Dérivabilité sur un intervalle
- Soit \(x\in \mathbb{R}\) et \(h\) un réel non nul. Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x\) et \(x+h\).
- En déduire que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et donner une expression algébrique de sa dérivée \(f’\).
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On a \(f(x+h)=5(x+h)^2+3(x+h)-7=5(x^2+2xh+h^2)+3x+3h-7=5x^2+3x-7+10xh+3h+5h^2\).
Ainsi, \(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{5x^2+3x-7+10xh+3h+5h^2-(5x^2+3x-7)}{h}=\dfrac{10xh+3h+5h^2}{h}=10x+3+5h\)
Lorsque \(h\) se rapproche de 0, cette quantité se rapproche de \(10x+3\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=10x+3\).
- Soit \(x\in \mathbb{R}\) et \(h\) un réel non nul. Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x\) et \(x+h\). On rappellera à tout hasard que \(x^4=(x^2)^2\) et que les identités remarquables sont de redoutables alliées.
- En déduire que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et donner une expression algébrique de sa dérivée \(f’\).
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On a \[(x+h)^4-x^4=((x+h)^2)^2-(x^2)^2=((x+h)^2-x^2)((x+h)^2+x^2)=(x^2+2xh+h^2-x^2)(x^2+2xh+h^2+x^2)\]
Ainsi, \[(x+h)^4-x^4=(2xh+h^2)(2x^2+2xh+h^2)=4x^3h+4x^2h^2+2xh^3+2x^2h^2+2xh^3+x^4\]
et finalement,
\[\dfrac{(x+h)^4-x^4}{h}=4x^3+4x^2h+2xh^2+2x^2h+2xh^2+h^3\]
Lorsque \(h\) se rapproche de 0, cette quantité se rapproche de \(4x^3\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=4x^3\).
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Soit \(x\) un réel strictement positif et \(h\) un réel non nul tel que \(x+h > 0\). On a alors
\[ \dfrac{1}{(x+h)^2}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-(x+h)^2}{x^2(x+h)^2}=\dfrac{x^2-(x^2+2xh+h^2)}{x^2(x+h)^2}=\dfrac{-2xh-h^2)}{x^2(x+h)^2}\]
Ainsi,
\[\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{-2xh-h^2)}{hx^2(x+h)^2}=\dfrac{-2x-h)}{x^2(x+h)^2}\]
Lorsque \(h\) se rapproche de 0, cette quantité se rapproche de \(-\dfrac{2x}{x^4}\) soit \(-\dfrac{2}{x^3}\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\), de dérivée \(f’:x\mapsto \dfrac{-2}{x^3}\). Le même raisonnement vaut également sur l’intervalle \(]-\infty;0[\).
| \(f_1:x\mapsto 5x+4\) | \(f_2:x\mapsto x^9\) | \(f_3:x\mapsto 10-8x\) |
| \(f_4:x\mapsto \pi\) | \(f_5:x\mapsto \dfrac{1}{x^4}\) | \(f_6:x\mapsto \sqrt{x}\) |
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- \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), \(f’_1(x)=5\).
- \(f_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=9x^8\).
- \(f_3\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), \(f’_3(x)=-8\).
- \(f_4\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), \(f’_4(x)=0\).
- \(f_5\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_5(x)=-\dfrac{4}{x^5}\).
- \(f_6\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel strictement positif \(x\), \(f’_6(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
Dérivée d’une somme
| \(f_1:x\mapsto 3x^2-9x+4\) | \(f_2:x\mapsto \sqrt{2}x^9+8x^7+3x^2\) | \(f_3:x\mapsto \dfrac{3}{x}-x^2\) |
| \(f_4:x\mapsto \pi x^5+3x-\dfrac{2}{x}\) | \(f_5:x\mapsto x^2+\dfrac{1}{x^2}\) | \(f_6:x\mapsto 5x+\sqrt{x}\) |
| \(f_7:x\mapsto x^7+\dfrac{5}{x^7}\) | \(f_8:x\mapsto x^4+3\sqrt{3}-\dfrac{1}{2x}\) | \(f_9:x\mapsto \dfrac{x^8+x^5+x^2}{x^3}\) |
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- \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), \(f’_1(x)=3\times 2x-9=6x-9\).
- \(f_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=9\sqrt{2}x^8+56x^6+6x\).
- \(f_3\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_3(x)=-\dfrac{3}{x^2}-2x=\dfrac{-3-2x^3}{x^2}\).
- \(f_4\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_4(x)=5\pi x^4+3+\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{5\pi x^6+3x^2+2}{x^2}\).
