Exercices corrigés : Divisibilité

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Divisibilité dans \(\mathbb{Z}\)

Ensemble de diviseurs

Donner l’ensemble des diviseurs de 18, de 24 et de \(-31\)
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Les diviseurs de 18 sont -18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9 et 18

Les diviseurs de 24 sont -24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 4, 6, 8, 12 et 24

Les diviseurs de -31 sont -31, -1, 1 et 31

Nombres parfaits

On dit qu’un nombre est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs stricts. Par exemple, les diviseurs positifs stricts de 6 sont 1, 2 et 3 et \(6=1+2+3\). Montrer que 28 est un nombre parfait.
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Les diviseurs positifs stricts de 28 sont 1, 2, 4, 7 et 14. Or, \(1+2+4+7+14=28\). 28 est donc un nombre parfait.

Somme de trois entiers consécutifs

Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.
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Soit \(n\) un entier relatif,
\(n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)\)
La somme de trois entiers consécutifs est donc bien un multiple de 3. Il est aussi possible d’écrire \((n-1)+n+(n+1)=3n\).

Non multiple

Soit \(n\) un entier relatif. Montrer que \(51n-12\) n’est pas un multiple de 17.
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Supposons que \(51n-12\) est un multiple de 17. Il existe donc un entier \(k\) tel que \(51n-12=17k\) et donc \(-12=17k-51n=17(k-3n)\). En particulier, 12 est un multiple de 17, ce qui est absurde. \(51n-12\) n’est donc pas un multiple de 17.

Multiple et réciproque

Montrer que si un nombre est un multiple de 24, alors c’est un multiple de 6 et un multiple de 4. La réciproque est-elle vraie ?
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Soit \(n\) un entier relatif.

Si \(n\) est un multiple de 24, il existe un entier \(k\) tel que \(n=24k=6 \times (4k) = 4 \times (6k)\). \(n\) est donc un multiple de 6 et un multiple de 4.

La réciproque est fausse : 12 est un multiple de 6 et de 4 mais n’est pas un multiple de 24.

Diviseurs de 28

Dresser la liste des diviseurs de 28 puis déterminer les entiers relatifs \(n\) tels que \(9n-5\) divise 28.
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Les diviseurs de 28 sont -28, -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14 et 28. \(9n-5\) divise 28 s’il est égal à l’un de ces entiers. Il faut donc résoudre chaque équation et ne conserver que les cas où la solution est entière.

  • \(9n-5 = -28 \Leftrightarrow 9n = -23 \Leftrightarrow n = -\dfrac{29}{9}\)
  • \(9n-5 = -14 \Leftrightarrow 9n = -9 \Leftrightarrow n = -1\)
  • \(9n-5 = -7 \Leftrightarrow 9n = -2 \Leftrightarrow n = -\dfrac{2}{9}\)
  • \(9n-5 = -4 \Leftrightarrow 9n = 1 \Leftrightarrow n = \dfrac{1}{9}\)
  • \(9n-5 = -2 \Leftrightarrow 9n = 3 \Leftrightarrow n = \dfrac{1}{3}\)
  • \(9n-5 = -1 \Leftrightarrow 9n = 4 \Leftrightarrow n = \dfrac{4}{9}\)
  • \(9n-5 = 1 \Leftrightarrow 9n = 6 \Leftrightarrow n = \dfrac{2}{3}\)
  • \(9n-5 = 2 \Leftrightarrow 9n = 7 \Leftrightarrow n = \dfrac{7}{9}\)
  • \(9n-5 = 4 \Leftrightarrow 9n = 9 \Leftrightarrow n = 1\)
  • \(9n-5 = 7 \Leftrightarrow 9n = 12 \Leftrightarrow n = \dfrac{4}{3}\)
  • \(9n-5 = 14 \Leftrightarrow 9n = 18 \Leftrightarrow n = 2\)
  • \(9n-5 = 28 \Leftrightarrow 9n = 33 \Leftrightarrow n = \dfrac{11}{3}\)

Finalement, les seuls entiers \(n\) pour lesquels \(9n-5\) divise 28 sont -1, 1 et 2.

