La méthode pour arriver au résultat n’est pas unique. On propose différentes stratégie pour aboutir au résultat demandé dans cette correction, mais d’autres raisonnements pourraient tout à fait être valables.

• • \(17 \equiv 2 \, [5]\). En effet, \(17= 3 \times 5 + 2\). Le reste de la division euclidienne de 17 par 5 vaut donc 2. De la même manière, on peut aussi remarquer que \(17-2=15\) est un multiple de 5, et que, par conséquent, \(17 \equiv 2 \, [5]\).

• • \(-14 \equiv 1 \, [3]\). En effet, \(-14-1=-15\) qui est un multiple de 3

• • \(2214 \equiv 0 \, [2]\). En effet, 2214 est un multiple de 2.

• • \(181 \equiv 11 \, [17]\). En effet, \(181-11 = 170\) qui est un multiple de 17.

• • \(-87 \equiv 4 \, [7]\). En effet, \(-87-4=-91\) qui est un multiple de 7.

• • \(999 \equiv 9 \, [11]\). En effet, \(999-9 =990\), qui est un multiple de 11

• • \(3165 \equiv 0 \, [3]\). En effet, \(3+1+6+5=15\), qui est un multiple de 3. 3165 est donc lui-même un multiple de 3.

• \(2500 \equiv 3 \, [11]\). Il est possible dans ce cas de retirer successivement des multiples de 11 à 2500 pour obtenir le résultat final. Par exemple, 2200 est un multiple de 11. Ainsi, \(2500 \equiv 2500-2200\,[11]\) et donc \(2500 \equiv 300\,[11]\). Puis, en retirant 220, on obtient que \(2500 \equiv 80\,[11]\). Enfin, en retranchant 77, on a \(2500 \equiv 3 \, [11]\).

La méthode pour arriver au résultat n’est pas unique. On propose différentes stratégie pour aboutir au résultat demandé dans cette correction, mais d’autres raisonnements pourraient tout à fait être valables.

• • \(18 \equiv 0 \, [9]\). 18 est en effet un multiple de 9.

• • \(47 = 9 \times 5 +2\). Le reste de la division euclidienne de 47 par 9 vaut 2. Ainsi, \(47 \equiv 2 \, [9]\). On peut aussi remarque que \(47-2=45\) qui est un multiple de 9.

• • \(897 \equiv -3 \, [9]\). En effet, \(897-(-3)=897+3=900\) qui est un multiple de 9.

• • \(111 \equiv 3 \, [9]\). En effet, \(111 = 108 + 3 = 9 \times 12 + 3\). Le reste de la division euclidienne de 111 par 9 est donc 3. Nous verrons par ailleurs dans un prochain exercice qu’un nombre est congrus à la somme de ses chiffres modulo 9, ce qui simplifie encore la tâhce ici.

• \(2345 \equiv -4 \, [9]\). En effet, en retirant 1800, on obtient que \(2345 \equiv 545\, [9]\). En retirant 540, on obtient que \(2345 \equiv 5\, [9]\). Puis, en retirant 9 on obtient que \(2345 \equiv -4\,[9]\)

Puisque \(a \equiv 68\, [26]\) et que \(68 \equiv 16 \,[26]\), le reste de la division euclidienne de \(a\) par 26 vaut 16.

Ainsi, il existe un entier \(k\) tel que \(a=26k+16\), c’est-à-dire \(a=13\times 2k+13+3\). ou encore \(a=13(2k+1)+3\). 3 étant strictement inférieur à 13, il s’agit de la division euclidienne de \(a\) par 13. De fait, le reste de la division euclidienne de \(a\) par 13 vaut 3.

Remarquons que \(n=2\) convient. Il suffit alors d’ajouter et de retrancher 7 autant de fois que possible. Les solutions à ce problème sont donc \(-19\), \(-12\), \(-5\), \(2\), \(9\), \(16\), \(23\) et \(30\).

