Derrière cette définition se cache une démonstration : une telle solution existe-t-elle ? Est-elle unique ? La fonction \(x\mapsto e^x\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(\displaystyle \lim _{x \to -\infty} e^x = 0\) et \(\displaystyle \lim _{x \to -\infty} e^x = +\infty\). Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, pour tout réel \(a \in ]0;+\infty[\), il existe un unique réel \(x\) tel que \(e^x = a\).

Soit \(a\) un réel strictement positif. \(\ln(a)\) est, par définition, solution de l’équation \(e^x=a\). On a donc \(e^{\ln(a)}=a\).

Par ailleurs, pour tout réel \(a\), \(e^a>0\). Par définition du logarithme népérien, \(\ln(e^a)\) est l’unique solution de l’équation \(e^x=e^a\), d’inconnue \(x\in \mathbb{R}\). Or, \(x=a\) est une solution de cette équation. On a donc \(\ln (e^a)=a\).

Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs. On a
\[e^{\ln(ab)}=ab=e^{\ln(a)} \times e^{\ln (b)} = e^{\ln(a) + \ln(b)}\]
En appliquant \(\ln\) à cette égalité, on trouve bien \(\ln(ab)=\ln(a) + \ln(b)\).

Soit \(a\) un réel strictement positif.

Puisque \(\ln(1)=0\), on a \(\ln \left(a \times \dfrac{1}{a}\right)=0\)

D’après la proposition précédente, on a alors \(\ln(a) + \ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=0\) et \(\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\).

Nous allons appliquer les deux résultats précédents. Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs.
\[\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a \times \dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\]

Soit \(a\) un réel strictement positif

On a alors \(a=\sqrt{a} \times \sqrt{a}\). Ainsi\(\ln(a)=\ln(\sqrt{a} \times \sqrt{a})=\ln( \sqrt{a})+ \ln(\sqrt{a})=2\ln(\sqrt{a})\) et donc \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\)

Procédons par récurrence. Soit \(a\) un réel strictement positif.

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(\mathcal{P}(n)\) la proposition \(\ln(a^n)=n\,\ln(a)\)

• Initialisation : \(\ln(a^0)=\ln(1)=0\) et \(0 \times \ln(a)=0\). \(\mathcal{P}(0)\) est donc vraie.
• Hérédité : Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. Alors
  \[\ln(a^{n+1})=\ln(a^n \times a)=\ln(a^n)+\ln(a)=n\,\ln(a)+\ln(a)=(n+1)\ln(a)\]
  \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie : \(\mathcal{P}\) est héréditaire.
• Conclusion : D’après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Par ailleurs, pour tout entier naturel \(n\), \(a^n \times a^{-n}=a^0=1\). Ainsi, \(\ln(a^n \times a^{-n})=\ln(a^n)+\ln(a^{-n})=0\).

Or, \(\ln(a^n)=n\, \ln(a)\). On a donc \(\ln(a^{-n})=-n\, \ln(a)\).

Pour \(x>0\), posons \(X=\ln(x)\).Ainsi, \(x\,\ln(x)=Xe^X\). Or, lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), \(\ln(x)\) tend vers 0. Ainsi, \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\,\ln(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}Xe^X\) qui vaut \(0\) par croissances comparées.

On admet que \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).
Pour tout réel \(x>0\), on pose \(f(x)=e^{\ln(x)}\). \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).

• D’une part, on sait que pour tout réel \(x>0\), \(f(x)=x\) et donc \(f'(x)=1\).
• D’autre part, en utilisant la formule de la dérivée d’une fonction composée, on sait que \(f'(x)=\ln'(x) \times e^{\ln(x)}=\ln'(x) \times x\).

Ainsi, pour tout \(x>0\), \(\ln'(x) \times x=1\) et donc \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\).

La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\) qui est strictement positif. \(\ln\) est donc strictement croissante.
De plus, \(\ln’\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x\), \(\ln^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) qui est négatif. \(\ln\) est donc concave sur \(]0;+\infty[\).