Continuité

Continuité d’une fonction réelle

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Soit \(a\in I\).

  • On dit que \(f\) est continue en \(a\) si \(f\) admet une limite en \(a\), par valeurs supérieures et par valeurs inférieures, et que \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=f(a)\)
  • On dit que \(f\) est continue sur \(I\) si \(f\) est continue en tout réel de \(I\).
Exemple : Jusqu’ici, les fonction de référence rencontrées étaient continues sur leur domaine de définition :

  • Les fonctions polynômes, les fonctions quotients de polynômes ;
  • les fonctions trigonométriques \(\cos\) et \(\sin\) ;
  • la fonction exponentielle
  • la fonction Racine Carrée, la fonction Valeur absolue.
Exemple : On considère la fonction \(f\) dont la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) est donnée ci-dessous.

On remarque que \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^-}f(x)=2\) et que \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^+}f(x)=6\). Ces deux valeurs sont différentes, la fonction \(f\) n’est pas continue en 2. Graphiquement, on voit que la courbe de la fonction fait un « saut » en \(x=-2\).

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \left\{ \begin{array}{ll}
2x+9 & \text{si }x<-2\\ x^2+1 & \text{si }-2\leqslant x < 3\\ 4x-4 & \text{si } x \geqslant 3 \end{array}\right.\) définie sur \(\mathbb{R}\) La fonction \(f\) est continue sur \(]-\infty;-2[\), \(]-2;3[\) et \(]3;+\infty[\). Il faut étudier la continuité aux bords de chaque intervalle.

Continuité en \(-2\)

  • \(f(-2)=(-2)^2+1=5\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^-} f(x)= \displaystyle \lim_{x \to (-2)^-} (2x+9)=2\times (-2)+9=5\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^+} f(x)= \displaystyle \lim_{x \to (-2)^+} (x^2+1)=5\)
  • Ainsi, \(f\) est continue en \(-2\)

Continuité en \(3\)

  • \(f(3)=4\times 3 -4 =8\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)= \displaystyle \lim_{x \to 3^-} (x^2+1)=3^2+1=10\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq f(3)\). Ainsi, \(f\) n’est pas continue en \(3\)

Encore une fois, une représentation graphique nous permet de nous assurer de tout cela.

Cliquer ici pour s’entraîner : Continuité

La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle \(I\) sont continus sur \(I\).
Exemple : La fonction \(x\mapsto \cos(x)(x^2+3\sqrt{x})-\sin(x)e^x\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\)
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Si \(f\) est dérivable sur \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\).

La réciproque est fausse. La fonction \(x\mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\) mais n’est pas dérivable en 0.

Il existe des fonctions continues sur \(\mathbb{R}\) qui ne sont dérivables nulle part ! Les exemples les plus connus sont sans doute les fonctions de Weierstrass. Ce sont des courbes fractales : peu importe le niveau de zoom que l’on peut avoir sur la courbe, on verra toujours de nouveaux détails apparaître.

Suites et application continue

Soit \(I\) un intervalle et \((u_n)\) une suite telle que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \in I\). Soit \(g\) une fonction définie sur l’intervalle \(I\).

Si la suite \((u_n)\) est convergente avec \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=l\) et si \(g\) est continue en \(l\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} g(u_n)=g(l)\)

En d’autres termes, \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}g(u_n)=g(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n)\).

Exemple : Pour tout entier naturel non nul \(n\), on note \(u_n=\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}\).

  • \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1\)
  • La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est continue en \(1\).

Ainsi, \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \sqrt{1+\dfrac{1}{n}}=\sqrt{1}=1\)

L’hypothèse de continuité est primordiale !
Pour tout réel \(x\), notons \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière du réel \(x\), c’est-à-dire le plus grand entier qui soit plus petit que \(x\). Par exemple, \(\lfloor 1,3 \rfloor = 1\).

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on note \(u_n=1-\dfrac{1}{10^n}\). On a ainsi \(u_0=0\), \(u_1=0,9\), \(u_2=0,999\), \(u_3=0,9999\) etc.

  • Pour tout entier naturel non nul, \(\lfloor u_n \rfloor = 0\). On a alors \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \lfloor u_n \rfloor = 0\)
  • La suite \((u_n)\) est convergente et on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = 1\). Ainsi, \(\lfloor \displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n \rfloor=g(1)=1\).
  • On a donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \lfloor u_n \rfloor \neq \lfloor \displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n \rfloor\). On montre en fait que la fonction \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\) n’est pas continue en 1.
Soit \(I\) un intervalle et \((u_n)\) une suite telle que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \in I\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\). Soit \(g\) une fonction définie et continue sur l’intervalle \(I\).

