Exercices corrigés : Dérivation locale

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Taux de variation

On considère la fonction \(f:x\mapsto x^2+3x-4\) définie sur \(\mathbb{R}\)

  1. Calculer le taux de variation de la fonction \(f\) entre 2 et 5.
  2. Calculer le taux de variation de la fonction \(f\) entre -4 et 1.
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On a
\[T_f (2 ;5)=\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}=\dfrac{36-6}{5-2}=\dfrac{30}{3}=10\]
et
\[T_f (-4 ;1)=\dfrac{f(1)-f(-4)}{1-(-4)}=\dfrac{0-0}{1-(-4)}=\dfrac{0}{5}=0\]

On considère une fonction \(f\) définie sur \([-3;3]\) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

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  1. Cette fonction semble-t-elle paire, impaire, ni l’un ni l’autre ?
  2. Déterminer graphiquement le taux de variation de \(f\) entre -2 et 2.
  3. Déterminer graphiquement le taux de variation de \(f\) entre -3 et 1.
  4. Déterminer graphiquement le taux de variation de \(f\) entre -1 et 2.
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  1. Cette fonction semble impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
  2. \(T_f (-2 ;2)=\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\dfrac{2-(-2)}{2-(-2)}=\dfrac{4}{4}=1\)
  3. \(T_f (-3 ;1)=\dfrac{f(1)-f(-3)}{1-(-3)}=\dfrac{-1-3}{1-(-3)}=\dfrac{-4}{4}=-1\)
  4. \(T_f (-1 ;2)=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\dfrac{2-1}{2-(-1)}=\dfrac{1}{3}\)
On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{1}{x^2-2x+3}\)

  1. Déterminer le domaine de définition de \(f\)
  2. Calculer le taux de variation de la fonction \(f\) entre 1 et 3.
  3. Calculer le taux de variation de la fonction \(f\) entre -5 et -2.
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\(f\) est définie pour tout réel \(x\) tel que \(x^2-2x+3\neq 0\). Or, le discriminant de ce polynôme vaut \((-2)^2-4\times 3\times 1 = -8 <0\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(x^2-2x+3\neq 0\). La fonction \(f\) est donc définie sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, \[T_f (1 ;3)=\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}}{3-1}=\dfrac{-\dfrac{1}{3}}{2}=-\dfrac{1}{6}\] et \[T_f (-5 ;-2)=\dfrac{f(-2)-f(-5)}{-2-(-5)}=\dfrac{\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{38}}{-2-(-5)}=\dfrac{\dfrac{27}{418}}{3}=\dfrac{9}{418}\]

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\)

  1. Montrer que si \(f\) est affine, alors pour tous réels distincts \(x_1\) et \(x_2\), le taux de variation de \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) est égal au coefficient directeur de la fonction \(f\).
  2. Réciproquement, montrer que s’il existe \(m\in\mathbb{R}\) tel que, pour tous réels distincts \(x_1\) et \(x_2\) , \(\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=m\), alors \(f\) est affine, de coefficient directeur \(m\).
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Soit \(f\) une fonction affine. Il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout \(x\), \(f(x)=ax+b\). Prenons donc deux réels distincts \(x_1\) et \(x_2\). Alors,
\[T_f (x_1 ;x_2)=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{ax_2+b-(ax_1+b)}{x_2-x_1}=\dfrac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a\]

Réciproquement, supposons qu’il existe un réel \(a\) tel que, pour tous réels distincts \(x_1\) et \(x_2\), \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a\).
En particulier, en prenant \(x_1=0\) et \(x_2=x\) différent de 0, on a \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=a\).

Ainsi, on a \(f(x)=ax+f(0)\). En posant \(b=f(0)\), on a que pour tout réel \(x\) différent de 0, \(f(x)=ax+b\).

On a par ailleurs bien \(f(0)=b\), cette définition s’étend donc en \(x=0\).
Finalement, \(f\) est une fonction affine.

