe de Seconde : la fonction \(x\mapsto x^2\), définie sur \(\mathbb{R}\), est strictement décroissante sur \( ]-\infty;0]\) et strictement croissante sur \( [0;+\infty[\). De fait, on considère deux réels \(x_1\) et \(x_2\) tels que \( \alpha < x_1 <x_2\). On a alors :
$$0 < x_1 – \alpha < x_2-\alpha$$
Ainsi, par croissance de la fonction \(x\mapsto x^2\) sur \( [0;+\infty[\) :
$$(x_1-\alpha)^2 < (x_2-\alpha)^2$$
Finalement, puisque \(a>0\),
$$a(x_1-\alpha)^2+\beta < a(x_2-\alpha)^2+\beta$$
C’est-à-dire \(f(x_1)<f(x_2) \). La fonction \(x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta\) est donc strictement croissante sur \( [\alpha;+\infty[\).
De manière analogue, en utilisant cette fois la décroissance de la fonction Carré sur \( ]-\infty;0]\) , on en déduit que la fonction \(x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta\) est strictement décroissante sur \( ]-\infty;\alpha]\) .

Pour vous entraîner, n’hésitez pas à faire le cas \(a<0\).

Exemple : On souhaite étudier les variations de la fonction \(f:x\mapsto 3x^2+18x+33\) définie sur \(\mathbb{R}\). On va pour cela utiliser la forme canonique. Pour tout réel \(x\), on a :
\begin{eqnarray*} f(x)&=& 3x^2+18x+33\\ &=& 3( x^2+6x+11)\\ &=& 3(x^2+6x\textbf{ + 9 – 9 }+11)\\ &=& 3[(x+3)^2+2]\\ &=&3(x+3)^2+6\\ &=&3(x-(-3))^2+6 \end{eqnarray*}
On construit ainsi le tableau de variations de \(f\).


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Cliquer ici pour s’entraîner : Variations d’un trinôme

Exemple : On considère la fonction \(f\) dont la représentation graphique dans un repère orthonormé est donnée ci-contre.

  • Le sommet de la parabole se trouve en \( (\color{red}{1};\color{blue}{-2})\). Il existe donc un réel \(a\) non nul tel que pour tout réel \(x\), \(f(x)=a(x-\color{red}{1})^2+(\color{blue}{-2})\)
  • Regardons en \(x=0\)
    • D’après le graphique, \(f(0)=0\)
    • D’après la formule, \(f(0)=a\times (0-1)^2-2=a-2\)
    • Ainsi, \(a-2=0\). On en déduit que \(a=2\)
  • Finalement, pour tout réel \(x\)
$$f(x)=2(x-1)^2-2$$

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Cliquer pour s’entraîner : exploiter une parabole

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