Images entières

On considère la fonction \(f\) définie pour tout entier relatif \(n\) différent de 2 par \(f(n)=\dfrac{3n^2+5n-3}{n-2}\)

  1. Déterminer les valeurs des réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout entier naturel \(n\) différent de 2, on ait \(f(n)=an+b+\dfrac{c}{n-2}\)
  2. Quelles sont les valeurs de \(n\) pour lesquelles l’image par \(f\) est un entier ?
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  1. Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois réels et \(n\) un entier relatif différent de 2.

    \[an+b+\dfrac{c}{n-2} = \dfrac{(an+b)(n-2)+c}{n-2}=\dfrac{an^2+bn-2an-2b+c}{n-2}=\dfrac{an^2+(b-2a)n+c-2b}{n-2}\]

    On résout alors le système \(\left\{\begin{array}{rcl}a&=&3\\b-2a &=&5 \\c-2b &=&-3\end{array}\right.\) et on trouve \(a=3\), \(b=11\) et \(c=19\).

    Pour tout entier relatif \(n\) différent de 2, \(f(n)=3n+11+\dfrac{19}{n-2}\)

  2. \(f(n)\) est entier si et seulement si \(\dfrac{19}{n-2}\) est entier, ce qui équivaut à dire que \(n-2\) divise 19. Les seuls diviseurs de 19 étant -19, -1, 1 et 19, les seules valeurs possibles pour \(n\) sont alors -17, 1, 3 et 21. On a par ailleurs \(f(-17)=-41\), \(f(1)=-5\), \(f(3)=39\) et \(f(21)=75\).

Multiple de 3

Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que \(9n^3+36n^2-21n+30\) est un multiple de 3.
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Soit \(n\) un entier naturel. \(9n^3+36n^2-21n+30= 3(3n^3+12n^2-7n+10)\). \(9n^3+36n^2-21n+30\) est donc un multiple de 3.

Diviseurs selon \(n\)

Déterminer l’ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(2n+3\) divise \(6n+8\).
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Soit \(n\) un entier relatif. Supposons que \(2n+3\mid 6n+8\). Puisque \(2n+3 \mid 2n+3\), on a également \(2n+3 \mid 6n+8 – 3(2n+3)\), c’est-à-dire \(2n+3 \mid -1\). Les diviseurs de \(-1\) sont \(-1\) et \(1\). On a donc deux possibilités

  • \(2n+3=-1\) et donc \(n=-2\)
  • \(2n+3=1\) et donc \(n=-1\)

Vérifions

  • Pour \(n=-2\), \(2n+3 = -1\) et donc \(2n+3 \mid 6n+8\)
  • Pour \(n=-1\), \(2n+3 = 1\) et donc \(2n+3 \mid 6n+8\)

Les solutions sont donc \(-2\) et \(-1\).

Diviseur commun

Soit \(a\) et \(n\) deux entiers naturels tels que \(a\) divise \(3n+5\) et \(7n+2\)

  1. Montrer que \(a\) divise 29.
  2. En déduire les valeurs possibles de \(a\).
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Si \(a\) divise \(3n+5\) et \(7n+2\), alors \(a\) divise aussi \(7(3n+5)-3(7n+2)\), c’est-à-dire que \(a\) divise 29.

Les valeurs possibles de \(a\) sont donc -29, -1, 1 et 29.

Récurrence et divisibilité

Accéder au cours sur la démonstration par récurrence
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(8^n-3^n\) est divisible par 5.
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Pour tout entier naturel \(n\), on considère la propositiion \(P(n)\) : « \(8^n-3^n\) est divisible par 5 »

  • Initialisation : Pour \(n=0\) : \(8^0-3^0=1-1=0\) qui est bien divisile par 5. \(P(0)\) est vraie.
  • Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(P(n)\) est vraie. On a
    \[8^{n+1}-3^{3n+1} = 8 \times 8^{n} – 3 \times 3^n = (5+3) \times 8^n – 3 \times 8^n = 5 \times 8^n +3 \times(8^n-3^n)\]
    Or, puisque par hypothèse de récurrence, \(8^n-3^n\) est divisible par 5, alors \(8^{n+1}-3^{n+1}\) l’est également. \(P(n+1)\) est vraie.
  • \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Une somme

On rappelle que si \(q\) est un réel différent de 1 et \(n\) un entier naturel non nul, alors \[1+q+q^2+…+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\]

  1. Exprimer la somme \(1+6+6^2+\dots + 6^{n-1}\) à l’aide de cette propriété.
  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(6^n+19\) est divisible par 5
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\[1+6+6^2+\dots + 6^{n-1} = \dfrac{1-6^n}{1-6}=\dfrac{6^n-1}{5}\]

Or, il s’agit là d’un entier, ce qui signifie que \(6^n-1\) est divisible par 5. Par ailleurs, 20 est aussi divisible par 5, et donc \(6^n-1+20\) l’est aussi. Finalement, \(6^n+19\) est divisible par 5.

Division euclidienne

Calcul de quotient et reste

Dans chacun des cas suivants, déterminer la division euclidienne de \(a\) par \(b\).

  1. \(a = 247\) et \(b=6\)
  2. \(a = 1111\) et \(b=11\)
  3. \(a=-3874\) et \(b=50\)
  4. \(a=22\) et \(b=22745\)
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  1. \(247 = 6 \times 41 + 1\)
  2. \(1111 = 11 \times 101 + 0\)
  3. \(-3874=50 \times (-78)+26\). Attention, le reste est forcément positif.
  4. \(22 = 22745 \times 0 + 22\)

Calendrier

Si aujourd’hui nous sommes mercredi, quel jour serons-nous dans 100 jours ?
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On effectue la division euclidienne de 100 par 7. \(100 = 7 \times 14 + 2\). En 100 jours, il sécoule donc 14 semaines et 2 jours. Dans 100 jours, nous serons un vendredi.

Division euclidienne ?

Sachant que \(2253 \times 7 + 149 = 15920\), déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 15920 par 7.
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Attention à ce que le reste soit inférieur au diviseur ! Effectuons la division euclidienne de 149 par 7 : \(149 = 21 \times 7 + 2\). Ainsi,
\[15920 = 2253 \times 7 + 21 \times 7 + 2 = 2274 \times 7 +2\]

Le quotient de la division euclidienne de 15920 par 7 vaut 2274 et le reste de cette division est 2.

Numéro INSEE

Le numéro INSEE (ou numéro de sécurité sociale) est un numéro unique attribué à chaque individu en France. Il se compose de 15 chiffres

  • le premier est 1 si l’individu est un homme et 2 si c’est une femme
  • les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l’année de naissance
  • les deux suivants correspondent au mois de naissance
  • les deux suivants correspondent au département
  • les trois suivants correspondent à la commune de naissance
  • les trois suivants désignent le numéro d’inscription au registre de l’état civil
  • les deux derniers sont une clé de contrôle qui permet de détecter les éventuelles erreurs de saisie

Cette clé de contrôle est calculé comme suit : On note \(A\) le nombre constitué des 13 premiers chiffres du numéro INSEE et \(R\) le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(97\). La clé de contrôle vaut alors \(C = 97 – R\). Si cette clé est entre 0 et 9, on ajoute des zéros en tête du nombre obtenu.

  1. Justifier que la clé de contrôle est bien un numéro à deux chiffres
  2. On considère un individu dont le numéro INSEE commence par 1 85 05 78 006 084
    1. Déterminer le sexe, l’âge et le département de naissance de cet individu
    2. Calculer la clé de contrôle de ce numéro INSEE.
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  1. Le reste de la division euclidienne est compris entre 0 et 97. La clé C est donc également comprise entre 0 et 97
  2. On considère un individu dont le numéro INSEE commence par 1 85 05 78 006 084
    1. Il s’agit d’un homme né en mai 1985 (37 ans au 19 août 2022, date de rédaction de cette correction) dans les Yvelines
    2. \(1850578006084 = 97 \times 19078123774 + 6\). La clé vaut donc \(97-6\) soit 91.

Chiffrement affine

Le chiffrement est un procédé qui consiste à transformer un message clair en un message incompréhensible à toute personne n’ayant pas accès à la méthode de chiffrement. Une des méthodes de chiffrement possibles est le chiffrement affine. Les lettres de l’alphabet sont numérotées de 0 à 25.

On se donne alors deux entiers \(a\) et \(b\) et on considère la fonction \(f:x \mapsto ax +b\). A chaque lettre \(x\) de l’alphabet, on associe alors le reste de la division euclidienne de \(f(x)\) par 26. On remplace alors la lettre par la lettre correspondante.

Exemple : On considère la fonction \(f:x \mapsto 7x + 2\). La lettre \(G\) porte le numéro 6. \(f(2)= 7 \times 6 + 2 = 44\). Le reste de la division euclidienne de 44 par 26 est 18, qui correspond à la lettre \(S\). On remplacera donc le \(G\) par la lettre \(S\).

  1. Compléter le tableau suivant, toujours en utilisant la fonction \(f:x \mapsto 7x+2\)
    Lettre en clair A B C D E F G H I J K L M
    Rang 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    \(f(x)\) 44
    Reste 18
    Lettre chiffrée S
    Lettre en clair N O P Q R S T U V W X Y Z
    Rang 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
    \(f(x)\)
    Reste
    Lettre chiffrée
  2. A l’aide du tableau précédent, chiffrer le mot « MATHEMATIQUES »
  3. A l’aide du tableau précédent, déchiffrer le mot « TGQFWGRE »
  4. On considère désormais la fonction \(f:x \mapsto 6x + 3\). Quelles seraient le résultat chiffré des lettres \(A\) et \(N\) ? Quel est le souci ?
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Lettre en clair A B C D E F G H I J K L M
Rang 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
\(f(x)\) 2 9 16 23 30 37 44 51 58 65 72 79 86
Reste 2 9 16 23 4 11 18 25 6 13 20 1 8
Lettre chiffrée C J Q X E L S Z G N U B I
Lettre en clair N O P Q R S T U V W X Y Z
Rang 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
\(f(x)\) 93 100 107 114 121 128 135 142 149 156 163 170 177
Reste 15 22 3 10 17 24 5 12 19 0 7 14 21
Lettre chiffrée P W D K R Y F M T A H O V

Le mot MATHEMATIQUES est chiffré en ICFZEICFQKMEY

Le mot correspondant à TGQFWGRE est VICTOIRE

Si l’on prend la fonction \(f:x \mapsto 6x+3\)

  • La lettre A a pour rang 0. \(f(0)=3\) et le rang 3 correspond à la lettre D/
  • La lettre N a pour rang 13. \(f(13)=81=3 \times 26 +3\). Le lettre N est également chiffrée en D.

Si l’on reçoit un message chiffré contenant la lettre D, il nous est alors impossible de savoir si la lettre de départ est un A ou un N.

Avec des complexes

Déterminer les valeurs de \(i^{2023}\) et \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2023}\).
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On a \(i^2=-1\), \(i^3=-i\) et \(i^4=1\). Effectuons alors la division euclidienne de 2023 par 4. On a alors
\[i^{2023} = i^{4 \times 505 + 3} = (i^4)^{505} \times i^3 = 1^{505} \times (-i)=-i\]

Par ailleurs, \[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}i + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)^2=\dfrac{2}{4}+i-\dfrac{2}{4}=i \]

Ainsi, \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{8}\)=\(\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\right)=i^4=1\). On effectue alors la division euclidienne de 2023 par 8

Par ailleurs,

\[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2023}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{8 \times 252 + 7}=1 \times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^7\]

Or,

\[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^7=\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right)^3\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = i^3 \times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -i \times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Ainsi,

\[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2023}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\]

Division euclidienne selon \(n\) (1)

Soit \(n\) un entier naturel. Déterminer le reste de la division euclidienne de \(5n+11\) par \(n+2\).
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On a \(5n+11=5 \times(n+2)+1\)

Or, puisque \(n\) est un entier naturel, on a forcément \(n+2 > 1\). Le reste de la division euclidienne de \(5n+11\) par \(n+2\) est donc 1.

Division euclidienne selon \(n\) (2)

Soit \(n\) un entier naturel. Déterminer, selon la valeur de \(n\), le reste de la division euclidienne de \(10n+14\) par \(4n+3\).
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On a \(10n+14 ) = 2(4n+3) + 2n+8\)

Il s’agit de la division euclidienne de \(10n+14\) par \(4n+3\) si \(4n+3 > 2n+8 > 0\). Puisque \(n\) est un entier naturel, on a forcément \(2n+8 > 0\). Par ailleurs, \(4n+3 > 2n+8 \Leftrightarrow 2n > 5 \Leftrightarrow n > \dfrac{5}{2} \).

Ainsi, dès que \(n\) est supérieur ou égal à 3, le reste de la division euclidienne de \(10n+14\) par \(4n+3\) est \(2n+8\). Il reste à étudier les cas où \(n\) vaut 0, 1 ou 2.

  • Si \(n=0\), alors \(10n+14=14\) et \(4n+3=3\). Or, \(14 = 3 \times 4 + 2\). Le reste dans ce cas est 2
  • Si \(n=1\), alors \(10n+14=24\) et \(4n+3=7\). Or, \(24 = 3 \times 7 + 3\). Le reste dans ce cas est 3
  • Si \(n=2\), alors \(10n+14=34\) et \(4n+3=11\). Or, \(34 = 3 \times 11 + 1\). Le reste dans ce cas est 1

Multiple selon \(n\)

Soit \(n\) un entier naturel

  1. Déterminer la valeur des entiers relatifs \(a\), \(b\) et \(c\) tels que
    \[ n^2+5=(an+b)(n+1)+c\]
  2. En déduire les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(n^2+5\) est un multiple de \(n+1\)
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Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(n\) des entiers relatifs,

\[(an+b)(n+1)+c = an^2+an+bn+b+c=an^2+(a+b)n+c\]

On résout alors le système \(\left\{\begin{array}{rcl}a&=&1\\a+b &=&1 \\b+c &=&5\end{array}\right.\) et on trouve \(a=1\), \(b=-1\) et \(c=6\).

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(n^2+5=(n-1)(n+1)+6\).

Si \(n+1 > 6\), c’est-à-dire \(n > 5\) il s’agit de la division euclidienne de \(n^2+5\) par \(n+1\). Le reste étant non nul, \(n^2+5\) n’est pas un multiple de \(n+1\) dans ces cas. Reste alors a étudier les cas restants.

  • Pour \(n=0\), \(n^2+5=5\) et \(n+1=1\). \(n^2+5\) est donc un multiple de \(n+1\).
  • Pour \(n=1\), \(n^2+5=6\) et \(n+1=2\). \(n^2+5\) est donc un multiple de \(n+1\).
  • Pour \(n=2\), \(n^2+5=9\) et \(n+1=3\). \(n^2+5\) est donc un multiple de \(n+1\).
  • Pour \(n=3\), \(n^2+5=14\) et \(n+1=4\). \(n^2+5\) n’est donc pas un multiple de \(n+1\).
  • Pour \(n=4\), \(n^2+5=21\) et \(n+1=5\). \(n^2+5\) n’est donc pas un multiple de \(n+1\).
  • Pour \(n=5\), \(n^2+5=20\) et \(n+1=6\). \(n^2+5\) est donc un multiple de \(n+1\).