- \(f_5\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_5(x)=2x-\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{2x^4-2}{x^3}\).
- \(f_6\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel \(x > 0\), \(f’_6(x)=5+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{10\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\).
- \(f_7\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_7(x)=7x^6-\dfrac{7}{x^8}=\dfrac{7x^{14}-7}{x^8}\).
- \(f_8\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_8(x)=4x^3+\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{4x^5+1}{2x^2}\).
- Pour tout réel non nul \(x\), \(f_9(x)=\dfrac{x^8}{x^3} + \dfrac{x^5}{x^3} + \dfrac{x^2}{x^3}=x^5+x^2+\dfrac{1}{x}\).
\(f_9\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_9(x)=5x^4+2x-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{5x^6+2x^3-1}{x^2}\).
- Déterminer le domaine de définition \(D\) et le domaine de dérivabilité de \(f\).
- Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse -1.
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La fonction \(f\) est définie et dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\).
Pour tout réel non nul \(x\), \(f'(x)=3-\dfrac{1}{x^2}\).
La tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse -1 a pour équation réduite \(y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)\). Or, \(f(-1)=3\times (-1)+\dfrac{1}{-1}=-3-1=-4\) et \(f'(-1)=3-\dfrac{1}{(-1)^2}=3-1=2\). Cette tangente a donc pour équation \(y=2(x+1)-4\) soit \(y=2x-2\).
- Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse 2.
- En quelles abscisses la tangente à la courbe représentative de \(f\) est-elle horizontale ?
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\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=3x^2-2\). La tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse 2 a pour équation réduite \(y=f'(2)(x-2)+f(2)\). Or, \(f(2)=2^3-2\times 2 -4=0\) et \(f'(2)=3 \times 2^2-2=10\). Cette tangente a donc pour équation \(y=10(x-2)\) soit \(y=10x-20\).
Soit \(x\) un réel. Dire que la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(x\) est horizontale revient à dire que \(f'(x)=0\). Or, \(f'(x)=0\) si et seulement si \(3x^2-2=0\) soit \(x^2=\dfrac{2}{3}\) et donc \(x=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\) et \(x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\).
- \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) ; donner une expression de sa dérivée \(f’\).
- Déterminer une équation de la tangente à la courbe de \(f\) en 1.
- Déterminer, par le calcul, si la courbe de \(f\) admet des tangentes horizontales. En quelles valeurs de \(x\) se situent-elles ?
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Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=3x^2+9x-30\).
La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 1 a pour équation \(y=f'(1)(x-1)+f(1)\). Or, \(f'(1)=3 \times 1^2+9 \times 1 -30=-18\) et \(f(1)=1^3+\dfrac{9}{2} \times 1^2-30 \times 1 +7 = -\dfrac{35}{2}\). Cette tangente a donc pour équation \(y=-18(x-1)-\dfrac{35}{2}\) soit \(y=-18x+\dfrac{1}{2}\).
Soit \(x\) un réel. Dire que la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(x\) est horizontale revient à dire que \(f'(x)=0\). Or, \(f'(x)=0\) si et seulement si \(3x^2+9x-30=0\) ou encore \(x^2+3x-10=0\) (en simplifiant par 3). Il s’agit d’une équation polynomiale du second degré. Le discriminant de \(x^2+3x-10\) vaut \(3^2-4\times (-10) \times 1 = 49 > 0\). Cette équation admet donc deux solutions qui sont \(x_1= \dfrac{-3-7}{2 \times 1}=-5\) et \(x_1= \dfrac{-3+7}{2 \times 1}=2\). La courbe de \(f\) admet des tangentes horizontales aux abscisses \(-5\) et \(2\).
\[C(q)=q^3-12q^2+72q\]
- Soit \(q\in\mathbb{N}\). Calculer \(C(q+1)-C(q)\).
- Calculer \(C'(q)\).
- On appelle erreur marginale la quantité \(C'(q)-C_m(q)\) : ceci représente l’erreur que l’on commet lorsque l’on assimimile le coût marginal à la dérivée de la fonction de coût. Calculer cette erreur marginale.
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D’une part, \[(q+1)^3=(q+1)(q+1)^2=(q+1)(q^2+2q+1)=q^3+2q^2+q+q^2+2q+1=q^3+3q^2+3q+1\]
Ainsi, \[C(q+1)=q^3+3q^2+3q+1-12(q^2+2q+1)+72(q+1)=q^3-9q^2+51q+61\]
et donc
\[C(q+1)-C(q)=q^3-9q^2+51q+61-(q^3-12q^2+72q)=3q^2-21q+61\]
Par ailleurs, pour tout réel \(q\), on a \(C'(q)=3q^2-24q+72\).
