Produits et quotients

Équations produits

Soit \(P(x)\) et \(Q(x)\) des expressions en fonction d’un réel \(x\). Une équation de la forme \(P(x)Q(x)=0\) est appelée équation produit nul.
Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.
Exemple : Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \((3x+2)(2x-1)=0\)

\(\begin{array}{lclll}
(3x+2)(2x-1)=0 & \text{ si } & 3x+2 = 0 & \text{ OU }& 2x-1 = 0\\
& \text{ si } & 3x = -2 & \text{ OU }& 2x = 1\\
& \text{ si } & x =- \dfrac{2}{3} & \text{ OU }& x = \dfrac{1}{2}\\
\end{array}\)

L’équation \((3x+2)(2x-1)=0\) a deux solutions. \(S = \left\{\dfrac{-2}{3}; \dfrac{1}{2}\right\}\).

Cliquer ici pour s’entraîner : équations produits

Pour résoudre une équation, il est très souvent utile de se ramener à une équation produit nul, en factorisant par exemple.
Cliquer ici pour s’entraîner : équations se ramenant à un produit nul

Équations quotients

Valeurs interdites

Exemple : On considère l’expression \(T(x)= \dfrac{3+x}{3-x}\)

On a \(T(1)=\dfrac{3+1}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2\).

En revanche, pour \(x = 3\), le dénominateur vaut 0. Il est donc impossible de calculer la valeur de \(T(3)\). On dit que 3 est une valeur interdite.

Le domaine de définition d’une expression qui dépend d’une variable \(x\) est l’ensemble des valeurs de \(x\) autorisées.
Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(T(x)=\dfrac{2x+5}{5x-10}\).

\(x\) est une valeur interdite si \(5x-10=0\), c’est-à-dire, si \(5x=10\) et donc \(x=2\).

Le domaine de définition de \(T\) est donc l’ensemble de tous les réels sauf 2. Cet ensemble est noté \(\mathbb{R}\setminus \{2\}\).

Cliquer ici pour s’entraîner : Valeur interdite

Sommes de quotients

Pour tous réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\), avec \(b\) et \(d\) différents de 0, on a :
\[\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bd}+\dfrac{cb}{db}=\dfrac{ad+cb}{bd}\]
Exemple : \(\dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{3 \times 5 + 4 \times 7}{7 \times 5}=\dfrac{15+28}{35}=\dfrac{43}{35}\).
Exemple : Simplifier l’expression suivante : \(\dfrac{7x}{x-2}+\dfrac{5}{3-x}\).

On détermine d’abord les valeurs interdites :

  • \(x-2 = 0\) si \(x=2\)
  • \(3-x=0\) si \(x=3\)

Les valeurs interdites sont 2 et 3. Le domaine de définition est \(D=\mathbb{R}\setminus \{2;3\}\).

Soit \(x\in D\).

     \renewcommand{\arraystretch}{3} \begin{eqnarray*} $\dfrac{7x}{x-2}+\dfrac{5}{3-x}\) & = &$\dfrac{7x(3-x)}{(x-2)(3-x)}+\dfrac{5(x-2)}{(x-2)(3-x)}$\\ &=&\) \dfrac{7x(3-x)+5(x-2)}{(x-2)(3-x)}$\\ &=&\) \dfrac{21x-7x^2+5x-10}{(x-2)(3-x)}$\\ &=&\) \dfrac{-7x^2+26x-10}{(x-2)(3-x)}$ \end{eqnarray*}

Evidemment, si les quotients sont au même dénominateur, on ne s’embêtera à faire tout ce laborieux travail.

Equations quotients

Soit P(x) et Q(x) des expressions en fonction de \(x\). Une équation de la forme \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\) , avec \(Q(x)\neq 0\) est appelée équation quotient nul.
Un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul et le dénominateur est différent de 0.
Exemple : Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(\dfrac{2x-4}{x-3}=0\)

On cherche d’abord les éventuelles valeurs interdites : \(x-3 \neq 0\) pour \(x \neq 3\). 3 est donc la seule valeur interdite.