\(n^2+5\) est un multiple de \(n+1\) lorsque \(n\) vaut 0, 1, 2 ou 5

Produit de nombres impairs

Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.
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Soit \(n\) et \(n’\) deux nombres impairs. Il existe deux entiers \(k\) et \(k’\) tels que \(n=2k+1\) et \(n’=2k’+1\). Ainsi,

\[nn’ = (2k+1)(2k’+1)=4kk’+2k+2k’+1=2(2kk’+k+k’)+1\]

En posant \(q = 2kk’+k+k’\), qui est un entier, on obtient donc \(nn’=2q+1\). \(nn’\) est donc impair.

Disjonction de cas

Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que \((n+4)(n^2+7)\) est pair en raisonnant par disjonction de cas.
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Si \(n\) est pair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k\). Dans ce cas,
\[(n+4)(n^2+7) = (2k+4)((2k)^2+7)=2(k+2)(4k^2+7)\]
Il s’agit bien d’un multiple de 2 (et donc d’un nombre pair)

Si \(n\) est impair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k+1\). Dans ce cas,
\[(n+4)(n^2+7) = (2k+1+4)((2k+1)^2+7)=(2k+5)(4k^2+4k+1+7)=(2k+5)(4k^2+4k+8)=2(2k+5)(2k^2+2k+4)\]
Il s’agit bien d’un multiple de 2 (et donc d’un nombre pair)

Un nombre entier naturel étant soit pair, soit impair, nous avons bien traité tous les cas possibles : pour tout entier naturel \(n\), \((n+4)(n^2+7)\) est pair.

Multiple de 3

Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que \(n^3-n\) est un multiple de 3 en raisonnant par disjonction de cas.
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Soit \(n\) un entier naturel.

  • Supposons qu’il existe \(k\) tel que \(n=3k\). Alors \(n^3-n = n(n^2-1)=3k(9k^2-1)\). Il s’agit bien d’un multiple de 3
  • Supposons qu’il existe \(k\) tel que \(n=3k+1\). Alors, dans ce cas \[n^3-n = n(n^2-1)=(3k+1)((3k+1)^2-1)=(3k+1)(9k^2+6k+1-1)=3(3k+1)(3k^2+2k)\] Il s’agit bien d’un multiple de 3.
  • Supposons qu’il existe \(k\) tel que \(n=3k+2\). Alors, dans ce cas \[n^3-n = n(n^2-1)=(3k+2)((3k+2)^2-1)=(3k+2)(9k^2+12k+4-1)=3(3k+1)(3k^2+4k+1)\] Il s’agit bien d’un multiple de 3.

Un entier naturel \(n\) s’écrivant forcément sous une de ces formes, nous avons bien traité tous les cas : pour tout entier naturel \(n\), \(n^3-n\) est un multiple de 3.

Multiple de 3… encore

Soit \(n\) un entier naturel non multiple de 3.

  1. Montrer que le reste de la division euclidienne de \(n^2\) par 3 vaut 1
  2. En déduire que \(n^2+9n+8\) est divisible par 3.
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Soit \(n\) un entier naturel non multiple de 3.

  • Supposons qu’il existe un entier \(k\) tel que \(n=3k+1\). Alors
    \[n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1\]
    Le reste de la division euclidienne de \(n^2\) par 3 est donc 1.
  • Supposons qu’il existe un entier \(k\) tel que \(n=3k+2\). Alors
    \[n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1\]
    Attention à ne pas laisse un +4 ici : le reste de la division euclidienne d’un nombre par 3 est forcément compris entre 0 et 3. Le reste de la division euclidienne de \(n^2\) par 3 est donc 1.

Ainsi, si \(n\) n’est pas un multiple de 3, il existe un entier \(k\) tel que \(n^2=3k+1\) et donc \(n^2+9n+8=3k+1+9n+8=3(k+3n+3)\). Il s’agit bien d’un multiple de 3.

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