Ainsi, l’erreur marginale pour \(q\) objets fabriqués vaut \(3q^2-21q+61-(3q^2-24q+72)\) soit \(3q-11\).
| \(f_1:x\mapsto 8x^2-14x+7\) sur \(\mathbb{R}\) | \(f_2:x\mapsto 3x^7+5x^3\) sur \(\mathbb{R}\) |
| \(f_3:x\mapsto\dfrac{3}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) | \(f_4:x\mapsto 74x+149\) sur \(\mathbb{R}\) |
| \(f_5:x\mapsto -\dfrac{2}{x^3}\) sur \(]0;+\infty[\) | \(f_6:x\mapsto 4x^7-\dfrac{1}{5x^2}\) sur \(]-\infty;0[\) |
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- Pour tout réel \(x\), \(f’_1(x)=16x-14\) et \(f^{\prime\prime}_1(x)=16\).
- Pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=21x^6+15x^2\) et \(f^{\prime\prime}_2(x)=126x^5+30x\).
- Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_3(x)=-\dfrac{3}{x^2}\) et \(f^{\prime\prime}_3(x)=\dfrac{6}{x^3}\).
- Pour tout réel \(x\), \(f’_4(x)=74\) et \(f^{\prime\prime}_4(x)=0\).
- Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_5(x)=\dfrac{6}{x^4}\) et \(f^{\prime\prime}_5(x)=-\dfrac{24}{x^5}\).
- Pour tout réel non nul \(x\), \(f’_6(x)=28x^6+\dfrac{2}{5x^3}\) et \(f^{\prime\prime}_6(x)=168x^5-\dfrac{6}{5x^4}\).
graphique de \(f\) est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.
- Déterminer graphiquement les solutions de l’équation \(f'(x)=0\).
- Pour tout réel \(x\), calculer \(f'(x)\).
- Résoudre par le calcul l’équation \(f'(x)=0\).
- Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) en 0.
- Tracer cette tangente sur le graphique.
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Les solutions de l’équation \(f'(x)=0\) semblent être \(-2\) et \(1\).
Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x-1\). Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant vaut \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-4 \times \dfrac{1}{2} \times (-1)=\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}>0\). Ce polynôme admet donc deux racines réelles qui sont
\[x_1=\dfrac{-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}}}{2 \times \frac{1}{2}} = \dfrac{-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{1}=-\dfrac{4}{2}=-2\]
et
\[x_2=\dfrac{-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}}{2 \times \frac{1}{2}} = \dfrac{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{1}=\dfrac{2}{2}=1\]
La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\). Or, \(f'(0)=-1\) et \(f(0)=1\). Cette tangente a donc pour équation \(y=-x+1\).
Produit et quotient
- Quelle est la dérivée de la fonction \(u:x\mapsto 2x^2+4x+2\) ?
- Quelle est la dérivée de la fonction \(v:x \mapsto 3x^2+2x+1\) ?
- En utilisant la formule de la dérivée d’une produit de fonctions dérivables, calculer \(f'(x)\) pour tout réel \(x\).
- Développer \(f(x)\) et dériver. Retrouver l’expression de la dérivée \(f’\) donnée à la question 3.
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La dérivée de la fonction \(u:x\mapsto 2x^2+4x+2\) est la fonction \(u’:x\mapsto 4x+4\)
La dérivée de la fonction \(v:x \mapsto 3x^2+2x+1\) est la fonction \(v’:x\mapsto 6x+2\)
On a \(f=uv\). \(u\) et \(v\) étant dérivable sur \(mathbb{R}\), \(f\) l’est aussi et \(f’=u’v+uv’\). Ainsi, pour tout réel \(x\),
\[f'(x)=(4x+4)(3x^2+2x+1)+(2x^2+4x+2)(6x+2)\]
On a donc
\[f'(x)=12x^3+8x^2+4x+12x^2+8x+4+12x^3+4x^2+24x^2+8x+12x+4\]
soit
\[f'(x)=24x^3+48x^2+32x+8\]
Développons alors \(f(x)\). On a, pour tout réel \(x\),
\[f(x)=6x^4+4x^3+2x^2+12x^3+8x^2+4x+6x^2+2x+2\]
et donc
\[f(x)=6x^4+16x^3+16x^2+8x+2\]
En dérivant cette expression, on retrouve bien que, pour tout réel \(x\),
\[f'(x)=24x^3+48x^2+32x+8\]
- Quel est le domaine de définition de \(f\) ?