Les entiers \(n\) vérifiant \(n \equiv 3\,[7]\) sont 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, …
Les entiers \(n\) vérifiant \(n \equiv 2\,[9]\) sont 2, 11, 20, 29, 38, …

\(n=38\) convient.

Soit \(a\) un entier tel que \(a \equiv 3\, [10]\). Il existe donc un entier \(k\) tel que \(a=10k+3\) et donc \(a=5 \times 2k+3\). Puisque 3 est strictement inférieur à 5, il s’agit de la division euclidienne de \(a\) par 5. Ainsi, \(a \equiv 3\, [5]\).

La réciproque est fausse : On a \(8 \equiv 3 \,[5]\) mais par \(8 \equiv 3 \,[10]\).

1. On a \(n-a_0 = a_1 \times 10^1 + a_2 \times 10^2 + \dots + a_p \times 10^p\). Or, ce nombre est un multiple de 10 (il suffit de factoriser). C’est donc, par aileurs, un multiple de 2 et un multiple de 5. Ainsi, \(n \equiv a_0\, [10]\), \(n \equiv a_0\, [5]\) et \(n \equiv a_0\, [2]\). On retrouve les critères de divisibilité bien connu : un nombre est divisible par 10 si et seulement si son dernier chiffre est 0, il est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est un multiple de 5 (donc 5 ou 0), et il est divisible par 2 si et seulement si son dernier chiffre est un multiple de 2 (0, 2, 4, 6 ou 8).
2. On a \(n -( a_0 + a_1 \times 10^1) = a_2 \times 10^2 + \dots + a_p \times 10^p = 10^2(a_2+\dots + a_p10^{p-2})\). \(n -( a_0 + a_1 \times 10^1)\) est donc un multiple de 100. En particulier, c’est un multiple de 25. Ainsi, \(n \equiv a_0 + a_1 \times 10^1 \,[25]\). Un nombre est divisible par 25 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 25 (c’est-à-dire 00, 25, 50 ou 75).

On a \(1423 \equiv 2\,[7]\), \(26 \equiv 5\,[7]\), \(149 \equiv 2\,[7]\) et \(282\equiv 2\,[7]\).

Ainsi, \(a= 1423 \times 26 + 149 \times 282 \equiv 2 \times 5 + 2 \times 2 \,[7]\) et donc \(a\equiv 14\,[7]\) d’où \(a\equiv 0\,[7]\). \(a\) est donc un multiple de 7.

On a \(5^2=25=26-1\). Ainsi, \(5^2\equiv-1\,[13]\). Or, pour tout entier naturel \(n\), \(5^{4n}-1 = (5^2)^{2n}-1\equiv(-1)^{2n}-1\,[13]\). Finalement, \(5^{4n}-1 \equiv 0\,[13]\). \(5^{4n}-1\) est donc un multiple de 13.

Pour tout entier naturel \(n\), on a \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Or, \(2ab\equiv 0\,[2]\). Il en vient que \((a+b)^2\equiv a^2+b^2\,[2]\).

Pour tout entier naturel \(n\), on a \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\). Or, \(3a^2b\equiv 0\,[3]\) et \(3ab^2\equiv 0\,[3]\) . Il en vient que \((a+b)^3\equiv a^3+b^3\,[3]\).

Ceci n’est plus vrai pour l’exposant 4. Prenons \(a=b=1\). On a \(a^4+b^4=1+1=2\) et \((a+b)^4=2^4=16\). Ainsi, \(a^4+b^4 \equiv 2\,[4]\) mais \((a+b)^4\equiv 0\,[4]\).