Nombre dérivé

Soit \(h\) un réel. Simplifier les expressions suivantes

  • \(A(h)=(3+h)^2-9\)
  • \(B(h)=\dfrac{1}{2(4+h)}-\dfrac{1}{8}\quad\text{pour }h\neq -4\)
  • \(C(h)=\dfrac{(h-4)^2+3(h-4)-4}{h}\quad\text{pour }h\neq 0\)
  • \(D(h)=(2+h)^2-5(2+h)+6\)
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  • \(A(h)=3^2+6h+h^2-9=6h+h^2\)
  • \(B(h)=\dfrac{4}{8(4+h)}-\dfrac{(4+h)}{8(4+h)}=\dfrac{-h}{8(4+h)}\)
  • \(C(h)=\dfrac{h^2-8h+16+3h-12-4}{h}=\dfrac{-5h+h^2}{h}=\dfrac{h(-5+h)}{h}=h-5\)
  • \(D(h)=4+4h+h^2-10-5h+6=-h+h^2\)
On considère la fonction \(f:x\mapsto x^2+3x-4\), définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Soit \(h\) un réel non nul. Calculer le taux de variation de \(f\) entre 0 et \(0+h\).
  2. En déduire que \(f\) est dérivable en 0. Que vaut \(f'(0)\) ?
  3. Montrer que \(f\) est dérivable en 4 et calculer \(f'(4)\).
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\[\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^2+3h-4-(-4)}{h}=\dfrac{3h+h^2}{h}=\dfrac{h(3+h)}{h}=3+h\]

Lorsque \(h\) se rapproche de 0, \(3+h\) se rapproche de 3. \(f\) est donc dérivable en 0 et \(f'(0)=3\).

Soit \(h\) un réel non nul.
\[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}&=&\dfrac{(4+h)^2+3(4+h)-4-24}{h}\\&=&\dfrac{16+8h+h^2+12+3h-4-24}{h}&=&\dfrac{11h+h^2}{h}\\&=&\dfrac{h(11+h)}{h}=11+h\end{eqnarray*}\]
Lorsque \(h\) se rapproche de 0, \(11+h\) se rapproche de 11. \(f\) est donc dérivable en 4 et \(f'(4)=11\).

On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{1}{x^2+1}\), définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Soit \(h\) un réel non nul. Calculer le taux de variation de \(f\) entre 2 et \(2+h\).
  2. En déduire que \(f\) est dérivable en 2. Que vaut \(f'(2)\) ?
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Soit \(h\) un réel non nul.
\[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}&=&\dfrac{1}{h}\times\left(\dfrac{1}{(2+h)^2+1}-\dfrac{1}{5}\right)\\&=&\dfrac{1}{h}\times\left(\dfrac{1}{5+4h+h^2}-\dfrac{1}{5}\right)\\&=&\dfrac{1}{h}\times \dfrac{5-(5+4h+h^2)}{5(5+4h+h^2)}\\&=&\dfrac{1}{h}\times \dfrac{-4h-h^2}{25+20h+5h^2}\\&=&\dfrac{-4-h}{25+20h+5h^2}\end{eqnarray*}\]

Lorsque $h$ se rapproche de 0, $\dfrac{-4-h}{25+20h+5h^2}$ se rapproche de $-\dfrac{4}{25}$. $f$ est donc dérivable en 2 et $f'(2)=-\dfrac{4}{25}$.

Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction \(f\), définie sur \(I\), est dérivable en \(a\) et calculer \(f'(a)\)

  • \(f:x\mapsto 7.4x-22.8\), avec \(I=\mathbb{R}\) et \(a=\pi\)
  • \(h:x\mapsto 3x^2+2x\), avec \(I=\mathbb{R}\) et \(a=-2\)
  • \(f:x\mapsto \dfrac{1}{3-x}\), avec \(I=]3:+\infty[\) et \(a=4\)
  • \(f:x\mapsto \dfrac{1}{x^2}\), avec \(I=]-\infty;0[\) et \(a=-2\)
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  • Soit \(h\) un réel non nul.
    \[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(\pi+h)-f(\pi)}{h}&=&\dfrac{7.4(\pi+h)-22.8-(7.4\pi-22.8)}{h}\\&=&\dfrac{7.4h}{h}\\&=&7.4\end{eqnarray*}\]
    \(f\) est donc dérivable en \(\pi\) et \(f'(\pi)=7.4\).
  • Soit \(h\) un réel non nul.
    \[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}&=&\dfrac{3(-2+h)^2+2(-2+h)-8}{h}\\&=&\dfrac{12-12h+3h^2-4+2h-8}{h}\\&=&\dfrac{-10h+3h^2}{h}\\&=&-10+3h\end{eqnarray*}\]
    \(f\) est donc dérivable en \(-2\) et \(f'(-2)=-10\).
  • Soit \(h\) un réel non nul.
    \[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}&=&\dfrac{1}{h}\times \left( \dfrac{1}{3-(4+h)} – (-1)\right)=\dfrac{1}{h}\times \dfrac{-h}{-1-h}\\&=&\dfrac{-1}{-1-h}\end{eqnarray*}\]
    \(f\) est donc dérivable en \(4\) et \(f'(4)=1\).
  • Soit \(h\) un réel non nul.
    \[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}&=&\dfrac{1}{h}\times \left( \dfrac{1}{(-2+h)^2} – \dfrac{1}{4}\right)\\&=&\dfrac{1}{h}\times \dfrac{4-(-2+h)^2}{4(-2+h)^2}\\&=&\dfrac{1}{h}\times\dfrac{4h-h^2}{16-16h+4h^2}\\&=&\dfrac{4-h}{16-16h+4h^2}\end{eqnarray*}\]
    \(f\) est donc dérivable en \(-2\) et \(f'(-2)=\dfrac{1}{4}\).
Un véhicule roule en ligne droite. La distance, exprimée en mètres, parcourue par ce véhicule en fonction du temps \(t\), exprimé en secondes, vaut \(d(t)=2t^2+t\).

  1. Que vaut \(d(5)\) ? Que représente cette valeur ?
  2. Soit \(h\in\mathbb{R}\setminus \{0\}\). Calculer la vitesse moyenne du véhicule entre les temps \(5\) et \(5+h\)
  3. En déduire la vitesse instantanée du véhicule au temps \(t=5\)
  4. Calculer la vitesse instantanée du même véhicule au temps \(t=7\)
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\(d(5)=2\times 5^2+5=55\). En 5 secondes, le véhicule parcourt 55 mètres.

Soit \(h\in\mathbb{R}\setminus \{0\}\)

\[\begin{eqnarray*} \dfrac{d(5+h)-d(5)}{h}&=&\dfrac{2(5+h)^2+5+h-55}{h}\\&=&\dfrac{50+20h+2h^2+5+h-55}{h}\\&=&\dfrac{21h+2h^2}{h}\\&=&21+2h\end{eqnarray*}\]

On fait tendre \(h\) vers 0 : la vitesse instantanée après 5 secondes est de 21 mètres par secondes.

Soit \(h\) un réel non nul.
\[\begin{eqnarray*} \dfrac{d(7+h)-d(7)}{h}&=&\dfrac{2(7+h)^2+7+h-105}{h}\\&=&\dfrac{98+28h+2h^2+7+h-105}{h}\\&=&\dfrac{29h+2h^2}{h}\\&=&29+2h\end{eqnarray*}\]
La vitesse après 7 secondes est donc de 29 mètres par seconde.

On considère la fonction \(f:x\mapsto x^3\), définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Montrer que \(f(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
  2. En déduire que \(f\) est dérivable en 1. Que vaut \(f'(1)\) ?
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\[\begin{eqnarray*}(a+b)^3&=&(a+b)(a+b)^2\\&=&(a+b)(a^2+2ab+b^2)\\&=&a^3+2a^2b++ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\\&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\end{eqnarray*}\]

Soit \(h\) un réel non nul,
\[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=&\dfrac{1+3h+3h^2+h^3-1}{h}\\&=&\dfrac{3h+3h^2+h^3}{h}\\&=&3+3h+h^2\end{eqnarray*}\]
Ainsi, \(f\) est dérivable en 1 et \(f'(1)=3\).

La fonction \(f:x\mapsto \left|2x-6\right|\), définie sur \(\mathbb{R}\), est-elle dérivable en 3 ?
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Soit \(h\) un réel non nul,

  • Si \(h>0\), alors \(3+h>3\) d’où \(2(3+h)-6>0\). Ainsi, \(f(3+h)=2(3+h)-6=2h\). On a donc
    \[\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{2h}{h}=2\]
  • Si \(h<0\), alors \(3+h<3\) d'où \(2(3+h)-6<0\). Ainsi, \(f(3+h)=-2((3+h)-6)=-2h\). On a donc \[\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{-2h}{h}=-2\]
  • Selon le signe de \(h\), le taux de variation entre \(3\) et \(3+h\) ne se rapproche pas de la même valeur. \(f\) n’est donc pas dérivable en 3.

Tangente à une courbe

(*) On considère une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. Les tangentes à la courbe en \(x=-1\) et \(x=1\) sont également tracées.

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  1. Cette fonction semble-t-elle paire, impaire, ni l’un ni l’autre ?
  2. Déterminer graphiquement \(f'(-1)\) et \(f'(1)\)
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Cette fonction n’est ni paire, ni impaire. En effat, \(f(1)=0\). Si \(f\) était paire, on aurait \(f(-1)=f(1)=0\). Si \(f\) était impaire, on aurait \(f(-1)=-f(1)=0\). Or, \(f(-1)=1\).

On regarde les coefficients directeurs des tangentes. On a \(f'(-1)=-1\) et \(f'(1)=1\)

On considère une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. La tangente à la courbe en \(x=3\) est également tracée.

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  1. Déterminer graphiquement le taux de variation de \(f\) entre 0 et 3.
  2. Déterminer graphiquement \(f'(3)\)
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  1. Le taux de variation de \(f\) entre 0 et 3 vaut \(\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=\dfrac{2-(-1)}{3-0}=1\)
  2. \(f'(3)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 3. Ainsi, \(f'(3)=-2\).
On considère une fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\), dérivable en \(2\). La tangente à la courbe représentative de \(f\) passe par le point de coordonnées \((1;-3)\). On sait de plus que \(f(2)=11\). Déterminer la valeur de \(f'(2)\)
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On sait que la tangente à la courbe en 2 est une droite. Son équation est de la forme \(y=ax+b\). On sait de plus que le coefficient directeur de cette droite est égal à \(f'(2)\)

  • La droite passe par le point de coordonnées \((1;-3)\).
  • La tangente en 2 passe par le point de coordonnées \((2;f(2))\), c’est-à-dire \((2,11)\)
  • Le coefficient directeur de cette tangente est donc \(\dfrac{11-(-3)}{2-1}=14\). Ainsi, \(f'(2)=14\).
On considère une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. Les tangentes à la courbe en \(x=-4\) et en \(x=6\) sont également tracées.

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  1. Déterminer graphiquement le taux de variation de \(f\) entre \(-2\) et \(6\).
  2. Déterminer graphiquement \(f'(-4)\) et \(f'(6)\).
  3. La fonction \(f\) semble-t-elle dérivable en 0 ? Pourquoi ?
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Le taux de variation de \(f\) entre \(-2\) et \(6\) vaut \(\dfrac{1}{2}\)

\(f'(-4)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe à l’abscisse \(-4\) : on a donc \(f'(-4) = -1\). Par ailleurs, \(f'(6)=2\)

La fonction ne semble pas dérivable en 0 : il y a un « pic » à cet endroit.