- Quel est le domaine de dérivabilité de \(f\) ?
- Donner une expression de la dérivée \(f’\).
- Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 4.
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\(f\) est définie sur \([0;+\infty [\).
Par ailleurs, la fonction \(x\mapsto\sqrt{x}\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\), de dérivée \(x\mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). Enfin, la fonction \(x \mapsto 5x-3\) est aussi dérivable sur cet intervalle, de dérivée \(x\mapsto 5\).
Par produit, \(f\) est donc également dérivable sur \(]0;+\infty[\). De plus, pour tout réel \(x > 0\),
\[f'(x)=5 \times \sqrt{x} + (5x-3) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=5\sqrt{x}+\dfrac{5x-3}{2\sqrt{x}}\]
Même si ce n’est pas explicitement demandé, il est préférable de mettre cette dérivée sous la forme d’un seul quotient, ne serait-ce que pour un futur chapitre. Ainsi, pour tout réel \(x\),
\[f'(x)=\dfrac{5\sqrt{x} \times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{5x-3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{10x+5x-3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{15x-3}{2\sqrt{x}}\]
La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 4 a pour équation \(y=f'(4)(x-4)+f(4)\). Or, \(f'(4)=\dfrac{15\times 4-3}{2\sqrt{4}}=\dfrac{57}{4}\) et \(f(4)=(5\times 4 -3)\sqrt{4}=17 \times 2 = 34\). La tangente a donc pour équation \(y=\dfrac{57}{4}(x-4)+34\) soit \(y=\dfrac{57}{4}x-23\).
| \(f_1:x\mapsto x\sqrt{x}\) | \(f_2:x\mapsto (x^2+3)(x+1)\) |
| \(f_3:x\mapsto (3-x^2)(x^3-5)\) | \(f_4:x\mapsto (2x+\sqrt{x})(1-3\sqrt{x})\) |
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- Justifier que \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty [\). Pour tout réel \(x \in ]0;+\infty [\), que vaut \(f'(x)\) ?
- Soit \(h\) un réel positif, non nul. Que vaut \(\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\) ?
- En déduire que \(f\) est également dérivable en 0. Que vaut \(f'(0)\) ?
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- Donner le domaine de définition de \(f\).
- Montrer que \(f\) est dérivable sur son domaine de définition et donner sa dérivée \(f’\).
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- Donner le domaine de définition de \(f\).
- Montrer que \(f\) est dérivable sur son domaine de définition et donner sa dérivée \(f’\).
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- Donner le domaine de définition de \(f\).
- Montrer que \(f\) est dérivable sur son domaine de définition et donner sa dérivée \(f’\).
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| \(f_1:x\mapsto \dfrac{2x}{3x^2+1}\) | \(f_2:x\mapsto \dfrac{1}{x^2+1}\) | \(f_3:x\mapsto (8x+2)(3x-1)\) |
| \(f_4:x\mapsto \dfrac{2x}{3x-9}\) | \(f_5:x\mapsto 5x+\dfrac{1}{3x+2}\) | \(f_6:x\mapsto \dfrac{x^2-3}{x^3-1}\) |
| \(f_7:x\mapsto \left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x^2-1\right)\) | \(f_8:x\mapsto \dfrac{x^2-2x+3}{4x^2+3x-1}\) | \(f_9:x\mapsto \sqrt{x}\times \dfrac{2x+5}{3x-2}\) |
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- Donner le domaine de définition de \(f\)
- Donner le domaine de dérivabilité de \(f\) ainsi que sa dérivée \(f’\).
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Composition avec une fonction affine
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- Donner le domaine de définition de \(f\).
- Donner le domaine de dérivabilité de \(f\) ainsi que sa dérivée \(f’\).
- Donner l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x=3\).
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- Donner le domaine de définition de \(f\)
- Donner le domaine de dérivabilité de \(f\) ainsi que sa dérivée \(f’\).
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| \(f_1:x\mapsto (4x+7)^2\) | \(f_2:x\mapsto\dfrac{1}{2x-5}\) | \(f_3:x\mapsto (7x-8)^3\) |
| \(f_4:x\mapsto \sqrt{3x-2}\) | \(f_5:x\mapsto (6-2x)^4\) | \(f_6:x\mapsto \dfrac{-4}{(x+7)^2}\) |
| \(f_7:x\mapsto (x^2+3)\sqrt{3-8x}\) | \(f_8:x\mapsto \dfrac{\sqrt{7x+12}}{3x+8}\) | \(f_9:x\mapsto \dfrac{1}{x\sqrt{3x-8}}\) |