1. Puisque \(10\equiv 1\,[9]\), il en vient que, pour tout entier naturel \(k\), \(10^k \equiv 1^k\,[9]\) et donc \(10^k \equiv 1\,[9]\)
2. Ainsi, on a \(n \equiv a_0+a_1+a_2+\dots + a_p\,[9]\). En particulier, \(n\) est un multiple de 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
3. Puisque \(10\equiv -1\,[11]\), il en vient que, pour tout entier naturel \(k\), \(10^k \equiv (-1)^k\,[11]\). Ainsi, si \(k\) est pair, on a \(10^k \equiv 1\,[11]\) et si \(k\) est impair, on a \(10^k \equiv -1\,[11]\).
4. Ainsi, on a \(n \equiv a_0-a_1+a_2-a_3+\dots + (-1)^pa_p\,[11]\). En particulier, un nombre est un multiple de 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est un multiple de 11

Remarquons d’abord que, puisque \(7 \equiv 1\,[6]\) et \(-5\equiv 1 \,[6]\), alors, pour tout entier naturel \(n\),
\[n(n+2)(7n-5) \equiv n(n+2)(n+1)\,[6]\]

On peut alors construire un tableau de congruences

Dans tous les cas, \(n(n+2)(7n-5) \equiv 0 \,[6]\). Pour tout entier naturel \(n\), \(n(n+2)(7n-5)\) est donc un multiple de 6.

On a \(2^1\equiv 2 \,[5]\), \(2^2\equiv 4 \,[5]\), \(2^3\equiv 3 \,[5]\) et \(2^1\equiv 4 \,[5]\). Ainsi,

• Si \(n \equiv 0\,[4]\), alors \(2^n \equiv 1\,[5]\)
• Si \(n \equiv 1\,[4]\), alors \(2^n \equiv 2\,[5]\)
• Si \(n \equiv 2\,[4]\), alors \(2^n \equiv 4\,[5]\)
• Si \(n \equiv 3\,[4]\), alors \(2^n \equiv 3\,[5]\)

Par ailleurs, \(2022\equiv 2\,[5]\). Ainsi, \(2022^{2022}\equiv 2^{2022}\,[5]\). Or, \(2022\equiv 2 \,[4]\). D’après le résultat précédent, on a donc \(2022^{2022}\equiv 4\,[5]\)

D’une part, \(2714 \equiv 5\,[7]\) et \(3419 \equiv 3 \,[7]\). On est donc amené à étudier les restes des divisions euclidienne de \(5^n\) par 7 et de \(3^n) par 7.

• On a \(5^1\equiv 5 \,[7]\), \(5^2\equiv 4 \,[7]\), \(5^3\equiv 6 \,[7]\), \(5^4\equiv 2 \,[7]\), \(5^5\equiv 3 \,[7]\) et \(5^6\equiv 1 \,[7]\). Or, \(1421 = 6 \times 236 + 5\). Ainsi,
  \[ 5^{1421} = 5 ^{6 \times 236 + 5 } = (5^6)^{236} \times 5^5 \equiv 5^5 \equiv 3\,[7] \]
• On a \(3^1\equiv 3 \,[7]\), \(3^2\equiv 2 \,[7]\), \(3^3\equiv 6 \,[7]\), \(3^4\equiv 4 \,[7]\), \(3^5\equiv 5 \,[7]\) et \(3^6\equiv 1 \,[7]\). Or, \(1324 = 6 \times 220 + 4\). Ainsi,
  \[ 3^{1324} = 3 ^{6 \times 220 + 4 } = (3^6)^{220} \times 3^4 \equiv 3^4 \equiv 4\,[7] \]

Finalement,

\[2714^{1421}+3419^{1324} \equiv 5^{1421}+3^{1324} \equiv 3+4 \equiv 7 \equiv 0 \,[7]\]

\(2714^{1421}+3419^{1324}\) est donc un multiple de 7.

Le chiffre des unités d’un nombre n’est rien d’autre que le reste de la division euclidienne de ce nombre par 10. Étudions donc les congruences de \(3^n\) modulo 10.

On a \(3^1\equiv 3 \,[10]\), \(3^2\equiv 9 \,[10]\), \(3^3\equiv 7 \,[10]\) puis \(3^4\equiv 1 \,[10]\).

Or, \(2023 = 4 \times 505 + 3\).

Ainsi, \(3^{2023}=3^{4\times 505 + 3} = (3^4)^{50} \times 3^3 \equiv 3^3\, [10]\)

Finalement, \(3^{2023}\equiv 7\,[10]\). Le chiffre des unités de \(3^{2023}\) est 7.

1. On a \(u_0=14\), \(u_1=64\), \(u_2=314\), \(u_3=1564\), \(u_4=7814\)… On conjecture que, si \(n\) est pair, alors les deux derniers chiffres de \(u_n\) sont 14 alors que si \(n\) est impair, ces deux derniers chiffres sont 64.
2. On sait que \(5 \equiv 1 \,[4]\) et \(-6 \equiv 2\,[4]\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} \equiv u_n +2\,[4]\) et donc \[u_{n+2}\equiv u_{n+1}+2 \equiv u_n+2+2\equiv u_n\,[4]\]
3. Ainsi, si \(n\) est pair (c’est-à-dire s’il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k\)), \(u_{n}\equiv u_{n-2} \equiv … \equiv u_0\,[4]\). Ainsi, pour tout entier naturel \(k\), \(u_{2k} \equiv u_0 \equiv 2 \,[4]\). De la même manière, pour tout entier naturel \(k\), \(u_{2k+1}\equiv u_1 \equiv 0 \,[4]\).
4. 1. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(2u_n = 5^{n+2}+3\) ».
      • Pour \(n=0\), on a \(2u_0=2 \times 14 = 28\) et \(5^{0+2}+3=25+3=28\). \(P(0)\) est vraie.
      • Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(P(n)\) est vraie. On a alors \(2u_n = 5^{n+2}+3\). Ainsi,
        \[\begin{eqnarray*}2u_{n+1}&=&2(5u_n-6) \\&=& 5 \times 2u_n-12 \\&=&5 \times (5^{n+2}+3)-12\\& =& 5^{n+3}+15-12\\&=&5^{(n+1)+2}+3\end{eqnarray*}\]
        \(P\) est donc héréditaire.
      • Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
   2. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(5^n \equiv 1\,[4]\) et donc \(5^{n+2}\equiv 25\,[100]\) et donc \(5^{n+2}+3\equiv28\,[100]\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(2u_n \equiv 28 \, [100]\)
5. Pour tout entier naturel \(n\), \(2u_n \equiv 28 \, [100]\) et donc, il existe un entier \(k\) tel que \(2u_n=100k+28\) et, en divisant cette relation par 2, \(u_n = 50k+14\)
   • Si \(n\) est pair, on sait d’après les questions précédentes que \(u_n \equiv 2\,[4]\) et donc \(2k+2 \equiv 2 \,[4]\) puis \(2k \equiv 0,[4]\). Ainsi, \(2k\) est un multiple de 4 et \(k\) est donc pair. Il existe donc un entier \(p\) tel que \(k=2p\) et donc \(u_n=50 \times 2p+14=100p+14\). Ainsi, \(u_n \equiv 14\,[100]\). On en conclut que si \(n\) est pair, les deux derniers chiffres de \(u_n\) sont 14.
   • Si \(n\) est impair, on sait d’après les questions précédentes que \(u_n \equiv 0\,[4]\) et donc \(2k+2 \equiv 0 \,[4]\) Ainsi, \(2k+2\) est un multiple de 4, c’est-à-dire que \(2(k+1)\) est un multiple de 4. \(k+1\) est donc un multiple de 2 et finalement, \(k\) est donc iùpair. Il existe donc un entier \(p\) tel que \(k=2p+1\) et donc \(u_n=50 \times (2p+1)+14=100p+64\). Ainsi, \(u_n \equiv 64\,[100]\). On en conclut que si \(n\) est impair, les deux derniers chiffres de \(u_n\) sont 64.