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et dérivable en \(-3\). La tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(x=-3\) passe par les points de coordonnées \((2;-4)\) et \((-5;9)\). Calculer \(f(-3)\) et \(f'(-3)\).
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On sait que la tangente à la courbe en -3 est une droite. Son équation est de la forme \(y=ax+b\). On sait de plus que le coefficient directeur de cette droite est égal à \(f'(-3)\).

La droite passe par les points de coordonnées \((2;-4)\) et \((-5;9)\). On peut calculer le coefficient directeur de cette droite : \[\dfrac{9-(-4)}{-5-2}=-\dfrac{13}{7}\]
On a donc \(f'(-3)=-\dfrac{13}{7}\). L’équation de la tangente est donc de la forme \(y=-\dfrac{13}{7}x+b\)

Le point de coordonnées \((2;-4)\) est sur cette droite, ces coordonnées vérifient donc l’équation de la droite. On a alors \[-4=-\dfrac{13}{7}\times 2 + b\]
Ainsi, \(b=-4+\dfrac{26}{7}=-\dfrac{2}{7}\)

L’équation de la tangente est donc \(y=-\dfrac{13}{7}x-\dfrac{2}{7}\)

La tangente en -3 passe par le point de coordonnées \((-3;f(-3))\). On remplace donc \(x\) par -3.
\[f(-3)=-\dfrac{13}{7}\times (-3)-\dfrac{2}{7}=\dfrac{37}{7}\]

On considère une fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\), dérivable en 2. On sait que \(f(2)=3\) et \(f'(2)=5\). Donner une équation réduite de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(x=2\).
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L’équation de la tangente à la courbe en \(a\) est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Ici, \(a=2\).
La tangente en \(2\) a donc pour équation \(y=5(x-2)+3\) soit \(y=5x-7\)

On considère la fonction \(f:x\mapsto 2x^2+5x-3\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Soit \(h\) un réel non nul. Montrer que le taux de variation de \(f\) entre 3 et \(3+h\) vaut \(17+2h\)
  2. En déduire que \(f\) est dérivable en 3 et déterminer \(f'(3)\).
  3. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse 3.
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On a
\[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}&=&\dfrac{2(3+h)^2+5(3+h)-3-30}{h}\\&=&\dfrac{18+12h+2h^2+15+5h-3-30}{h}\\&=&\dfrac{17h+2h^2}{h}\\&=&17+2h\end{eqnarray*}\]

Lorsque \(h\) se rapproche de 0, \(17+2h\) se rapproche de 17. \(f\) est donc dérivable en 3 et \(f'(3)=17\)

L’équation de la tangente à la courbe en \(a\) est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Ici, \(a=3\).
La tangente en \(3\) a donc pour équation \(y=17(x-3)+30\) soit \(y=17x-21\)

On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{1}{2x-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus \left\{ \dfrac{1}{2}\right\}\). Montrer que \(f\) est dérivable en 2 puis déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse 2.
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Soit \(h\) un réel non nul.
\[\begin{eqnarray*}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}&=&\dfrac{1}{h}\times \left(\dfrac{1}{3+2h}-\dfrac{1}{3}\right)\\&=&\dfrac{1}{h}\times \dfrac{-2h}{3(3+2h)}\\&=&\dfrac{-2}{9+6h}\end{eqnarray*}\]`

Lorsque \(h\) se rapproche de 0, cette quantité se rapproche de \(-\dfrac{2}{9}\). Ainsi, \(f\) est dérivable en \(2\) et \(f'(2)=-\dfrac{2}{9}\).

L’équation de la tangente à la courbe en \(a\) est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Ici, \(a=2\).
La tangente en \(3\) a donc pour équation \(y=-\dfrac{2}{9}(x-2)+\dfrac{1}{3}\) soit \(y=-\dfrac{2}{9}x+\dfrac{7}{9}\)

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