On suppose que la suite \((u_n)\) est convergente, de limite \(l\in I\). Alors \(g(l)=l\).

Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1}=g(u_n)\). La suite \((u_n)\) étant convergente, il est possible de passer à la limite dans cette égalité.

  • D’une part, \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=l\)
  • D’autre part, puisque la fonction \(g\) est continue sur \(I\), \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} g(u_n)=g(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n)=g(l)\)

Ainsi, \(g(l)=l\).

Exemple : On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0=2\) et, pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}\)

On admet que la suite \((u_n)\) est croissante et que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leqslant 4\), ce qui peut se faire par récurrence.

Puisque la suite \((u_n)\) est croissante et majorée, la suite \((u_n)\) converge (théorème important du cours sur les limites de suite !). Notons \(l\) sa limite.

Puisque la fonction \(x\mapsto \sqrt{3x+4}\) est continue sur \(\left]-\dfrac{4}{3};+\infty \right[\) et que \(l \in [2;4]\), on a alors \(g(l)=l\).

Or, \(g(l)=l \Leftrightarrow l = \sqrt{3l+4}\). En mettant le tout au carré, on obtient alors \(l^2-3l-4=0\) qui est une équation du second degré ayant deux solutions : 1 et 4. Dans notre cas, la solution 1 est impossible puisque pour tout \(n\), \(u_n \geqslant 2\). Ainsi, \(l=4\).

Théorème des valeurs intermédiaires

Cas général

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a;b]\) et \(k\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).

Alors il existe au moins un réel \(c\) tel que \(f(c)=k\).

Ce théorème indique que, sous hypothèse de continuité, l’équation \(f(x)=k\) admet au moins une solution sur \([a;b]\) mais elle ne nous dit pas laquelle.

Illustration : On représente une fonction \(f\) ci-dessous.

Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), \(k\) possède au moins un antécédent par \(f\). Dans cet exemple, il y en a trois.

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto e^x-4x\), définie sur \(\mathbb{R}\). Cette fonction est continue sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(f(0)=1\) et \(f(1)=e-4\). En particulier, \(f(1)<0\). Le réel 0 est compris entre \(f(0)\) et \(f(1)\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(c\) dans \([0;1]\) tel que \(f(c)=0\). Autrement dit, il existe un réel \(c\) dans \([0;1]\) tel que \(e^c = 4c\). Il est possible d'encadrer cette solution à l'aide d'un algoritheoreme de dichotomie.
  • \(f(0)=1\) et \(f(1)=e-4\). Ainsi, le réel \(c\) recherché est dans l’intervalle \([0;1]\).
  • Calculons \(f\left( \dfrac{0+1}{2}\right)\). \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e^{0,5}-4*0,5\simeq 0.35<0\). Ainsi, le réel recherché est dans l'intervalle \(\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\)
  • Calculons \(f\left( \dfrac{0+\dfrac{1}{2}}{2}\right)\). \(f\left(\dfrac{1}{4}\right)=e^{0,25}-4*0,25\simeq 0.28>0\). Ainsi, le réel recherché est dans l’intervalle \(\left[\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right]\)
  • Calculons \(f\left( \dfrac{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}{2}\right)\). \(f\left(\dfrac{3}{8}\right)=e^{0,375}-4*0,375\simeq -0.05<0\). Ainsi, le réel recherché est dans l'intervalle \(\left[\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{8}\right]\)

Et ainsi de suite. On trouve un encadrement de plus en plus précis d’une solution de l’équation \(e^x=4x\).

Tutoriel pour déterminer une valeur approchée d’une équation à l’aide de la calculatrice :

Numworks | Texas Instruments | Casio

Cliquer ici pour s’entraîner : TVI et dichotomie

Cliquer ici pour s’entraîner : TVI et balayage

Fonction strictement monotone

L’essentiel : Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \([a;b]\). Soit \(k\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Alors il existe un unique réel \(c\) tel que \(f(c)=k\).
Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{e^x}{x^2+1}\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{e^x (x^2+1)-e^x \times 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\).

Pour tout réel \(x\), \(f'(x)\geqslant 0\). De plus, \(f’\) ne s’annule qu’en \(x=1\). Ainsi, la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

On a par ailleurs que \(f(0)=1\) et \(f(1)=\dfrac{e}{2}\simeq 1,36\). Ainsi, l’équation \(f(x)=1,25\) possède une unique solution sur l’intervalle \([0;1]\).

Il est également possible d’utiliser les limites dans le théorème des valeurs intermédiaires. Dans le cas précédent, on avait \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=0\) et \(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=+\infty\). Ainsi, pour tout réel strictement positif \(k\), l’équation \(f(x)=k\) possède une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

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