1. On a \(5^1 \equiv 5\,[13]\), \(5^2 \equiv 12\,[13]\) (ou encore \(5^2 \equiv -1\,[13]\)), \(5^3 \equiv 8\,[13]\) et \(5^4 \equiv 1\,[13]\). Ainsi,
   • Si \(n\equiv 0\,[4]\), alors \(5^n\equiv 1\,[4]\)
   • Si \(n\equiv 1\,[4]\), alors \(5^n\equiv 5\,[4]\)
   • Si \(n\equiv 2\,[4]\), alors \(5^n\equiv 12\,[4]\)
   • Si \(n\equiv 3\,[4]\), alors \(5^n\equiv 8\,[4]\)
2. On sait que \(1981 = 13 \times 152 + 5\). Ainsi, \(1981^{1981}-5\equiv 5^{1981}-5\,[13]\). Or, \(1981 \equiv 1\,[4]\). Il en vient, d’après la question précédente, que \(5^{1981}\equiv 5,[4]\) et, finalement, \(1981^{1981}-5\equiv 5-5\equiv 0\,[13]\). \(1981^{1981}-5\) est donc un multiple de 13.
3. Remarquon d’abord que \(31 \equiv 5\,[13]\) et \(18\equiv 5\,[13]\). Ainsi, \[31^{4n+1}+18^{4n-1}\equiv 5^{4n+1}+5^{4n-1}\,[13]\]
   Puisque par ailleurs, \(5^4\equiv 1 \,[13]\), on obtient, en multipliant par \(5^4\) que
   \[31^{4n+1}+18^{4n-1}\equiv 5^{4n+5}+5^{4n+3} \equiv (5^{4})^{n+1} \times 5 + (5^4)^n \times 5^3 \equiv 5 + 8 \equiv 13 \equiv 0\,[13]\]
   Pour tout entier naturel \(n\), \(N=31^{4n+1}+18^{4n-1}\) est donc un multiple de 13.

Soit \(n\) un entier relatif. Alors
\[\begin{eqnarray*}
(n-1)^3+n^3+(n+1)^3 &=& n^3-3n^2+3n+1+n^3+n^3+3n^2+3n+1 \\
&=& 3n^3+6n \\
&=&3n(n^2+2)\end{eqnarray*}\]

Ainsi, pour montrer que \((n-1)^3+n^3+(n+1)^3 \) est un multiple de 9, il suffit de montrer que \(3n(n^2+2)\) est un multiple de 9 et donc que \(n(n^2+2)\) est un multiple de 3. On procède par disjonction de cas.

• Si \(n\equiv 0\,[3]\), le résultat est immédiat.
• Si \(n\equiv 1\,[3]\), alors \(n^2\equiv 1\,[3]\) et donc \(n^2+2\equiv 3\equiv 0\,[3]\).
• Si \(n\equiv 2\,[3]\), alors \(n^2\equiv 4\equiv 1\,[3]\) et donc \(n^2+2\equiv 3\equiv 0\,[3]\).

Dans tous les cas, on trouve que \(n(n^2+2)\) est un multiple de 3. Ainsi, la somme de trois cubes consécutifs est bien un multiple de 3.

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(3^{2n+1}+2^{4n+2}\) est divisible par 7 ».

• Pour \(n=0\), \(3^{2\times 0+1}+2^{4 \times 0+2} = 3 + 4 = 7\) qui est bien divisible par 7. \(P(0)\) est vraie.
• Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(P(n)\) est vraie.
  On a \(3^{2(n+1)+1}+2^{4(n+1)+2} = 3 ^{2n+1} \times 9^2 +2^{4n+2} \times 2^4\). Or, \(3^2=9\equiv 2\,[7]\) et \(2^4=16\equiv 2\,[7]\). Ainsi,
  \(3^{2(n+1)+1}+2^{4(n+1)+2} \equiv 2(3^{2n+1}+2^{4n+2}) \,[7]\). Or, par hypothèse de récurrence, \(3^{2n+1}+2^{4n+2}\) est un multiple de 7. Il en vient que \(3^{2(n+1)+1}+2^{4(n+1)+2}\) en est un également. \(P(n+1)\) est donc vraie.
• Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).