Étude qualitative des fonctions

Variations d’une fonction

Définitions

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle I.

On dit que \(f\) est croissante lorsque, pour tout \(a\) et \(b\) dans I, si \(a < b\), alors \(f(a) \leq f(b)\). Autrement dit, \(f\) conserve l’ordre sur I.
On dit que \(f\) est décroissante lorsque, pour tout \(a\) et \(b\) dans I, si \(a < b\), alors \(f(a) \geq f(b)\). Autrement dit, \(f\) renverse l’ordre sur I.

Si les inégalités sont strictes, on parlera de fonction strictement croissantes ou décroissantes.

Avec les mêmes notations, on dit que \(f\) est constante sur \(I\) si, pour tout \(a\) et \(b\) dans \(I\), on a \(f(a)=f(b)\)

Soit \(m\) un réel et \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=mx\).

Si \(m < 0\), alors la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\)
Si \(m = 0 \), alors la fonction \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\)
Si \(m > 0\), alors la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)

Si \(m=0\), alors pour tout réel \(x\), \(f(x)=0\), et la fonction \(f\) est bien constante sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\). On a alors

\[ f(a)-f(b)=ma-mb=m(a-b)\]

Or, puisque \(a < b\), on a alors \(a – b < 0\)

Si \(m < 0 \), alors \(m(a-b) > 0\), car c’est le produit de deux nombres strictement négatifs. Ainsi, \(f(a)-f(b)> 0\) et donc \(f(a) > f(b)\). En partant de \(a < b\), on aboutit à \(f(a) > f(b)\) : l’ordre a été renversé et l’inégalité reste stricte, la fonction \(f\) est donc décroissante dans ce cas.
Si \(m > 0 \), alors \(m(a-b) < 0\), car c’est le produit de deux nombres non nuls de signes contraires. Ainsi, \(f(a)-f(b)< 0\) et donc \(f(a) < f(b)\). En partant de \(a < b\), on aboutit à \(f(a) < f(b)\) : l’ordre a été conservé et l’ingélité reste stricte, la fonction \(f\) est donc strictement croissante dans ce cas.

On a ici le lien avec le fait de devoir renverser le sens d’une inégalité lorsque l’on multiplie par un nombre \(m\) négatif. En réalité, on applique la fonction \(x \mapsto mx\) qui est une fonction strictement décroissante à cette égalité.

Interprétation graphique

Si la fonction est croissante sur un intervalle I, sa courbe représentative « monte » de gauche à droite. Si la fonction est décroissante, la courbe descend.

Si la courbe est horizontale, la fonction est constante sur l’intervalle correspondant.

Exemple : On considère une fonction \(f\) dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

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Le domaine de définition de \(f\) est \(]-4;6]\).

\(f\) est croissante sur \(]-4;-1]\), décroissante sur \([-1;1]\), constante sur \([1;4]\), croissante sur \([4;5]\), et enfin, décroissante sur \([5;6]\)

Cliquer ici pour s’entraîner : Lecture graphique du sens de variation

Tableau de variation

On peut résumer les variations d’une fonction \(f\) dans un tableau de variations. Pour la courbe donnée précédemment, le tableau de variations se présente ainsi :

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La double barre en -4 traduit le fait que \(-4\) n’est pas dans l’ensemble de définition.

Cliquer ici pour s’entraîner : construire un tableau de variations

Exemple : Utilisation d’un tableau de variations. On considère une fonction \(f\) dont le tableau de variations est le suivant :

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Le domaine de définition se lit sur la première ligne : \(D=[-4;5]\)
\(f(-4)=2\), \(f(0)=-1\), \(f(2)=0\), \(f(5)=-2\)
On souhaite encadrer \(f(1)\). On sait que \(1 \in [0;2]\) et \(f\) est croissante sur cet intervalle. On a donc \(f(0)\leq f(1) \leq f(2)\), c’est-à-dire \(-1 \leq f(1) \leq 0\).

Cliquer ici pour s’entraîner : Utiliser un tableau de variations

Signe d’une fonction

Pour déterminer le signe d’une fonction dont on connaît l’expression, il est parfois possible d’en construire le tableau de signes (voir chapitre Produits et quotients)

Graphiquement, étudier le signe d’une fonction revient à donner la position relative de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Exemple : On considère la fonction \(f\) définie sur \([-5;3] \) et dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

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Son tableau de variations et de signe est le suivant :

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Cliquer ici pour s’entraîner : Etude graphique du signe

Extremum

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle I et \(a \in I\)

On dit que \(f\) admet un minimum en \(a\) sur I si, pour tout \(x\) dans I, on a \(f(a)\leq f(x)\)
On dit que \(f\) admet un maximum en \(a\) sur I si, pour tout \(x\) dans I, on a \(f(a)\geq f(x)\)
On dit que \(f\) admet un extremum en \(a\) si \(f\) admet un minimum ou un maximum en \(a\).

Exemple : On considère une fonction \(f\) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous

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Le domaine de définition de \(f\) est \(D=[-5;5]\).
Le maximum de \(f\) sur \(D\) est atteint en \(-4\) et vaut \(4\).
Le minimum de \(f\) sur \(D\) est atteint en \(4\) et vaut \(-3\).
Le maximum de \(f\) sur \([0;4]\) est atteint en \(2\) et vaut \(1\).

Cliquer ici pour s’entraîner : Extremum graphique

Cliquer ici pour s’entraîner : Extremum et tableau de variations

Parité, Imparité

Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\).On dit que \(D\) est symétrique par rapport à 0 si, pour tout \(x\in D\), \(-x \in D\).

Exemple : \([-1;1]\) est symétrique par rapport à 0. \([-3;4]\) ne l’est pas. En effet, \(4\in[-3;4]\) mais \(-4\notin [-3;4]\)

Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\) symétrique par rapport à 0 et \(f\) une fonction définie sur \(D\).

On dit que \(f\) est paire si, pour tout \(x\in D\), \(f(-x)=f(x)\).
On dit que \(f\) est impaire si, pour tout \(x\in D\), \(f(-x)=-f(x)\).

Exemple : La fonction \(f:x\mapsto x^2-2\), définie sur \(\mathbb{R}\) est paire. En effet, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f(-x)=(-x)^2-2=x^2-2=f(x)\)

Soit \(f\) une fonction et \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\(f\) est paire si et seulement si \(C_f\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
\(f\) est impaire si et seulement si \(C_f\) est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple :