Logarithme népérien

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Logarithme népérien

Soit \(a\) un réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de \(a\), noté \(\ln (a)\), l’unique solution de l’équation \(e^x =a\), d’inconnue \(x \in \mathbb{R}\).

Derrière cette définition se cache une démonstration : une telle solution existe-t-elle ? Est-elle unique ?

La fonction \(x\mapsto e^x\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(\displaystyle \lim _{x \to -\infty} e^x = 0\) et \(\displaystyle \lim _{x \to -\infty} e^x = +\infty\). Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, pour tout réel \(a \in ]0;+\infty[\), il existe un unique réel \(x\) tel que \(e^x = a\).

Exemple : \(\ln (1)=0\). En effet, l’unique solution de l’équation \(e^x=1\) est \(x=0\).

Exemple : \(\ln(e)=1\), \(\ln(e^2)=2\).

Pour tout réel \(a>0\), \(e^{\ln (a)} = a\).
Pour tout réel \(a\), \(\ln(e^a)=a\).

Soit \(a\) un réel strictement positif. \(\ln(a)\) est, par définition, solution de l’équation \(e^x=a\). On a donc \(e^{\ln(a)}=a\).

Par ailleurs, pour tout réel \(a\), \(e^a>0\). Par définition du logarithme népérien, \(\ln(e^a)\) est l’unique solution de l’équation \(e^x=e^a\), d’inconnue \(x\in \mathbb{R}\). Or, \(x=a\) est une solution de cette équation. On a donc \(\ln (e^a)=a\).

Exemple : On cherche à résoudre l’équation \(3e^x-6=0\), d’inconnue \(x\in \mathbb{R}\). Or, pour \(x\in \mathbb{R}\),
\[ 3e^x-6=0 \Leftrightarrow 3e^x=6 \Leftrightarrow e^x=2 \Leftrightarrow x = \ln (2) \]

Propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs \(a\) et \(b\)
\[\ln(ab) = \ln(a)+\ln(b)\]
Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs. On a
\[e^{\ln(ab)}=ab=e^{\ln(a)} \times e^{\ln (b)} = e^{\ln(a) + \ln(b)}\].
En appliquant \(\ln\) à cette égalité, on trouve bien \(\ln(ab)=\ln(a) + \ln(b)\).

Exemple : \( \ln(2) + \ln(3) + \ln(4) = \ln(2 \times 3 \times 4) = \ln(24) \)

Exemple : Soit \(x\) un réel. \ln(1+e^{-x}) + x = \ln(1+e^{-x})+\ln(e^x)=\ln\left((1+e^{-x})e^x\right)=\ln(1+e^x)\)

Pour tout réel strictement positif \(a\)
\[\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\]
Soit \(a\) un réel strictement positif.

Puisque \(\ln(1)=0\), on a \(\ln \left(a \times \dfrac{1}{a}\right)=0\)

D’après la proposition précédente, on a alors \(\ln(a) + \ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=0\) et \(\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\).

Pour tous réels strictement positifs \(a\) et \(b\)
\[\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\]
Nous allons appliquer les deux résultats précédents. Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs.
\[\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a \times \dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\]

Exemple : \( \ln(21) – \ln(7)= \ln\left(\dfrac{21}{7}\right)=\ln(3)\)

Pour tout réel strictement positif \(a\)
\[ \ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\]
Soit \(a\) un réel strictement positif

On a alors \(a=\sqrt{a} \times \sqrt{a}\). Ainsi\(\ln(a)=\ln(\sqrt{a} \times \sqrt{a})=\ln( \sqrt{a})+ \ln(\sqrt{a})=2\ln(\sqrt{a})\) et donc \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\)

Pour tout réel strictement positif \(a\) et pour tout entier relatif \(n\),
\[\ln(a^n)=n\,\ln(a)\]
Soit \(a\) un réel strictement positif.

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(\mathcal{P}(n)\) la proposition \(\ln(a^n)=n\,\ln(a)\)

  • Initialisation : \(\ln(a^0)=\ln(1)=0\) et \(0 \times \ln(a)=0\). \(\mathcal{P}(0)\) est donc vraie.
  • Hérédité : Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. Alors
    \[\ln(a^{n+1})=\ln(a^n \times a)=\ln(a^n)+\ln(a)=n\,\ln(a)+\ln(a)=(n+1)\ln(a)\]
    \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie : \(\mathcal{P}\) est héréditaire.
  • Conclusion : D’après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Par ailleurs, pour tout entier naturel \(n\), \(a^n \times a^{-n}=a^0=1\). Ainsi, \(\ln(a^n \times a^{-n})=\ln(a^n)+\ln(a^{-n})=0\).

Or, \(\ln(a^n)=n\, \ln(a)\). On a donc \(\ln(a^{-n})=-n\, \ln(a)\).

Exemple : \(\dfrac{\ln(10000)}{\ln(10)}=\dfrac{\ln(10^4)}{\ln(10)}=\dfrac{4\ln(10)}{\ln(10)}=4\)

Pour s’entraîner…

Fonction logarithme népérien

On appelle fonction logarithme népérien la fonction \(x\mapsto \ln(x)\) définie pour tout réel \(x\) strictement positif.