Soit donc \(x\in\mathbb{R}\setminus \{3\}\).

\(\begin{array}{lcl}
\dfrac{2x-4}{x-3}=0 & \text{ si } & 2x-4 = 0\\
& \text{ si } & 2x = 4 \\
& \text{ si } & x =2 \\
\end{array}\)

2 n’est pas une valeur interdite, elle est solution de l’équation. \(S=\{2\}\)

Cliquer ici pour s’entraîner : quotients

Résolution d’inéquations

Expressions du premier degré

Exemple : On souhaite étudier le signe de l’expression \(A(x)= 3x-6\); On va pour cela résoudre l’inéquation \(3x-6 \leq 0\)

Résolution : \(3x-6 \leq 0 \Leftrightarrow 3x \leqslant 6 \Leftrightarrow x \leqslant 2\)

Tableau de signe : On résume cette information sous la forme d’un tableau.

Su la première ligne, on inscrit les valeurs de la variable \(x\) : celle-ci va de \(-\infty\) à \(+\infty\). On place également la valeur \(2\), trouvée dans le calcul précédent.

Sur la ligne suivante, on place l’expression \(3x-6\). On souhaite inscrire sur cette ligne le signe de cette expression selon la valeur de \(x\).

  • Lorsque \( x \leqslant 2\), on a \(3x-6 \leqslant 0\). \(3x-6\) est donc négatif dans ce cas. On place alors le signe \(-\) sous les valeurs de \(x\) entre \(-\infty\) et \(2\)
  • Lorsque \( x \geqslant 2\), on a \(3x-6 \geqslant 0\). \(3x-6\) est doncpositif dans ce cas. On place alors le signe \(+\) sous les valeurs de \(x\) entre \(2\) et \(+\infty\)

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Cliquer ici pour s’entraîner : Tableau de signe d’une fonction affine

Produit d’expressions du premier degré

Exemple : On souhaite étudier le signe de l’expression \(B(x)=-2(x-3)(-2x+4)\)

Identification : On identifie tous les facteurs de ce produit. Il y en a 3 : \(-2\), \(x-3\) et \(-2x+4\).

Résolution Pour chacun de ces facteurs, on détermine le signe.

  • \(-2\leq 0\)
  • \(x-3 \leq 0 \Leftrightarrow x\leq 3\)
  • \(-2x+4 \leq 0$ \Leftrightarrow -2x\leq -4 \Leftrightarrow x \geq 2 \)

Tableau de signe On place toutes ces informations dans un seul et même tableau de signe. On applique ensuite la règle des signes dans un produit.

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Cliquer ici pour s’entraîner : tableau de signe d’une produit

Quotient d’expressions du second degré.

Pour un quotient d’expressions, on utilise la même méthode que pour le produit en ajoutant le calcul des valeurs interdites.

Exemple : On souhaite étudier le signe de l’expression \(C(x)=\dfrac{3x-6}{6x-18}\)

Valeurs interdites : L’expression n’est pas définie lorsque \(6x-18=0\), soit \(x=3\).

Identification : On identifie tous les facteurs de ce quotient. Il y en a 2 : \(3x-6\) et \(6x-18\).

Résolution : Pour chacun de ces facteurs, on détermine le signe.

  • \(3x-6\leq 0 \Leftrightarrow x \leq 2\)
  • \(6x-18 \leq 0 \Leftrightarrow x\leq 3\)

Tableau de signe On place toutes ces informations dans un seul et même tableau de signe. On applique ensuite la règle des signes dans un produit et on met une double barre pour les valeurs interdites.

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Cliquer ici pour s’entraîner : Tableau de signe d’un produit ou d’un quotient

Cliquer ici pour s’entraîner : Inéquation avec quotient

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