Limites

On a les limites suivantes :
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty \quad\text{et} \lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty \]
De plus, pour tout entier naturel \(n\),
\[ \lim_{x\to 0^+}x^n\,\ln(x) = 0\quad \text{et}\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n}=0\]
La puissance de \(x\) l’emporte sur le logarithme en cas d’indéterminée : ce sont les croissances comparées au logarithme.

Pour \(x>0\), posons \(X=\ln(x)\).

Ainsi, \(x\,\ln(x)=Xe^X\). Or, lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), \(\ln(x)\) tend vers 0. Ainsi, \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\,\ln(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}Xe^X\) qui vaut \(0\) par croissances comparées.

Dérivabilité

La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\).

La fonction \(\ln\) est donc également continue sur \(]0;+\infty[\).

On admet que \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).
Pour tout réel \(x>0\), on pose \(f(x)=e^{\ln(x)}\). \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).

  • D’une part, on sait que pour tout réel \(x>0\), \(f'(x)=1\).
  • D’autre part, en utilisant la formule de la dérivée d’une fonction composée, on sait que \(f'(x)=\ln'(x) \times e^{\ln(x)}=\ln'(x) \times x\).

Ainsi, pour tout \(x>0\), \(\ln'(x) \times x=1\) et donc \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\).

Exemple : Pour tour réel \(x>0\), on pose \(f(x)=e^{x^2-1}\ln(x)\).

  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^{x^2-1}\). \(u\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(u'(x)=2x\,e^{x^2-1}\),
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=\ln (x)\). \(v\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(v'(x)=\dfrac{1}{x}\),

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, pour tout réel \(x>0\)
\[ f'(x)=u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)=2x\,e^{x^2-1}\ln(x)+\dfrac{e^{x^2-1}}{x}=\left(\dfrac{2x^2\ln(x)+1}{x}\right)e^{x^2-1}\]

Soit \(u\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) telle que pour tout réel \(x\in I\), \(u(x)>0\). alors \(\ln(u)\) est dérivable et
\[ (\ln(u))’=\dfrac{u’}{u}\]

Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2-2x+5\) et \(f(x)=\ln(u(x))=\ln(x^2-2x+5)\).

  • Il faut vérifier que pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\). C’est une fonction polynôme du second degré dont le discriminant \(\Delta\) vaut \((-2)^2-4\times 1 \times 5 = -16>0\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(u(x)\) est du signe du coefficient dominant, 1, c’est-à-dire \(u(x)>0\).
  • Pour tout réel \(x\), on pose alors \(u(x)=x^2-2x+5\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2x-2\).
  • Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
    \[ f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2x-2}{x^2-2x+5}\]
Puisque \(\ln(u)\) n’est définie que lorsque \(u\) est strictement positive, on en déduit que \(u\) et \(\ln(u)\) ont les mêmes variations.

Etude de la fonction \(\ln\)

La fonction \(\ln\) est strictement croissante et concave sur \(]0;+\infty [\).

Le cours sur la convexité/concavité est disponible à cette adresse.

La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\) qui est strictement positif. \(\ln\) est donc strictement croissante.
De plus, \(\ln’\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x\), \(\ln^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) qui est négatif. \(\ln\) est donc concave sur \(]0;+\infty[\).

Soit \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. Alors \(\ln(x) \geqslant \ln(y)\) si et seulement si \(x\geqslant y\).
En particulier \(\ln(x) \geqslant 0\) si et seulement si \(x\geqslant 1\)

Exemple : On souhaite résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(\ln(3x-6)\leqslant \ln(10-x) \). Or, \(\ln(3x-6)\) n’est défini que si \(3x-6>0\), c’est-à-dire \(x>2\), et \(\ln(10-x)\) n’est défini que pour \(x<10\).

Soit donc \(x\) un réel dans l’intervalle \(]2;10[\). On a \(\ln(3x-6)\leqslant \ln(10-x) \) si et seulement si \(3x-6 \leqslant 10-x\) c’est-à-dire \( x\leqslant 4\). Les solutions de l’équation \(\ln(3x-6)\leqslant \ln(10-x) \) constituent donc l’intervalle \( ]2;4]\)

Il faut bien faire attention au domaine de définition des différentes expressions !

Exemple : On souhaite déterminer l’entier \(n\) à partir duquel \(1.2^n \geqslant 10\)

Puisque la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\), \(1.2^n \geqslant 10\) si et seulement si \(\ln(1.2^n) \geqslant \ln(10)\), soit \(n\ln(1.2) \geqslant \ln(10)\). Puisque \(1.2>1\), alors \(\ln(1.2) >\ln(1) = 0\). On peut donc diviser par \(\ln(1.2)\) qui est strictement positif sans changer le sens de l’inégalité.

On a donc \(n \geqslant \dfrac{\ln(10)}{\ln(1.2)} \simeq 12.6\). Le premier entier \(n\) tel que \(1.2^n \geqslant 10\) est donc \(n=13\).

La courbe de la fonction \(\ln\) est symétrique à la courbe de la fonction \(\exp\) par rapport à la droite d’équation \(y=x\).

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